ricis, hoc modo invenire per cathetum alia latera poteris.
Cathetus ter ducatur; nona pars inde auferatur; residui dimidium pro basi habeatur. Si eamdem, quam abstulisti, nonam inventae basi adjungis, hypotenusam habebis, ut in eo, quem primum posui, cathetus, utpote 3 ter ductus efficit novem; ablata nona, id est unitate reliquum ejus rei, id est dimidia basim, quae quaternario titulatur, efficit. Cui basi si nona superius dempta, id est unitas reddatur, hypotenusa 5 unitatibus inscripta completur. Idemque in caeteris sequentibus sive de integris seu minutiatis numeris compactis invenitur, ut in his 4, quae in catheto sunt, quatuor per 3 ducti 12 faciunt. Horum nona parte, id est unitate ablata et triente residui, id est 10, et bisse medietas basim in 5 et triente demonstrant. Quae itidem nona ad basim juncta podismum in 6 et bisse constare manifestat.
Vel aliter idem invenias. Catheti dimidio triplicato, nonaque parte inde ablata, basim habeto. Eidem triplicationi nona sua addatur, et hypotenusa creatur, ut in eo, qui habeat senarium in catheto, dimidia ejus, id est 3 in se ter ducta 9 creat. Unde ablata nona 8 erit basis. Nona vero ad ipsos novem addita fiet 10 hypotenusa.
Similiter in eo cui et quadrantem in catheto posui, dimidia hujus, id est 2. et S. et ter ducti 7, et S. et et numerum faciunt. Hujus nona id est et dempta 7 basim relinquit. Addita autem 8 et hypotenusae tribuit.
Vet aliter. Catheti dimidium sexies ducatur, nona inde pars auferatur, reliquum dimidium pro basi habeatur. Basi inventae eadem nona addatur, et hypotenusa creatur, ut in eo qui 9 in catheto habeat. Medietas ejus, scilicet 4 et semis, sexies ducta 27 efficit. Hinc nona parte id est 3 ablata reliqui 24, scilicet dimidia, id est 12, basis erit. Cui 3 id est nona superiore, junctis in 15, podismum constituit.
Nihilominus in eo, cui sex et ponitur in catheto, dimidia, quae est 3 (quadrans) sexies multiplicata, 19 facit. Inde nona parte, quae est 2 (Glossa vetus: s. siliquam interpretatur) z. S. et S. abblata remanent 16 et quinque Quorum dimidium, id est 8, et sextulaque basim complet. Cui nona praefata superaddita podismum, id est 10, et S. quinque <NOBR>φ</NOBR> facit cum summa dubietate seposita.
Est etiam alia regula multo diligentiori speculatione dignissima, quae in his Pythagoricis orthogoniis prorsus verissima, et in aliis omnibus orthogoniis vel omnino vera vel veritati proxima est.
Hac quippe in omni ferme orthogonio trigono per duo quaevis latera tertii poterit indagari quantitas naturae constitutione certissima hoc modo:
Ut ergo hypotenusa inveniatur, catheti numerus in se, ut tegragonus fiat, ducatur, eique basis numerus in se similiter ductus conjungatur. Hujus simul summae ex duobus scilicet tetragonis confectae latus tetragonale quaesitum et inventum hypotenusae numerus esse sciatur.
Tetragonus autem, ut ex arithmeticis notissimum est, dicitur numerus ex alio in se ducto procreatus, ut 4, qui ex binario; ut 9, qui ex ternario; ut 16, qui ex 4 in se ducto procreatur. Duo enim bis quatuor, et tres ter novem, et quater quatuor 16 creant. Numerus autem qui ita tetragonum in se ductus efficit, ejusdem effecti a se tetragoni latus tetragonale vocatur.
Ut autem basis quantitas pernoscatur, ex numero hypotenusae ducto in se, catheti numerus item in se ductus auferatur, et residui numeri latus tetragonale basi, ut naturaliter insita quantitas tribuatur.
Ad catheti vero mensuram vestigandam ex hypotenusae numero item in se ducto, numerum basis in se ductum adime, et latus reliqui tetragonale pro catheto tene. Quae singula ut clarescant exemplis ex superioribus orthogoniis minimum sumo, et per cathetum ejus ac basim hoc modo hypotenusam invenio. Cathetus, id est 3, in se ductus 9, tetragonum facit. Item basis, id est 4, in se ducta in 16, tetragonum surgit. Qui duo tetragonii 9, et 16 conjuncti 25, rursus tetragonum compaginabunt. Cujus latus tetragonale, quod est 5 (quinquies enim quinque 25 numerum complet), hypotenusae.
Per cathetum autem et hypotenusam hoc modo basim invenies. Ex numero hypotenusae, id est 25, cathetum in se ductum 9 aufero, et reliqui, id est 16, latus tetragonale, quod est 4, basi ascribo. Ad cathetum vero reperiendum ex eodem 25, hypotenusae numero in se ducto basim in se ductam, id est 16 detraho, et reliqui novenarii latus, id est 3, dabo catheto.
Item, ut et in majori exemplum dem, sumo eum qui in catheto 12, et in basi 16 tenet, numerosque ex utrisque in se ductis confectos, scilicet 144 et 256, conjungo, et ex utrisque confecti 400 numeri latus tetragonale, id est 20, do hypotenusae. Ex quibus iterum 400, si cathetum in se ductum, id est 144, abstraho, reliqui 256 numeri latus, id est 16, basi tribuo. Quod si eisdem 400, basis in se ducta, id est 256, adimatur, 12 qui residui, id est 144, illius numeri latus est, perpendiculari, id est catheto donatur.
Et ne in minutiatis quoque orthogoniis exemplum dare subterfugiam, eum accipio, cui superius 6 et ?? in catheto posueram, ipsumque cathetum regulariter, quod abacistae facillimum est, in se duco, et 40 S. ?? tetragonum invenio. Item basi, quae est 64, 3 ?? ? ? 3. ?? ? ? II. M ? ?? ? M ? et tertia. 8 ??? in se ducta fit tetragonus 71. ?.??? et duae ?? et tertia unius. Hi duo tetragoni simul juncti faciunt tetragonum 101 ? ? ? ? et duas siliquas et tertiam unius siliquae continentem. Cujus latus tetragonale inventum, quod est 10 S. E et C. (nam hoc in se multiplicatum eumdem restituit) hypotenusae ostendit quantitatem. Ex eodem autem hypotenusae numero in se ducto, id est ??? ? ? duabus siliquis et tertia parte siliquae, si cathetum in se, id est 40, S. ? ? dempseris, reliqui,
