Pagina:Principia newton la.djvu/131

${\tfrac {DEq.\times PS}{PE}}$, & propterea vis laminæ EFfe est ut Dd in ${\tfrac {DEq.\times PS}{PE}}$ & vis particulæ ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN×Dd, seu area evanescens DN nd. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P exercitæ, ut areæ omnes DN nd, hoc est Sphæræ vis tota ut area tota ABNA. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut ${\tfrac {DEq.\times PS}{PE}}$: erit vis tota qua corpusculum a Sphæra attrahitur, ut area ABNA.

Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti, & fiat DN ut ${\tfrac {DEq.\times PS}{PEq.}}$: erit vis qua corpusculum P a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.

Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ corpusculi a se attracti, & fiat DN ut ${\tfrac {DEq.\times PS}{PEqq.}}$: erit vis qua corpusculum a tota Sphæra attrahitur ut area ABNA.

Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem DN ut ${\tfrac {DEq.\times PS}{PE\times V}}$; erit vis qua corpusculum a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.

Prop. LXXXI. Prob. XLI.

Stantibus jam positis, mensuranda est Area ABNA.

A puncto P ducatur recta PH Sphæram tangens in H, & ad axem PAB demissa Normali HI, bisecetur PI in L; & erit(per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq. æquale PSq.+SEq.+2PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob similitudinem triangulorum SPH, SHI) æquale rectangulo PSI. Ergo PEq. æquale est contento sub PS & PS+SI+2SD, hoc est, sub PS & 2LS+2SD, id est, sub PS & 2LD. Porro DEquad. æquale est SEq.−SDq. seu SEq.−LSq.+2SLD−LDq. id est, SLD−LDq.−ALB. Nam LSq.−SEq. seu LSq.−SAq. (per Prop. 6 Lib. 2. Elem) æquatur rectangulo ALB. Scribatur itaq; 2SLD−LDq.−ALB pro DEq. & quantitas ${\tfrac {DEq.\times PS}{PE\times V}}$, quæ secundum Corollarium quartum Propositionis præcedentis est ut longitudo ordinatim applicatæ DN, resolvet sese in tres partes ${\tfrac {2SLD\times PS}{PE\times V}}$ −${\tfrac {LDq.\times PS}{PE\times V}}$−${\tfrac {ALB\times PS}{PE\times V}}$: ubi si pro V scribatur ratio inversa vis centripetæ, & pro PE medium propor tionale inter PS & 2LD; tres illæ partes evadent ordinatim applicatæ linearum totidem curvarum, quarum areæ per Methodos vulgatas innotescunt. Q. E. F.

Exempl. 1. Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE, dein 2PS×LD pro PEq., & fiet DN ut SL−${\tfrac {1}{2}}$LD−${\tfrac {ALB}{2LD}}$. Pone DN æqualem duplo ejus 2SL−LD−${\tfrac {ALB}{LD}}$: & ordinatæ pars data 2SL ducta in longitudinem AB describet aream rectangulam 2SL×AB; & pars indefinita LD ducta normaliter in eandem longitudinem