Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/101

91

residua $+5$ et $-5$.

bilis, ponatur $a=5b$, atque $u=5v$, unde $\textstyle tv\equiv$ $-1\equiv$ $\textstyle 4{\pmod {5}}$, i. e. $tv$ erit residuum numeri $5$. In reliquis demonstratio perinde procedit ut in casu priori.

122.

Omnium igitur numerorum primorum, qui simul sunt ipsius $5$ non-residua simulque formae $4n+1$, i. e. omnium numerorum primorum formae $20n+3$ vel $20n+17$, tum $+5$ quam $-5$ non-residua erunt; omnium autem numerorum primorum formae $20n+3$ vel $20n+7$, non-residuum erit $+5$, $-5$ residuum.

Potest vero prorsus simili modo demonstrari, $-5$ esse non-residuum omnium numerorum primorum formarum $20n+11$, $20n+13$, $20n+17$, $20n+19$, facileque perspicitur hinc sequi, $+5$ esse residuum omnium numerorum primorum formae $20n+11$ vel $20n+19$, non-residuum autem omnium formae $20n+13$ vel $20n+17$. Et quoniam quivis numerus primus, praeter $2$ et $5$ (quorum residuum $\pm 5$), in aliqua harum formarum continetur $20n+1$, $3$, $7$, $9$, $11$, $13$, $17$, $19$, patet, de omnibus iam iudicium ferri posse, exceptis iis, qui sint formae $20n+1$ vel formae $20n+9$.

123.

Ex inductione facile deprehenditur, $+5$ et $-5$ esse residua omnium numerorum primorum formae $20n+1$ vel $20n+9$. Quodsi hoc generaliter verum est, lex elegans habebitur, $+5$ esse residuum omnium numerorum primorum, qui ipsius $5$ sint residua, (hi enim in alterutra formarum $5n+1$ vel $5n+4$ sive in aliqua harum, $20n+1$, $9$, $11$, $19$, continentur, de quarum tertia et quarta illud iam ostensum est) non-residuum vero omnium numerorum imparium, qui ipsius $5$ sint non-residua, ut iam supra demonstravimus. Clarum autem est, hoc theorema sufficere, ad diiudicandum, utrum $+5$ (eoque ipso, $-5$, si tamquam productum ex $+5$ et $-1$ consideretur) numeri cuiuscunque dati residuum sit an non-residuum. Denique observetur huius theorematis cum illo, quod art. 120 de residuo $-3$ exposuimus, analogia.

At verificatio illius inductionis non adeo facilis. Quando numerus primus formae $20n+1$, sive generalius formae $5n+1$ proponitur, res simili modo absolvi potest, ut in artt. 114, 119. Sit scilicet numerus quicunque pro modulo $5n+1$ ad exponentem $5$ pertinens $a$, quales dari ex Sect. praec. manifestum,

12*