Pagina:Principia newton la.djvu/175

Haec pagina emendata est

$\tfrac{BP \times BD \times m}{AB}$. Auferatur areæ DET momentum DTV seu BD×m, & restabit $\tfrac{AP \times BD \times m}{AB}$. Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differentiæ arearum, æqualis $\tfrac{AP \times BD \times m}{AB}$; & propterea (ob datum $\tfrac{BD \times m}{AB}$) ut velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia, & simul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia. Q. E. D.

Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tempore describere posset, ut arearum illarum differentia ad $\tfrac{BD \times V^2}{4AB}$, ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut $V^2$, & ob datas BD & AB, ut $\tfrac{BD \times V^2}{4AB}$. Tempus autem est ut DET seu $\tfrac{1}{2}$BD×ET, & harum arearum momenta sunt ut $\tfrac{BD \times V}{2AB}$ ductum in momentum ipsius V & $\tfrac{1}{2}$ BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut $\tfrac{BD \times V}{2AB}$ in $\tfrac{DAq. \times 2m}{DEq.}$ & $\tfrac{1}{2}$BD×2m, sive ut $\tfrac{BD \times V \times DAq. \times m}{AB \times DEq.}$ & BD×m. Et propterea momentum areæ $V^2$ est ad momentum differentiæ arearum DET & AKNb, ut $\tfrac{BD \times V \times DA \times m}{AB \times DE}$ ad $\tfrac{AP \times BD \times m}{AB}$ sive ut $\tfrac{V \times DA}{DE}$ ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimæ sunt, in ratione æqualitatis. Æqualis igitur est area quam minima $\tfrac{BD \times V^2}{4AB}$ differentiæ quam minimæ arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area $\tfrac{BD \times V^2}{4AB}$ & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in æqualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa $\tfrac{BD \times V^2}{4AB}$ & arearum DET & AKNb differentia. Q. E. D.

---