Incipit geometria d. Boetii.
Quia, mi Patricii, geometrum exercitatissime, geometrice artis obscura et ab Euclide involute prolata te adhortante exponenda et lucidiore aditu expolienda suscepi, inprimis quid sit mensura diffiniendum opinor.
Mensura est quicquid pondere, capacitate, longitudine, latitudine, altitudine, animoque finitur. Principium autem mensure punctus.
[I Def. 1] Punctus est cuius nulla pars est.
[Def. 2] Linea est sine latitudine longitudo;
[Def. 3] linee vero fines puncta sunt.
[Def. 4] Recta linea est que equaliter in suis protenditur punctis.
[Def. 5] Superficies vero est quod longitudine, latitudineque ce〈n〉setur.
[Def. 6] Superficiei autem fines linee sunt.
[Def. 7] Plana superficies est que equaliter rectis lineis continetur.
[Def. 8] Planus angulus est duarum linearum in plano se tangentium et 〈non〉 in directo iacentium ad alterum conclusio.
[Def. 9] Quando linee angulum continentes recte sunt, rectilineus angulus dicitur.
[Def. 10] Quando recta linea super rectam lineam stans circum se angulos fecerit equos, uterque rectus est equalium angulorum, et recta linea super rectam lineam stans, / perpendicularis dicitur.
[Def. 11] Obtusus angulus maior recto est.
[Def. 12] Acutus autem minor est recto.
[Def. 14] Figura est que sub aliquo vel sub aliquibus terminis continetur.
[Def. 13] Terminus vero est quod cuiusque est finis.
[Def. 15] Circulus est figura plana una circumdata et contenta linea, ad quam a puncto quod infra lineam est et in medio ipsius omnes que incidunt recte linee sibi invicem sunt equales;
[Def. 16] et hoc punctum centrum circuli nominatur.
[Def. 17] Diametros circuli est recta linea per centrum ducta ab utraque parte in circumferentia circuli terminata que in duas equas partes circulum dividit.
[Def. 18] Semicirculus est figura plana que sub diametro et ea quam dyametros apprehendit circumferentia continetur.
[Def. 19] Rectilinee figure sunt que rectis lineis continentur. Trilatera figura est que tribus rectis lineis continetur, quadrilatera que sub quatuor. Finitima vero linea mensuralis est que pro aliqua observatione aut termino servatur. Multilatera figura est que pluribus quam IIII terminis continetur ac lateribus.
[Def. 20] Equilaterus triangulus est qui tribus equis lateribus continetur, et hic dicitur ysopleuros. Isosceles est qui tantum duo latera habet equalia. Scalenos est qui tria latera habet inequalia.
[Def. 21] Amplius trilaterarum figurarum ortogonius triangulus est qui unum habet rectum angulum. Ambligonium, quod latine sonat obtusiangulum, est quod unum tantum habet obtusum angulum. Oxigonium, id est acutiangulum, est in quo omnes anguli sunt acuti.
[Def. 22] Quadrilaterarum figurarum quadratum vocatur quod equilaterum est atque rectangulum. Parte altera longius est quod rectangulum quidem est, sed equilaterum non est. Rombos est quod equilaterum quidem est, sed rectangulum non est. Romboides est quod in contrarium collatas lineas atque angulos habet equales, non autem rectis angulis aut equis lateribus continetur. Preter has autem omnes quadrilatere figure trapezie, id est mensule, nominantur.
[Def. 23] Paralelle sunt recte linee que in eadem superficie collocate atque utrimque protracte non concurrent, etiam si in infinitum protrahantur.
[II Def. 1] Omne paralellogramum rectangulum sub duabus lineis rectum angulum ambientibus dicitur contineri.
[Def. 2] Omnis paralellogrami spacii eorum que circa eandem dyametrum sunt paraleUogramorum quodlibet unum cum supplementis duobus gnomo nominatur.
[III Def. 1] Circuli equales sunt quorum diametri sunt equales, inequales vero aliter se habentes.
[Def. 2] Circulus circulum contingere dicitur qui cum circulum tangit eum non secat.
[Def. 4] Recte linee a centro equahter distare dicuntur in circulo, quando a centro in ipsas ducte perpendi/culares sunt equales.
[Def. 5] Plus vero a centro dicitur linea distare in quam perpendicularis longior cadit.
[Def. 6] Portio circuli est figura sub recta linea et parte circumferentie contenta.
[Def. 8—9] In portione circuli angulus dicitur esse, cum in circumferentia sumitur aliquod punctum et ab eo ad ter-minos corde arcum subtendentis due recte linee ducuntur. Angulus circuli dicitur qui sub duabus lineis continetur aliquam circumferentie particulam comprehendentibus.
[Def. 10] Sector circuli est que sub duabus a centro ductis lineis et sub circumferentia que ab eis comprehenditur continetur.
[Def. 11] Similes circulorum dicuntur portiones que equales suscipiunt angulos, vel in quibus qui inscribuntur anguli sibi invicem sunt equales.
[IV Def. 1] Figura intra figuram dicitur scribi, quando ea que inscribitur eius in qua scribitur latera unoquoque angulo suo ab interiore parte contingit.
[Def. 6] Circulus vero figure circumscribi perhibetur, quando ea que circumscribitur circuli periferiam omnibus angulis suis interioribus contingit.
De quinque peticionibus.
Peticiones seu versata, ut veteribus placuit, sunt V.
[Post. 1] Prima est, ut ab omni pun(c)to in omnem punctum recta linea ducatur.
[Post. 2] Secunda, ut definita recta linea in continuum rectumque quantumlibet protrahatur, ammonet.
[Post. 3] Tercia, ut omni centro et omni spacio circulum designare liceat.
[Post. 4] Quarta omnes rectos angulos sibi invicem equos esse postulat.
[Post. 5] Quinta, si in duas rectas lineas recta linea incidens interiores duos angulos duobus rectis minores fecerit, rectas lineas in eam partem, in quibus duo interiores anguli duobus rectis angulis sunt minores, aliquantulum protractas sibi concurrere postulat.
De conceptionibus.
Communes animi conceptiones sunt iste.
[Ax. 1] Queeidem sunt equalia, et sibi invicem sunt equalia.
[Ax. 2] Et si equalibus equalia addantur, tota quoque fient equalia.
[Ax. 3] Et si ab equalibus equalia auferantur, que relinquunt(ur) equalia sunt.
[Ax. 4] Et si inequalibus equalia addas, ipsa quoque to(ta) fient inequalia.
[Ax. 5] Si fuerint due res uni equales, utraque earum erit equalis alteri.
[Ax. 6] Si fuerint due res quarum utraque unius eiusdemque dimidium fuerit, utraque erit equalis alteri.
[Ax. 7] Si aliqua res alii superponatur appliceturque ei nec excedat altera alteram, ille sibi invicem erunt equales.
[Ax. 8] Omne totum sua parte maius est.
Expliciunt anximata premissa proposito.
Incipiunt theoreumata. /
[I Pr. 1] Supra datam rectam lineam terminatam equilaterum constituere triangulum. [fig. 1]
[Pr. 2] A dato puncto cuilibet recte linee proposite equam rectam lineam ducere convenit. [fig. 2]
[Pr. 3] Duabus rectis lineis datis inequalibus a maiore equa-lem brevioris abscidere oportet. [fig.3]
[Pr. 4] Si duo trianguli unius latera duobus alterius trianguli lateribus fuerint equalia et angulus equis lateribus contentus angulo alterius suis relativis lateribus contento equalis, erit basis unius basi alterius equalis, et reliqui anguli unius reliquis angulis alterius equales, et totus triangulus toti triangulo equalis. [fig. 4]
[Pr. 5] Si duo latera trianguli fuerint equalia, angulos supra basem equalcs esse necesse est, et si equa latera directe protrahantur, erunt etiam sub basi anguli equales. [fig. 5]
[Pr. 6] Si duo anguli trianguli fuerint equales, erunt duo latera angulos illos respicientia equalia. [fig. 6]
[Pr. 7] Duabus rectis lineis super unam rectam erectis et ad idem punctum concurrentibus duas alias rectas
ab eisdem punctis eductas in eadem parte et suis conterminalibus equas ad aliud punctum concurrere est inpossibile. [fig. 7]
[Pr. 8] Si duo trianguli duo latera duobus lateribus equa possideant et basim basi equam habeant, erunt quoque an-guli basibus oppositi et reliqui anguli reliquis equales. [fig. 8]
[Pr. 10] Datam rectam lineam per equalia dividere.
[fig. 10/11]
[Pr. 9] Datum angulum per equalia secare. [fig. 9]
[Pr. 11] Data recta linea a puncto in ea assignato ortogo-naliter aliam educere. [fig. 10/11]
[Pr. 12] A puncto extra assignato ad lineam indefinite quantitatis perpendicularem ducere. [fig. 12]
[Pr. 13] Omnis recte linee super rectam lineam stantis duo utrinque anguli aut recti sunt aut pares rectis. [fig. 13]
[Pr. 14] Si ad punctum terminale recte linee due recte linee concurrerint cum eadem aut rectos autrectisduobusequales facientes,
in directum sibi easdem iacere necesse est. [fig. 14]
[Pr. 15] Si due recte linee se intersecent, angulos sibi contra iacentes faciunt equales. [fig. 15]
[Pr. 16] Omnium triangulorum exterior angulus utrovis interiore sibi contraposito maior existit. [fig. 16]
[Pr. 17] Omnis trianguli duo quivis anguli duobus rectis sunt minores. [fig. 17]
[Pr. 18] Omnis trianguli maius latus maiori angulo subtenditur. [fig. 18]
[Pr. 19] Omnis trianguli maior angulorum longiori lateri est oppositus. [fig. 19]
[Pr. 20] Omnis trianguli duo latera tercio sunt longiora ⟨que⟩ omnifariam sumantur. [fig. 20]
[Pr. 21] Si de duobus punctis terminalibus unius lateris trianguli due linee exeuntes intra triangulum ipsum ad punctum unum convenerint, eedem duobus quidem reliquis trianguli lateribus breviores erunt, maiorem vero angulum continebunt. [fig. 21]
[Pr. 22] Propositis tribus rectis lineis quarum queque due simul iuncte reliqua sunt longiores, de tribus aliis rectis lineis sibi equalibus triangulum constituere. [fig. 22]
[Pr. 23] Data recta linea super terminum eius cuilibet angulo proposito equum angulum designare. [fig. 23]
[Pr. 24] Omnium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus lateribus equalia, si fuerit angulorum sub illis equis lateribus contentorum alter altero maior, basis quoque eiusdem basi alterius maior.
[fig. 24]
[Pr. 25] Si duo trianguli duo latera duobus lateribus equalia habuerint alterum alteri, quod basim basi maiorem habebit, et angulum angulo. [fig. 25]
[Pr. 26] Si duo trianguli duos angulos duobus angulis equales habuerint alterum alteri, sive id quod equis adiacet angulis seu quod sub uno subtenditur equalium angulorum, et reliqua latera reliquis lateribus habebit equa altera alteris, et reliquum angulum reliquo angulo equalem possidebunt. [fig. 26]
[Pr. 27] Si linea super duas lineas ceciderit et altenatim fecerit equos angulos, ille linee sunt paralelle. [fig. 27]
[Pr. 28] Si in duas rectas lineas linea incidens exteriorem angulum et ex adverso interiori constituto equalem reddiderit, rectas lineas subalternas esse conveniet. [fig. 28]
[Pr. 29] Si in duas lineas linea inciderit et alternos angulos equales fecerit qui deintus et contra et in eisdem partibus sunt et que deintus et in eisdem partibus sunt, linee sunt paralelle. [fig. 29]
[Pr. 30] Si plures linee uni sunt equidistantes, et sibi in-vicem equidistant. [fig. 30]
[Pr. 31] A puncto extra dato lineam linee equidistantem ducere. [fig. 31]
[Pr. 32] Omnis trianguli angulus exterior duobus interioribus sibi oppositis est equus, et omnis triangulus III habct angulos duobus rectis equales. [fig. 32]
[Pr. 33] Que equas et alternas rectas lineas ad easdem partes recte linee contingunt, ipse quoque alterne sunt et equales. [fig. 33/34]
[Pr. 34] Omne paralellogramum latera opposita et angulos habet equos. [fig. 33/34]
[Pr. 35] Omnia paralellograma in eisdem basibus et in eisidem alternis lineis constituta sunt equalia. [fig. 35]
[Pr. 36] Omnia paralellograma in basibus equis et in ⟨eisdem⟩ alternis lineis constituta sunt equalia. [fig. 36]
[Pr. 37] Equi sunt cuncti trianguli super eandem basim et inter lineas equidistantes constituti. [fig. 38]
[Pr. 38] Equales sunt cuncti trianguli in equalibus basibus et inter ⟨easdem⟩ paralellas constituti. [fig. 38]
[Pr. 39] Equa triangula si in eandem basem vel in equales bases ex eadem parte ceciderint, in lineas equidistantes esse necesse est.
[fig. 39]
[Pr. 41] Si paralellogramum triangulusque in eadem basi et in <eisdem> alternis lineis constituantur, paralellogramum triangulo duplum erit. [fig. 40]
[Pr. 42] Equidistantium laterum superficiem designare cuius angulus sit angulo assignato equalis, ipsa vero superficies triangulo assignato equalis. [fig. 41]
[Pr. 43] Omnis paralellogrami spacii paralellogramorum que circa diametrum consistunt supplementa sibi invicem equa sunt. [fig. 42]
[Pr. 44] Proposita linea recta super eam superficiem equidistantium laterum constituere cuius angulus sit angulo assignato equalis, ipsa vero superficies triangulo assignato equalis. [fig. 43]
[Pr. 46] Ex data linea quadratum describerc. [fig. 44] [Pr. 47] In omni ortogonio quadratum quod a latere recto angulo ⟨opposito⟩ in se ipsum ducto describitur equum est duobus quadratis simul que ex reliquis lateribus conscribuntur. [fig. 45]
[Pr. 48] Si in triangulo quod a latere rectum angulum sub tendente quadratum describitur equum fuerit reliquorum trianguli laterum quadratis, rectus est angulus cui latus illud opponitur. [fig. 46]
[II Pr. 1] Si fuerint due recte linee quarum una fuerit in partes divisa, alia non, illud quod fiet ex ductu unius in altcram equum erit his que ex ductu linee indivise in una⟨m⟩quamque partem linee in
plures portiones secte paralella rectangula producentur. [fig. 47]
[Pr. 3] Si recta linea secetur, quod sub tota et una sui portione rectangulum continetur equum est ei quod sub utraque portione rectangulum clauditur et ei quadrato quod a predicta parte describitur.
[fig. 48] [Pr. 5] Si recta linea per equalia atque inequalia secetur, quod sub inequalibus tocius sectionis rectangulum conti-netur, cum eo quadrato quod inter utrasque est sectiones, equum est ei quadrato quod ab ea describitur que tocius linee per equalem et inequalem divisionem secte medietatem optinere cognoscitur. [fig. 49]
[Pr. 6] Si linea recta in duo equa dividatur eique in longum alia linea addatur, quod ex ductu totius iam
composite in eam que adiecta est, cum eo quod ex ductu dimidie in se ipsam, equ⟨u⟩m est ei quadrato quod describitur ab ea que constat ex adiecta atque dimidia. [fig. 50]
[Pr. 9] Si linea recta per equalia et per inequalia dividatur, que fiunt ex ductu inequalium in se dupla sunt eis que ex dimidia eaque que sectioni interiacet quadratis describuntur. [fig. 51] [Pr. 10] Si linea in duo equa dividatur eique in longum alia linea addatur, quadratum quod describitur a tota cum addita et quadratum quod ab ea que addita est, utraque quadrata pariter accepta, ei quadrato quod a dimidia eique quod ab ea producitur que a dimidia adiectaque consistit, utrisque quadratis pariter acceptis, dupla esse necesse est. [fig.52]
[Pr. 11] Datam lineam sic secare, ut quod sub tota et una portione rectangulum continetur equum sit ei quod fit ex reliqua sectione quadratum. [fig. 53]
[Pr. 12] Omnis ambligonii tanto ea que obtusum respicit angulum ambobus lateribus angulum continentibus obtusum amplius potest, quantum est quod bis tenetur sub uno eorum atque ea que sibi directe iuncta ad obtusum angulum extra deprehenditur. [fig. 54]
[Pr. 13] Omnis oxigonii tanto
ea que acutum subtendit angulum utrisque lateribus acutum angulum continentibus minus potest, quantum est quod bis continetur sub uno eorum cui perpendicularis intra superstat eaque sui parte que perpendiculari acutoque angulo interiacet. [fig. 55]
[Pr. 14] Dato trigono equum quadratum describere. [fig. 56]
[III Pr. 1] Circuli propositi centrum invenire. Ex eo constat evidenter quod duabus lineis rectis intra circulum apud circumferentiam terminatis neutra earum alteram ortogonaiter per equalia secat, nisi ipsa super centrum transcat. [fig. 57]
[Pr. 8] Si extra circuli periferiam punctus sumatur a quo ad circulum linee plurime circulum secantes ducantur, que supra centrum transierit omnium erit longissima, centro autem propinquiores ceteris remotioribus longiores. Linee vero parciales ad circumferentiam extrinsecus applicate ea quidcm que diametro directe concurrit omnium minima, eique propinquiores remotioribus brcviores; dueque linee brevissime que utrinque eque propinquant sunt equales. [fig. 58]
[Pr. 19] Si circulum linea recta contingat et a contactu in circulum linea quedam ortogonaliter ducatur, in ea centrum circuli esse necesse est. [fig. 59]
[Pr. 21] Si in una circuli portione super arcum consistant, angulos quoslibet equales esse oportet. [fig. 60]
[Pr. 22] Si intra circulum quadrilaterum describatur, omncs duos angulos eius ex adverso collocatos duobus rectis angulis equales esse oportet. [fig. 61]
[Pr. 30] Datum arcum per equalia secare non disconvenit.
[Pr. 31] Si rectilineus angulus in semicirculo super arcum consistat, rectus est, si in portione semicirculo maiore, recto minor, si in minore, recto maior. [fig. 63]
[Pr. 32] Si circulum linea recta contingat, a contactu vero in circulum quedam secans circulum rccta linea preter centrum ducatur, quoscumque angulos facit duos duobus angulis qui in alternatis circuli super arcum consistunt portionibus sunt equales. [fig. 64]
[IV Pr. 1] Intra datum circulum date recte linee que dyametro minime maior existat equalem rectam lineam figurare non est inconveniens. [fig. 65] [Pr. 2] Intra assignatum circulum triangulum triangulo assignato equiangulum constituere. [fig. 66]
[Pr. 3] Circa assignatum circulum triangulum triangulo assignato equiangulum constituere. [fig. 67]
[Pr. 4] Intra datum triangulum circulum describere. [fig. 68]
[Pr. 5] Circa trigonum assignatum qualemcumque circulum describcre. [fig. 69]
[Pr. 6] Intra datum circulum quadratum figurare. [fig. 70]
[Pr. 7 (?)] Intra datum quadratum circulum describere. [fig. 71]
[Pr. 8] Intra quadratum assignatum designarc circulum. [fig. 72]
[Pr. 9] Circa quadratum assignatum circulum designare. [fig.73]
[Pr. 10] Duum equalium laterum trian-
gulum designare cuius uterque duorum angulorum supra basim constitutus reliquo duplus existat. [fig. 74]
[Pr. 11] Intra datum circulum equilaterum et equiangulum pentagonum describere. [fig. 75]
[Pr. 12] Deinde circa quemlibet circulum pentagonum equilaterum atque equiangulum descriptum demonstrare.