34
de congruentiis primi gradus.
Iam quoniam quaeque permutatio ex rebus constat, patet cuivis
similes adinveniri posse, si ea res quae prima fuerat, ad secundum, tertium etc.
locum promoveatur. Quarum si nullae identicae esse possunt, manifestum est,
omnium permutationum numerum per divisibilem evadere, quippe qui
vicibus maior sit quam numerus omnium permutationum dissimilium.
Supponamus igitur duas permutationes
quarum altera ex altera per terminorum promotionem orta sit, identicas esse sive
etc. Sit terminus qui in priori est primus, tus in posteriori.
Erit igitur in serie posteriori terminus tus aequalis primo, tus secundo
etc. unde tus rursus primo aequalis evadet, eademque ratione tus
etc.; generaliterque terminus tusto (ubi quando ipsum superat,
aut series semper ab initio repeti concipienda est, aut a
multiplum ipsius proxime minus rescindendum). Quamobrem si ita
determinatur, ut fiat , quod fieri potest, quia primus, sequitur
generaliter terminum tumto aequalem esse, sive quemvis terminum sequenti,
i. e. omnes terminos aequales esse contra hypothesin.
42.
Si coëfficientes ; duarum functionum formae
omnes sunt rationales, neque vero omnes integri, productumque ex et
omnes coëfficientes integri esse nequeunt.
Demonstr. Exprimantur omnes fractiones in coëfficientibus etc
etc. per numeros quam minimos, eligaturque ad libitum numerus primus , qui
aliquem aut plures ex denominatoribus harum fractionum metiatur. Ponamus, id
quod licet, metiri denominatorem alicuius coëfficientis fracti in , patetque
si per dividatur, etiam in dari ad minimum unum coëfficientem
fractum, cuius denominator implicet factorem (puta coëfficientem primum ).