Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/34

24

de congruentiis primi gradus.

quaesitus, $z$, numeris $a$, $b$ respective congruus esse debeat. Omnes itaque valores ipsius $z$ sub forma $Ax+a$ continentur, ubi $x$ est indeterminatus sed talis, ut fiat $Ax+a\equiv b(\mathrm{mod}B)$. Quodsi iam numerorum $A$, $B$ divisor communis maximus est $\delta$, resolutio completa huius congruentiae hanc habebit formam: $x\equiv v(\mathrm{mod}\frac{B}{\delta })$, sive quod eodem redit, $x=v+\frac{kB}{\delta }$, denotante $k$ numerum integrum arbitrarium. Hinc formula $Av+a+\frac{kAB}{\delta }$ omnes ipsius $z$ valores comprehendet, i. e. $z\equiv$ $Av+a(\mathrm{mod}\frac{AB}{\delta })$ erit resolutio completa problematis. Si ad modulos $A$, $B$ tertius accedit, $C$, secundum quem, numerus quaesitus $z$ debet esse $\equiv c$, manifesto eodem modo procedendum, quum binae priores conditiones in unicam iam sint conflatae. Scilicet si numerorum $\frac{AB}{\delta }$, $C$ divisor communis maximus $=\epsilon$, atque congruentiae $\frac{AB}{\delta }x+Av+a$ $\equiv c(\mathrm{mod}C)$ resolutio: $x\equiv w(\mathrm{mod}\frac{C}{\epsilon })$, problema per congruentiam $z\equiv$ $\frac{ABw}{\delta }+Av+a(\mathrm{mod}\frac{ABC}{\delta \epsilon })$ complete erit resolutum. Similiter procedendum, quotcunque moduli proponantur. Observari convenit $\frac{AB}{\delta },$ $\frac{ABC}{\delta \epsilon }$ esse numerorum $A$, $B$; et $A$, $B$, $C$ respective minimos communes dividuos, facileque inde perspicitur, quotcunque habeantur moduli $A$, $B$, $C$ etc., si eorum minimus communis dividuus sit $M$, resolutionem completam hanc formam habere, $z\equiv r(\mathrm{mod}M)$. Ceterum quando ulla congruentiarum auxiliarium est irresolubilis, problema impossibilitatem involvere concludendum est. Perspicuum vero, hoc evenire non posse, quando omnes numeri $A$, $B$, $C$ etc. inter se sint primi.

Ex. Sint numeri $A$, $B$, $C$; $a$, $b$, $c$; $504$, $35$, $16$; $17$, $-4$, $-33$; hic duae conditiones ut $z$ sit $\equiv 17(\mathrm{mod}504)$ et $\equiv -4(\mathrm{mod}35)$ unicae, ut sit $\equiv 521(\mathrm{mod}2520)$ aequivalent; ex qua cum hac: $z\equiv 33(\mathrm{mod}16)$ coniuncta, promanat $z\equiv 3041(\mathrm{mod}5040)$

33.

Quando omnes numeri $A$, $B$, $C$ etc. inter se sunt primi, constat, productum ex ipsis esse minimum omnibus communem dividuum. In quo casu manifestum est, omnes congruentias $z\equiv a(\mathrm{mod}A)$; $z\equiv b(\mathrm{mod}B)$ etc. unicae $z\equiv r(\mathrm{mod}R)$ prorsus aequivalere, denotante $R$ numerorum $A$, $B$, $C$ etc. productum. Hinc vero vicissim sequitur, unicam conditionem $z\equiv r(\mathrm{mod}R)$ in plures dissolvi posse; scilicet si $R$ quomodocunque in factores inter se primos $A$, $B$, $C$ etc resolvitur, conditiones $z\equiv r(\mathrm{mod}A)$, $z\equiv r(\mathrm{mod}B)$, $z\equiv r(\mathrm{mod}C)$, etc. propositum exhaurient. Haec observatio methodum nobis aperit