Nam producantur AB, AD, AR ad b, d & r. Ipsi RD agatur parallela rbd, & arcui AB similis ducatur arcus Ab. Coeuntibus punctis A, B, angulus bAd evanescet, & propterea triangula tria rAb, rAb, rAd coincident, suntq; eo nomine similia & �qualia. Unde & hisce semper similia & proportionalia RAB, RAB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & �qualia. Q. E. D. Corol. Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.
Lemma IX. Si recta AE & Curva AC positione dat� se mutuo secent in angulo dato A, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur BD, EC, curv� occurrentes in B, C; dein puncta B, C accedant ad punctum A: dico quod are� triangulorum ADB, AEC erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum. Etenim in AD producta capiantur Ad, Ae ipsis AD, AE proportionales, & erigantur ordinat� db, ec ordinatis DB, EC parallel� & proportionales. Producatur AC ad c, ducatur curva Abc ipsi ABC similis, & recta Ag tangatur curva utraq; in A; & secantur ordinatim applicat� in F , G, f , g. Tum coeant puncta B, C cum puncto A, & angulo cAg evanescente, coincident are� curviline� Abd, Ace cum rectilineis Af d, Age, adeoq; per Lemma V, erunt in duplicata ratione laterum Ad, Ae: Sed his areis proportionales semper sunt are� ABD, ACE, & his lateribus latera AD, AE. Ergo & are� ABD, ACE sunt ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. Q. E. D.
Lemma X. Spatia, qu� corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum. Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genit� per ordinatas DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut are� ABD, ACE his ordinatis descript�, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q. E. D. Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus �qualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad qu� corpora temporibus ijsdem proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime. 28
