Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/45

35

theoremata varia.

Iam facile perspicitur, in $(P)$ datum iri terminum unum, fractum, cuius denominator involvat plures dimensiones ipsius $p$ quam denominatores omnium similium praecedentium, et non pauciores quam, denominatores omnium sequentium; sit hic terminus $=Gx^{g}\!$, et multitudo dimensionum ipsius $p$ in denominatore ipsius $G$, $=t$. Similis terminus dabitur in $\textstyle {\frac {(Q)}{p}}$ qui sit $=\Gamma x^{\gamma }\!$ et multitudo dimensionum ipsius $p$ in denominatore ipsius $\Gamma$, $=\tau$. Manifesto hic erit $t+\tau$ ad minimum $=2$. His ita praeparatis, terminus $x^{g+\gamma }\!$ producti ex $(P)$ et $(Q)$ coëfficientem habebit fractum, cuius denominator $t+\tau -1$ dimensiones ipsius $p$ involvet, id quod ita demonstratur.

Sint termini, qui in $(P)$ terminum $Gx^{g}\!$ praecedunt, $'\!Gx^{g+1}\!$, $''\!Gx^{g+2}\!$ etc., sequentes vero $G'x^{g-1}\!$, $G''x^{g-2}\!$ etc. ; similiterque in $\textstyle {\frac {(Q)}{p}}$ praecedant terminum $\Gamma x^{\gamma }\!$ termini $'\Gamma x^{g+1}\!$, $''\Gamma x^{g+2}\!$ etc., sequantur autem termini $\Gamma 'x^{g-1}\!$, $\Gamma ''x^{g-2}\!$ etc. Tum constat in producto ex $(P)$, $\textstyle {\frac {(Q)}{p}}$ coefficientem termini $x^{g+\gamma }\!$ fore ${\begin{matrix}=G\Gamma \!\!\!&+\ \ '\!G\Gamma '\!\!\!&+\ \ ''\!G\Gamma ''\!\!\!&\ +\mathrm {etc.} \\&+\ \ '\Gamma G'\!\!\!&+\ \ ''\Gamma G''\!\!\!&\ +\mathrm {etc.} \end{matrix}}$ Pars $G\Gamma$ erit fractio, quae si per numeros quam minimos exprimitur, in denominatore $t+\tau$ dimensiones ipsius $p$ involvit, reliquae autem partes si sunt fractae, in denominatore pauciores dimensiones numeri $p$ implicabunt, quoniam omnes sunt producta e binis factoribus, quorum alter non plures quam $t$, alter vero pauciores quam $\tau$ dimensiones ipsius $p$ implicat; vel alter non plures quam $\tau$, alterque pauciores quam $t$. Hinc $G\Gamma$ erit formae $\textstyle {\frac {e}{fp^{t+\tau }}}$, reliquarum vero summa formae $\textstyle {\frac {e'}{f'p^{t+\tau -\delta }}}$, ubi $\delta$ positivus et $e$, $f$, $f'\!$ a factore $p$ liberi: quare omnium summa erit $={\frac {ef'+e'fp^{\delta }}{ff'p^{t+\tau }}}$cuius numerator per $p$ non divisibilis, adeoque denominator per nullam reductionem pauciores dimensiones quam $t+\tau$ obtinere potest. Hinc coëfficiens termini $x^{g+\gamma }$ in producto ex $(P)$, $(Q)$ erit $={\frac {ef'+e'fp^{\delta }}{ff'p^{t+\tau -1}}}$ i. e. fractio, cuius denominator $t+\tau -1$ dimensiones ipsius $p$ implicat. Q. E. D.