Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/61

51

radices primitivae, indices.

sit $t$ valor quicunque expressionis $\textstyle {\frac {\delta }{n}}{\pmod {p-1}}$, quam valores reales habere ex art. 31 perspicuum; eritque $x^{tn}\equiv A^{t}\!$, at $x^{tn}\equiv x^{\delta }$ propter $\textstyle tn\equiv \delta {\pmod {p-1}}$. Quare $x^{\delta }\equiv A^{t}\!$ adeoque quicunque ipsius ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ valor erit etiam valor ipsius $\textstyle {}^{\delta }\!\!\!\surd {A^{t}}\!$. Quoties igitur ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ valores reales habet, expressioni $\textstyle {}^{\delta }\!\!\!\surd {A^{t}}\!$ prorsus aequivalens erit, quoniam illa neque alios habet quam haec neque pauciores, licet quando ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ nullum valorem realem habet, fieri tamen possit, ut $\textstyle {}^{\delta }\!\!\!\surd {A^{t}}\!$ valores reales habeat.

Ex. Si valores expressionis $\textstyle {}^{21}\!\!\!\surd {2}{\pmod {31}}$ quaeruntur, erit numerorum $21$ et $30$ divisor communis maximus $3$, expressionisque $\textstyle {\frac {3}{21}}{\pmod {30}}$ valor aliquis $3$, quare si ${}^{21}\!\!\!\surd {2}$ valores reales habet, huic expressioni $\textstyle {}^{3}\!\!\!\surd {2^{3}}$ sive ${}^{3}\!\!\!\surd {8}$ aequivalebit, invenieturque revera, posterioris expressionis valores, qui sunt $2$, $10$, $19$, etiam priori satisfacere.

64.

Ne autem hanc operationem incassum suscepisse periclitemur, regulam investigare oportet, per quam statim diiudicari possit, utrum ${}^{n}\!\!\!\surd {A}$ valores reales admittat necne. Quodsi tabula indicum habetur, res in promtu est; namque ex art. 60 manifestum est, valores reales dari, si ipsius $A$ index, radice quacunque primitiva pro basi accepta, per $\delta$ sit divisibilis, sin vero minus, non dari. Attamen hoc etiam absque tali tabula inveniri potest. Posito enim indice ipsius $A=k$, si hic fuerit per $\delta$ divisibilis, erit ${\tfrac {k(p-1)}{\delta }}$ per $p-1$ divisibilis et vice versa. Atqui numeri $\textstyle A^{\frac {p-1}{\delta }}\!$ index erit ${\tfrac {k(p-1)}{\delta }}$. Quare si $\textstyle {}^{n}\!\!\!\surd {A}{\pmod {p}}$ habet valores reales, $\textstyle A^{\frac {p-1}{\delta }}\!$ unitati congruus erit, sin minus, incongruus. Ita in exemplo art. praec. habetur $\textstyle 2^{10}=1024\equiv 1{\pmod {31}}$, unde concluditur valores reales habere. Similiter certiores hinc fimus , $\textstyle {}^{2}\!\!\!\surd {-1}{\pmod {p}}$ semper valores binos reales habere, quando $p$ sit formae $4m+1$, nullum vero, quando $p$ sit formae $4m+3$; propter $(-1)^{2m}=1$ et $(-1)^{2m+1}=-1$. Elegans hoc theorema, quod vulgo ita profertur: Si $p$ est numerus primus formae $4m+1$, inveniri potest quadratum $aa$, ita ut $aa+1$ per $p$ fiat divisibilis; si vero $p$ est formae $4m-1$, tale quadratum non datur, hoc modo demonstratum est ab ill. Eulero, Comm. nov. Acad. Petrop. T. XVIII p. 112 ad annum 1773. Demonstrationem aliam iam multo ante dederat, Comm. nov. T. V. p. 5, qui prodiit a. 1760. In dissert. priori, Comm. nov. T. IV. p. 25, rem nondum perfecerat. Postea etiam

7*