Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/44

34

de congruentiis primi gradus.

Iam quoniam quaeque permutatio ex $p$ rebus constat, patet cuivis $p-1$ similes adinveniri posse, si ea res quae prima fuerat, ad secundum, tertium etc. locum promoveatur. Quarum si nullae identicae esse possunt, manifestum est, omnium permutationum numerum per $p$ divisibilem evadere, quippe qui $p$ vicibus maior sit quam numerus omnium permutationum dissimilium. Supponamus igitur duas permutationes $PQ\ldots TV\ldots YZ;\quad \quad V\ldots YZPQ\ldots T$ quarum altera ex altera per terminorum promotionem orta sit, identicas esse sive $P=V$ etc. Sit terminus $P$ qui in priori est primus, $n+1$^tus in posteriori. Erit igitur in serie posteriori terminus $n+1$^tus aequalis primo, $n+2$^tus secundo etc. unde $2n+1$^tus rursus primo aequalis evadet, eademque ratione $3n+1$^tus etc.; generaliterque terminus $kn+m$^tus$m$^to (ubi quando $kn+m$ ipsum $p$ superat, aut series $V\ldots YZPQ\ldots T$ semper ab initio repeti concipienda est, aut a $kn+m$ multiplum ipsius $p$ proxime minus rescindendum). Quamobrem si $k$ ita determinatur, ut fiat $\textstyle kn\equiv 1{\pmod {p}}$, quod fieri potest, quia $p$ primus, sequitur generaliter terminum $m$^tum$m+1$^to aequalem esse, sive quemvis terminum sequenti, i. e. omnes terminos aequales esse contra hypothesin.

42.

Si coëfficientes $A,B,C\ldots N$; $a,b,c\ldots n$ duarum functionum formae ${\begin{alignedat}{1}x^{m}&+A&x^{m-1}&+B&x^{m-1}&+C&x^{m-1}\ldots \ldots &+&N\ &.\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ (&P)\\x^{\mu }&+a&x^{\mu -1}&+b&x^{\mu -1}&+c&x^{\mu -1}\ldots \ldots &+&n\ &.\ \ .\ \ .\ \ .\ \ .\ (&Q)\end{alignedat}}$ omnes sunt rationales, neque vero omnes integri, productumque ex $(P)$ et $(Q)$ $x^{m+\mu }+{\mathfrak {A}}x^{m+\mu -1}+{\mathfrak {B}}x^{m+\mu -1}+{\mathfrak {C}}x^{m+\mu -1}+\mathrm {etc.} +{\mathfrak {Z}}$ omnes coëfficientes ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\ldots {\mathfrak {Z}}$ integri esse nequeunt.

Demonstr. Exprimantur omnes fractiones in coëfficientibus $A,B$ etc $a,b$ etc. per numeros quam minimos, eligaturque ad libitum numerus primus $p$, qui aliquem aut plures ex denominatoribus harum fractionum metiatur. Ponamus, id quod licet, $p$ metiri denominatorem alicuius coëfficientis fracti in $(P)$, patetque si $(Q)$ per $p$ dividatur, etiam in $\textstyle {\frac {(Q)}{p}}$ dari ad minimum unum coëfficientem fractum, cuius denominator implicet factorem $p$ (puta coëfficientem primum $\textstyle {\frac {1}{p}}$).