Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/44

E Wikisource
Haec pagina emendata est
34
de congruentiis primi gradus.

Iam quoniam quaeque permutatio ex rebus constat, patet cuivis similes adinveniri posse, si ea res quae prima fuerat, ad secundum, tertium etc. locum promoveatur. Quarum si nullae identicae esse possunt, manifestum est, omnium permutationum numerum per divisibilem evadere, quippe qui vicibus maior sit quam numerus omnium permutationum dissimilium. Supponamus igitur duas permutationes quarum altera ex altera per terminorum promotionem orta sit, identicas esse sive etc. Sit terminus qui in priori est primus, tus in posteriori. Erit igitur in serie posteriori terminus tus aequalis primo, tus secundo etc. unde tus rursus primo aequalis evadet, eademque ratione tus etc.; generaliterque terminus tusto (ubi quando ipsum superat, aut series semper ab initio repeti concipienda est, aut a multiplum ipsius proxime minus rescindendum). Quamobrem si ita determinatur, ut fiat , quod fieri potest, quia primus, sequitur generaliter terminum tumto aequalem esse, sive quemvis terminum sequenti, i. e. omnes terminos aequales esse contra hypothesin.


42.

Si coëfficientes ; duarum functionum formae omnes sunt rationales, neque vero omnes integri, productumque ex et omnes coëfficientes integri esse nequeunt.

Demonstr. Exprimantur omnes fractiones in coëfficientibus etc etc. per numeros quam minimos, eligaturque ad libitum numerus primus , qui aliquem aut plures ex denominatoribus harum fractionum metiatur. Ponamus, id quod licet, metiri denominatorem alicuius coëfficientis fracti in , patetque si per dividatur, etiam in dari ad minimum unum coëfficientem fractum, cuius denominator implicet factorem (puta coëfficientem primum ).