Pagina:Principia newton la.djvu/97

Haec pagina emendata est

CP, & ob similitudinem ﬁguræ evanescentis P nomq & ﬁguræ PFGVI, ratio ultima lineolarum evanescentium Pm, Pn, Po, Pq, id est ratio incrementorum momentaneorum curvæ AP, rectæ CP & arcus circularis BP, ac decrementi rectæ VP, eadem erit quæ linearum PV, PF, PG, PI respective. Cum autem VF ad CF & VH ad CV perpendiculares sunt, anguliq; HVG, VCF propterea æquales; & angulus VHP, (ob angulos quadrilateri HVEP ad V & P rectos,) complet angulum VEP ad duos rectos, adeoq; angulo CEP æqualis est, similia erunt triangula VHG, CEP; & inde ﬁet ut EP ad CE ita HG ad HV seu HP, & ita KI ad KP, & divisim ut CB ad CE ita PI ad PK, & duplicatis consequentibus ut CB ad 2CE ita PI ad PV. Est igitur decrementum lineæ VP, id est incrementum lineæ BV−VP, ad incrementum lineæ curvæ AP in data ratione CB ad 2CE, & propterea (per Corol. Lem. IV.) longitudines BV−VP & AP incrementis illis genitæ sunt in eadem ratione. Sed existente BV radio, est VP cosinus anguli VPB seu ${\tfrac {1}{2}}$ BEP, adeoq; BV−VP sinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac Rota cujus radius est ${\tfrac {1}{2}}$ BV, erit BV−VP duplus sinus versus arcus ${\tfrac {1}{2}}$ BP. Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ${\tfrac {1}{2}}$ BP ut 2CE ad CB. Q.E.D.

Lineam autem AP in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis gratia nominabimus.

Corol. 1. Hinc si describatur Cyclois integra ASL & bisecetur ea in S, erit longitudo partis PS ad longitudinem VP (quæ duplus est sinus anguli VBP, existente EB radio) ut 2CE ad CB atq; adeo in ratione data.

Corol. 2. Et longitudo semiperimetri Cycloidis AS æquabitur lineæ rectæ, quæ est ad Rotæ diametrum BV ut 2CE ad CB.

Corol. 3. Ideoq; longitudo illa est ut rectangulum BEC, si modo Globi detur semidiameter.

Prop. L. Prob. XXXIII.

Facere ut Corpus pendulum oscil letur in Cycloide data.

Intra Globum QVS centro C descriptum detur Cyclois QRS bisecta in R & punctis suis extremis Q & S superﬁciei Globi hinc inde occurrens. Agatur CR bisecans arcum QS in O, & producatur ea ad A, ut sit CA ad CO ut CO ad CR. Centro C intervallo CA describatur Globus exterior ABD, & intra hunc globum Rota, cujus diameter sit AO, describantur duæ semicycloides AQ, AS, quæ globum interiorem tangant in Q & S & globo exteriori occurrant in A. A puncto illo A, ﬁlo APT longitudinem AR æquante,