Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/34

24

de congruentiis primi gradus.

quaesitus, $z$, numeris $a$, $b$ respective congruus esse debeat. Omnes itaque valores ipsius $z$ sub forma $Ax+a$ continentur, ubi $x$ est indeterminatus sed talis, ut fiat $\textstyle Ax+a\equiv b{\pmod {B}}$. Quodsi iam numerorum $A$, $B$ divisor communis maximus est $\delta$, resolutio completa huius congruentiae hanc habebit formam: $\textstyle x\equiv v{\pmod {\frac {B}{\delta }}}$, sive quod eodem redit, $\textstyle x=v+{\frac {kB}{\delta }}$, denotante $k$ numerum integrum arbitrarium. Hinc formula $\textstyle Av+a+{\frac {kAB}{\delta }}$ omnes ipsius $z$ valores comprehendet, i. e. $\textstyle z\equiv$ $\textstyle Av+a{\pmod {\frac {AB}{\delta }}}$ erit resolutio completa problematis. Si ad modulos $A$, $B$ tertius accedit, $C$, secundum quem, numerus quaesitus $z$ debet esse $\equiv c$, manifesto eodem modo procedendum, quum binae priores conditiones in unicam iam sint conflatae. Scilicet si numerorum $\textstyle {\frac {AB}{\delta }}$, $C$ divisor communis maximus $=\varepsilon$, atque congruentiae $\textstyle {\frac {AB}{\delta }}x+Av+a$ $\textstyle \equiv c{\pmod {C}}$ resolutio: $\textstyle x\equiv w{\pmod {\frac {C}{\varepsilon }}}$, problema per congruentiam $\textstyle z\equiv$ $\textstyle {\frac {ABw}{\delta }}+Av+a{\pmod {\frac {ABC}{\delta \varepsilon }}}$ complete erit resolutum. Similiter procedendum, quotcunque moduli proponantur. Observari convenit $\textstyle {\frac {AB}{\delta }},$ $\textstyle {\frac {ABC}{\delta \varepsilon }}$ esse numerorum $A$, $B$; et $A$, $B$, $C$ respective minimos communes dividuos, facileque inde perspicitur, quotcunque habeantur moduli $A$, $B$, $C$ etc., si eorum minimus communis dividuus sit $M$, resolutionem completam hanc formam habere, $\textstyle z\equiv r{\pmod {M}}$. Ceterum quando ulla congruentiarum auxiliarium est irresolubilis, problema impossibilitatem involvere concludendum est. Perspicuum vero, hoc evenire non posse, quando omnes numeri $A$, $B$, $C$ etc. inter se sint primi.

Ex. Sint numeri $A$, $B$, $C$; $a$, $b$, $c$; $504$, $35$, $16$; $17$, $-4$, $-33$; hic duae conditiones ut $z$ sit $\textstyle \equiv 17{\pmod {504}}$ et $\textstyle \equiv -4{\pmod {35}}$ unicae, ut sit $\textstyle \equiv 521{\pmod {2520}}$ aequivalent; ex qua cum hac: $\textstyle z\equiv 33{\pmod {16}}$ coniuncta, promanat $\textstyle z\equiv 3041{\pmod {5040}}$

33.

Quando omnes numeri $A$, $B$, $C$ etc. inter se sunt primi, constat, productum ex ipsis esse minimum omnibus communem dividuum. In quo casu manifestum est, omnes congruentias $\textstyle z\equiv a{\pmod {A}}$; $\textstyle z\equiv b{\pmod {B}}$ etc. unicae $\textstyle z\equiv r{\pmod {R}}$ prorsus aequivalere, denotante $R$ numerorum $A$, $B$, $C$ etc. productum. Hinc vero vicissim sequitur, unicam conditionem $\textstyle z\equiv r{\pmod {R}}$ in plures dissolvi posse; scilicet si $R$ quomodocunque in factores inter se primos $A$, $B$, $C$ etc resolvitur, conditiones $\textstyle z\equiv r{\pmod {A}}$, $\textstyle z\equiv r{\pmod {B}}$, $\textstyle z\equiv r{\pmod {C}}$, etc. propositum exhaurient. Haec observatio methodum nobis aperit