Methodus inveniendi/Additamentum II

E Wikisource
Salire ad: navigationem, quaerere
Additamentum II

De motu projectorum in medio non resistente, per Methodum maximorum ac minimorum determinando
1744
Fairytale left blue.png Additamentum I

1. Quoniam omnes naturae effectus sequuntur quandam maximi minimive legem; dubium est nullum, quin in lineis curvis, quas corpora projecta, si a viribus quibuscunque sollicitentur, describunt, quaepiam maximi minimive proprietas locum habeat. Quaenam autem sit ista proprietas, ex principiis metaphysicis a priori definire non tam facile videtur; cum autem has ipsa curvas, ope Methodi directae, determinare liceat; hinc, debita adhibita attentione, id ipsum, quod in istis curvis est maximum vel minimum, concludi poterit. Spectari autem potissimum debet effectus a viribus sollicitantibus oriundus; qui cum in motu corporis genito consistat, veritati consentaneum videtur hunc ipsum motum, seu potius aggregatum omnium motuum qui in corpore projecto insunt, minimum esse debere. Quae conclusio etsi non satis confirmata videatur, tamen, si eam cum veritate jam a priori nota consentire ostendero, tantum consequetur pondus, ut omnia dubia quae circa eam suboriri queant penitus evanescant. Quin-etiam cum ejus veritas fuerit evicta, facilius erit in intimas Naturae leges atque causas finales inquirere; hocque assertum firmissimis rationibus corroborare.

2. Sit massa corporis projecti = M, ejusque, dum spatiolum = ds emetitur, celeritas debita altitudini \sqrt{v}; erit quantitas motus corporis in hoc loco = M\sqrt{v}; quae per ipsum spatiolum ds multiplicata, dabit M ds \sqrt{v} motum corporis collectivum per spatiolum ds. Jam dico lineam a corpore descriptam ita fore comparatam, ut, inter omnes alias lineas iisdem terminis contentas, sit \int M ds \sqrt{v}, seu, ob M constans, \int ds \sqrt{v} minimum. Quod si autem curva quaesita tanquam esset data spectetur, ex viribus sollicitantibus celeritas \sqrt{v} per quantitates ad curvam pertinentes definiri, ideoque ipsa curva per Methodum maximorum ac minimorum determinari potest. Ceterum haec expressio ex quantitate motus petita aeque ad vires vivas traduci poterit; posito enim tempusculo, quo elementum ds percurritur, = dt; quia est ds = dt\sqrt{v}, fiet \int ds \sqrt{v} = \int v dt; ita ut, in curva a corpore projecto descripta, summa omnium virium vivarum, quae singulis temporis momentis corporis insunt, sit minima. Quamobrem neque ii qui vires per ipsas celeritates, neque illi qui per celeritatum quadrata aestimari oportere statuunt, hic quicquam quo offendantur reperient.

3. Primum igitur, si corpus a nullis prorsus viribus sollicitari ponamus, ejus quoque celeritas, ad quam hic solum attendo (directionem enim ipsa Methodus maximorum & minimorum complectetur), nullam patietur alterationem; eritque ideo v quantitas constans, puta = b. Hinc corpus a nullis viribus sollicitatum, si utcunque projiciatur, ejusmodi describet lineam, in qua sit \int ds \sqrt{b} vel \int ds = s minimum. Via ergo haec, inter omnes iisdem terminis contentas, ipsa erit minima; atque adeo recta; prorsus uti prima Mechanicae principia postulant. Hunc quidem casum non adeo hic affero, quo principium meum confirmari putem; quamcunque enim, loco celeritatis \sqrt{v}, aliam assumsissem functionem ipsius v, eadem prodiisset via recta; verum a casibus simplicissimis incipiendo facilius ipsa consensus ratio intelligi poterit.

Figure 26

4. Progredior ergo ad casum gravitatis uniformis, seu quo corpus projectum ubique, secundum directiones ad horizontem normales, deorsum sollicitetur a vi constante acceleratrice = g. Sit AM curva, quam corpus in hac hypothesi describit, sumatur recta verticalis AP pro axe, ac ponatur abscissa AP = x, applicata PM = y, & elementum curvae Mm = ds; erit ergo, ex natura sollicitationis, dv = g dx, & v = a + g x. Hinc curva ita erit comparata, ut in ea sit \int ds \sqrt{a + g x} minimum. Ponatur dy = p dx, ut sit ds = dx \sqrt{1 + pp}, atque minimum esse debet \int dx \sqrt{a + g x} \, \sqrt{1 + pp}; quae expressio cum formula generali \int Z dx comparata dat Z = \sqrt{a + g x} \, \sqrt{1 + pp}; quare, cum positum sit dZ = M dx + N dy + P dp, erit N=0 & P = \frac{p\sqrt{a + g x}}{\sqrt{1 + pp}}. Quia ergo valor differentialis est N - \frac{dP}{dx}; ob N=0, fiet praesenti casu dP = 0, & P = \sqrt{C}. Habebitur ergo \sqrt{C} = \frac{p\sqrt{a + g x}}{\sqrt{1 + pp}} = \frac{dy\sqrt{a + g x}}{ds}; unde sit C dx^{2} + C dy^{2} = dy^{2} \left( a + gx \right), & dy = \frac{dx \sqrt{C}}{\sqrt{a - C + gx}}; quae integrata dat y = \frac{2}{g} \sqrt{C \left( a - C + gx \right)}.

5. Manifestum quidem est hanc aequationem esse pro Parabola. At ejus consensum cum veritate attentius considerasse juvabit. Primum ergo patet tangentem hujus curvae esse horizontalem, seu dx=0; ubi est a-C + gx = 0. Cum igitur principium abscissarum A ab arbitrio nostro pendeat, sumatur id in hoc ipso loco, fietque C = a; tum vero ipse axis per hoc punctum curvae summum transeat, ita ut, posito x=0, fiat simul y=0. His consideratis, aequatio pro curva erit haec y = 2 \sqrt{\frac{ax}{g}}; quam non solum patet esse pro Parabola; sed etiam, cum celeritas in puncto A sit \sqrt{a}, altitudo CA, ex qua corpus labendo ab eadem vi g sollicitatum eam ipsam acquirit celeritatem, qua in puncto A movetur, erit = \frac{a}{g}; hoc est, quartae parametri parti aequatur; prorsus uti ex doctrina motus projectorum per Methodum directam intelligitur.

Figure 27

6. Sollicitetur, ut ante, corpus ubique verticaliter deorsum, at ipsa vis sollicitans non sit constans, sed pendeat utcunque ab altitudine CP. Scilicet posita abscissa CP = x, sit vis qua corpus in M deorsum nititur = X functioni cuicunque ipsius x. Si ergo vocetur applicata PM = y, elementum arcus Mm = ds, & dy=p dx; erit v = X \, dx & v = A + \int X \, dx; unde minimum esse debet haec expressio \int dx \sqrt{A + \int X \, dx} \, \sqrt{1 + pp}, ex qua pro curva descripta AM obtinebitur haec aequatio ergo \sqrt{C} = \frac{p\sqrt{A + \int X \, dx}}{\sqrt{1 + pp}} & p = \frac{\sqrt{C}}{\sqrt{A - C + \int X dx}} = \frac{dy}{dx}; seu y = \int \frac{dx\sqrt{C}}{\sqrt{A - C + \int X dx}}. Tangens ergo curvae erit horizontalis ubi \int X dx = C - A. Haec vero eadem aequatio trajectoriae corporis per Methodum directam reperitur.

7. Sollicitetur nunc corpus in M a duabus viribus, altera horizontali = Y secundum directionem MP, altera verticali = X secundum directionem MQ (Fig. 27). Sit autem X functio quaecunque rectae verticalis MQ = CP = x & Y functio quaecunque applicatae PM = y. Positis ergo ut ante dy = p dx, erit dv = -X dx - Y dy, fietque v = A - \int X \, dx - \int Y \, dy; unde minimum esse debet haec formula \int dx \sqrt{1 + p p} \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}. Differentietur \sqrt{1 + p p} \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}, atque prodibit


\frac{-X dx \sqrt{1 + p p}}{2 \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}} - 
\frac{Y dy \sqrt{1 + p p}}{2 \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}} + 
\frac{p dp \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}}{\sqrt{1 + p p}}

Hinc posito N=\frac{-Y \sqrt{1 + p p}}{2 \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}}, & P=\frac{p \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}}{\sqrt{1 + p p}}; erit pro curva quaesita haec aequatio 0 = N - \frac{dP}{dx}, seu N dx = dP. Hinc ergo sit


\frac{-Y dx \sqrt{1 + p p}}{2 \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}} = 
\frac{dp \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}}{\left( 1 + p p \right) \sqrt{1 + p p}} - 
\frac{p X dx - p Y dy}{2 \sqrt{1 + p p}\sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}}

seu


\frac{dp \sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}}{\left( 1 + p p \right) \sqrt{1 + p p}} = 
\frac{X dy - Y dx}{2 \sqrt{1 + p p}\sqrt{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}}

ideoque


\frac{2 dp}{1 + pp} = 
\frac{X dy - Y dx}{A - \int X \, dx - \int Y \, dy}

Hanc aequationem veritati esse consentaneam patebit, si loco A - \int X \, dx - \int Y \, dy ponatur v, erit enim


\frac{2 v dp}{\left( 1 + pp \right)^{3/2}} = 
\frac{X dy - Y dx}{\sqrt{1 + p p}}

At est radius osculi r = - \frac{\left( 1 + pp \right)^{3/2} dx}{dp}, quo introducto est \frac{2v}{r} = \frac{Y dx - X dy}{ds}; ubi est \frac{2v}{r} vis corporis centrifuga, & \frac{Y dx - X dy}{ds} exprimit vim normalem ex viribus sollicitantibus ortam; quarum virium aequalitas utique in omni motu projectorum locum habet.

8. Aequatio autem inventa \frac{ dp}{1 + p p} = \frac{X dy - Y dx}{A - \int X \, dx - \int Y \, dy} ita generaliter est integrabilis, si multiplicetur per \frac{p \left( A - \int X \, dx - \int Y \, dy \right)}{1 + p p}; fiet enim


\frac{2 p dp \left( A - \int X \, dx - \int Y \, dy \right)}{\left( 1 + p p \right)^{2}} - \frac{p p X dx + Y dy}{1 + p p} = 0

quae integrata dat


\frac{- p^{2} \int X \, dx + \int Y \, dy - A}{1 + p p} = C

seu


\int Y \, dy - p^{2} \int X \, dx = A + C + C p p

unde p = \sqrt{\frac{B + \int Y \, dy}{C + \int X \, dx}}, posito B pro -A - C. Cum ergo sit p = \frac{dy}{dx} , erit


\int \frac{dy}{\sqrt{B + \int Y \, dy }} = \int \frac{dx}{\sqrt{C + \int X \, dx }}

aequatio pro curva quaesita, in qua variabiles x & y sunt a se invicem separatae. Vel si constantes B & C in negativas convertantur, erit


\int \frac{dy}{\sqrt{B - \int Y \, dy }} = \int \frac{dx}{\sqrt{A - \int X \, dx }}

Ex quibus etsi curvae constructio facilis habetur, tamen aequationes algebraicae, quoties quidem in ipsis continentur, non tam facile eruuntur. Sint X & Y functiones similes & quidem potestates ipsarum x & y, ita ut sit


\int \frac{dy}{\sqrt{b^{n} - y^{n}}} = \int \frac{dx}{\sqrt{a^{n} - x^{n}}}

quae aequatio, si n=1, praebet Parabolam; sin n=2, Ellipsin centrum in C habentem: etsi hoc casu utraque integratio quadraturam Circuli requirit. Verisimile ergo videtur etiam aliis casibus, quibus neutra integratio succedit, curvas algebraicas satisfacere; quarum autem inveniendarum Methodus adhuc desideratur.

Figure 27

9. Urgeatur corpus M perpetuo versus punctum fixum secundum directionem MC, vi quae sit ut functio quaecunque distantiae MC. Positis ut ante CP = x, PM = y, & dy = p dx; sit CM = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = t, atque sit T ea functio ipsius t, quae exprimit vim centripetam. Resolvatur haec vis in laterales secundum MQ & MP, erit vis trahens secundum MQ = \frac{T x}{t}; & et vis secundum MP = \frac{T y}{t}; ex quibus oritur acceleratio dv = - \frac{T x dx}{t} - \frac{T y dy}{t} = - T dt, ob x dx + y dy = t dt; unde sit v = A - \int T dt. Quamobrem minimum esse debet haec expressio \int dx \sqrt{1 + p p} \sqrt{A - \int T \, dt}. Jam, secundum Regulae praeceptum, differentietur quantitas, \sqrt{1 + p p} \sqrt{A - \int T \, dt}, prodibitque


-\frac{T dt \sqrt{1 + p p}}{2 \sqrt{A - \int T \, dt}} + \frac{p dp \sqrt{A - \int T \, dt}}{\sqrt{1 + p p}}

Ob dt = \frac{x dx + y dy}{t}, erit ergo N = \frac{- T y \sqrt{1 + p p}}{2 t \sqrt{A - \int T \, dt}} & P = \frac{p \sqrt{A - \int T \, dt}}{\sqrt{1 + p p}}; ex quibus efficitur aequatio pro curva N dx = dP, quae praebet,


\frac{- T y dx \sqrt{1 + p p}}{2 t \sqrt{A - \int T \, dt}} = 
\frac{dp \sqrt{A - \int T \, dt}}{\left( 1 + p p \right) \sqrt{1 + p p}} - 
\frac{p T dt}{2 \sqrt{1 + p p} \sqrt{A - \int T \, dt}}

haecque reducta abibit in istam,


\frac{T \left( x dy - y dx\right)}{2 t \left( A - \int T \, dt \right)} = \frac{dp}{1 + p p}


10. Quamvis haec aequatio quatuor contineat litteras diversas, tamen debita dexteritate integrari potest. Cum enim sit y dy + x dx = t dt = p y dx + x dx, erit dx = \frac{t dt}{x + py} & dy = \frac{p t dt}{x + py}, qui valores in aequatione substituti dabunt


\frac{\left( p x - y\right) T dt}{2 \left( x + p y \right)  \left( A - \int T \, dt\right)} = \frac{dp}{1 + p p}

seu


\frac{T dt}{2   \left( A - \int T \, dt\right)} = \frac{dp \left( p y + x \right)}{\left( 1 + p p \right) \left( p x - y\right)}

Harum expressionum utraque per logarithmos est integrabilis, est enim \int \frac{T dt}{2 \left( A - \int T \, dt\right)} = - \frac{1}{2} \log \left( A - \int T \, dt\right), & \int \frac{dp \left( p y + x \right)}{\left( 1 + p p \right) \left( p x - y\right)} resolvitur in \int \frac{x dp}{p x - y} - \int \frac{p dp}{1 + p p} = \log \frac{p x - y}{\sqrt{1 + p p}}; ita ut sit \frac{C}{\sqrt{A - \int T \, dt}} = \frac{p x - y}{\sqrt{1 + p p}}; qua aequatione declaratur, celeritatem corporis in M, quae est = \sqrt{A - \int T \, dt}, esse reciproce ut perpendiculum ex C in tangentem demissum; quae est proprietas palmaria horum motuum.

Figure 28

11. Hoc vero idem Problema commodius resolvi potest ipsam rectam CM pro altera variabili assumendo. Verum Methodus supra tradita non postulat, ut ambae sint coordinatae orthogonales, dummodo sint ejusmodi binae quantitates quibus determinatis simul curvae punctum determinetur. Hanc ob causam, non liceret distantiam CM cum perpendiculo ex C in tangentem demisso pro binis illis variabilibus accipere; quoniam etiamsi detur & distantia a centro & perpendiculum in tangentem, hinc tamen locus puncti curvae non definitur. Nihil autem impedit, quo-minus distantia CM, & arcus circuli BP centro C descripti, in locum duarum variabilium substituantur; quia dato arcu BP, & distantia CM curvae punctum M aeque determinatur ac per coordinatas orthogonales. Hac ergo annotatione usus Methodi multo latius extenditur, quam alioquin videri queat.

12. Sit igitur distantia corporis a centro MC = x, & vis qua corpus ad centrum C sollicitatur sit = X functioni cuicunque ipsius x. Centro C, radio pro lubitu assumpto BC = c, describatur circulus, cujus arcus BP teneat locum alterius variabilis y, ita ut sit Pp = dy = p dx. Ex vi autem sollicitante est dv = - X dx, unde v = A - \int X \, dx. Centro C, radio CM = x, describatur arculus Mn, erit mn = dx; & CP:Pp = CM:Mn, unde sit Mn = \frac{p x dx}{c}, & elementum spatii Mm = dx \sqrt{1 + \frac{p p x x}{c c}}. Quamobrem minimum esse debet haec formula \int dx \sqrt{A - \int X \, dx} \sqrt{1 + \frac{p p x x}{c c}}, ex qua oritur valor differentialis \frac{d}{dx} \left[ \frac{p x x \sqrt{A - \int X \, dx}}{c \sqrt{c c + p p x x}} \right], qui, per Regulam, nihilo aequalis positus, praebebit hanc aequationem: \sqrt{C} = \frac{p x x \sqrt{A - \int X \, dx}}{c \sqrt{c c + p p x x}}, seu C c^{4} + C c c p p x x = \left( A - \int X \, dx \right) p p x^{4}, ex qua sit


p = \frac{c c \sqrt{C}}{\sqrt{\left( A - \int X \, dx \right) x^{4} - C c c x x}} = \frac{c c \sqrt{C}}{x \sqrt{\left( A - \int X \, dx \right) x x - C c c }}

seu


dy = \frac{c c dx \sqrt{C}}{x \sqrt{\left( A - \int X \, dx \right) x x - C c c }}

quae eadem aequatio etiam per Methodum directam invenitur.

13. Ex his igitur casibus perfectissimus consensus principii hic stabiliti cum veritate elucet: utrum autem iste consensus in casibus magis complicatis locum quoque sit habiturus, dubium superesse potest. Quamobrem quam late pateat istud principium diligentius erit investigandum, quo plus ipsi non tribuatur quam ejus natura permittit. Ad hoc explicandum, omnis motus projectorum in duo genera distribui debet; quorum altero celeritas corporis, quam in quavis loco habet, a solo situ pendet; ita ut, si ad eundem situm revertatur, eandem quoque sit recuperaturum celeritatem; quod evenit, si corpus vel ad unum vel ad plura centra fixa trahatur viribus, quae sint ut functiones quaecunque distantiarum ab his centris. Ad alterum genus refero eos, projectorum motus, quibus celeritas corporis per solum locum in quo haeret non determinatur; id quod usu venit, vel si centra illa ad quae corpus sollicitatur fuerint mobilia, vel si motus fiat in medio resistente. Hac facta divisione; notandum est, quoties motus corporis ad prius genus pertineat, hoc est, si corpus non solum ad unum sed ad quotcunque centra fixa sollicitetur viribus quibuscunque, toties in motu hoc summam omnium motuum elementarium fore minimam.

Figure 27

14. Hoc ipsum autem postulat indoles Propositionis: dum enim, inter datos terminos, ea quaeritur curva, in qua sit \int ds \sqrt{v} minimum; eo ipso assumitur, celeritatem corporis in utroque termino eandem esse, quaecunque curva corporis viam constituat. Quotcunque autem fuerint centra virium fixa, celeritas corporis in quovis loco M, exprimitur functione determinata ambarum variabilium CP = x, & PM = y. Sit igitur v functio quaecunque ipsarum x & y, ita ut sit dv = T dx + V dy; atque videamus, an principium nostrum veram exhibiturum sit projectoriam corporis. Cum autem sit dv = T dx + V dy; corpus perinde movebitur, ac si sollicitetur in M a duabus viribus, altera T in directione abscissis x parallela, altera vero V in directione parallela applicatis y, ex quibus oritur vis tangentialis = \frac{T dx + V dy}{ds}, et vis normalis = \frac{-V dx + T dy}{ds}. Debet autem, ex natura motus liberi, esse \frac{2v}{r} = \frac{-V dx + T dy}{ds} = \frac{-V + Tp}{\sqrt{1 + p p}}; ad quam aequationem si Methodus maximorum ac minimorum deducat, erit utique principium nostrum veritati conforme.

15. Cum igitur, per hoc principium, debeat esse \int dx \sqrt{v} \sqrt{1 + pp} minimum, differentietur quantitas \sqrt{v} \sqrt{1 + pp}, atque, ob dv = T dx + V dy, orietur:


\frac{T dx \sqrt{1 + pp}}{2 \sqrt{v}} + 
\frac{V dy \sqrt{1 + pp}}{2 \sqrt{v}} +
\frac{p dp \sqrt{v}}{\sqrt{1 + pp}}

ex quo obtinetur pro curva quaesita sequens aequatio, secundum praecepta tradita,


\frac{V dx \sqrt{1 + pp}}{2 \sqrt{v}} = 
d\left[\frac{p\sqrt{v}}{\sqrt{1 + p p}} \right] = 
\frac{dp \sqrt{v}}{\left( 1 + p p \right)^{3/2}} + 
\frac{p T dx + p V dy}{2 \sqrt{v} \sqrt{1 + pp}}

seu


\frac{- dp \sqrt{v}}{\left( 1 + p p \right)^{3/2}} =
\frac{T p dx - V dx}{2 \sqrt{v} \sqrt{1 + pp}}

At est radius osculi in M = \frac{- \left( 1 + p p \right) dx \sqrt{1 + pp}}{dp}; qui si ponatur = r, erit \frac{2v}{r} = \frac{Tp - V}{\sqrt{1 + pp}}; omnio uti per Methodum directam invenitur. Dummodo ergo vires sollicitantes ita fuerint comparatae, ut eae reduci queant ad duas vires T & V, secundum directiones coordinatis x & y parallelas sollicitantes, quae sint ut functiones quaecunque harum variabilium x & y, tum semper in curva descripta erit motus corporis per omnia elementa collectus minimus.

16. Tam late ergo hoc principium patet, ut solus motus a resistentia medii perturbatus excipiendus videatur; cujus quidem exceptionis ratio facile perspicitur, propterea quod hoc casu corpus per varias vias ad eundem locum perveniens non eandem acquirit celeritatem. Quamobrem, sublata omni resistentia in motu corporum projectorum, perpetuo haec constans proprietas locum habebit, ut summa omnium motuum elementarium sit minima. Neque vero haec proprietas in motu unius corporis tantum cernetur, sed etiam in motu plurium corporum conjunctim; quae quomodocunque in se invicem agant, tamen semper summa omnium motuum est minima. Quod, cum hujusmodi motus difficulter ad calculum revocentur, facilius ex primis principiis intelligitur, quam ex consensu calculi secundum utramque Methodum instituti. Quoniam enim corpora, ob inertiam, omni status mutationi reluctantur; viribus sollicitantibus tam parum obtemperabunt, quam fieri potest, siquidem sint libera; ex quo efficitur, ut, in motu genito, effectus a viribus ortus minor esse debeat, quam si ullo alio modo corpus vel corpora fuissent promota. Cujus ratiocinii vis, etiamsi nondum satis perspiciatur; tamen, quia cum veritate congruit, non dubio quin, ope principiorum sanioris Metaphysicae, ad majorem evidentiam evehi queat; quod negotium aliis, qui Metaphysicam profitentur, relinquo.

Fairytale left blue.png Additamentum I

Nexus utilis