Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/124

$$x+yi={\frac {f+gi}{a-bi}}$$ sive $${\begin{aligned}&x={\frac {af-bg}{p}}=A-aF+bG\\&y={\frac {ag+bf}{p}}=B-aG-bF\end{aligned}}$$ Manifesto residua minima ${\textstyle f}$, ${\textstyle g}$ vel inter limites ${\textstyle 0}$ et ${\textstyle p-1}$, vel inter hos ${\textstyle -{\frac {1}{2}}p}$ et ${\textstyle +{\frac {1}{2}}p}$ accipi debent, prout numeri complexi vel residuum simpliciter minimum vel absolute minimum desideratur.

44.

Constructio systematis completi residuorum minimorum pro modulo dato pluribus modis effici potest. Methodus prima ita procedit, ut primo determinentur limites, intra quos termini reales iacere debent, ac dein pro singulis valoribus intra hos limites sitis assignentur limites partium imaginariarum. Criterium generale residui minimi ${\textstyle x+yi}$ pro modulo ${\textstyle a+bi}$ in eo consistit, ut tum ${\textstyle ax+by=\xi }$, tum ${\textstyle ay-bx=\eta }$ iaceat inter limites ${\textstyle 0}$ et ${\textstyle aa+bb}$, quoties de residuis simpliciter minimis agitur, vel inter limites ${\textstyle -{\frac {1}{2}}(aa+bb)}$ et ${\textstyle +{\frac {1}{2}}(aa+bb)}$, quoties residua absolute minima desiderantur, limite altero excluso. Regulae speciales distinctionem casuum, quos varietas signorum numerorum ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ affert, requirerent, cui tamen evolvendae, quum nulli difficultati obnoxia sit, hic immorari supersedemus: sufficiat, methodi indolem per unicum exemplum exposuisse.

Pro modulo ${\textstyle 5+2i}$ residua simpliciter minima ${\textstyle x+yi}$ ita comparata esse debent, ut tum ${\textstyle 5x+2y=\xi }$, tum ${\textstyle 5y-2x=\eta }$ aequetur alicui numerorum ${\textstyle 0}$, ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2}$, ${\textstyle 3\ldots 28}$. Aequatio ${\textstyle 29x=5\xi -2\eta }$ ostendit, valores positivos ipsius ${\textstyle x}$ maiores esse non posse quam ${\textstyle {\frac {5.28}{29}}}$, negativos abstrahendo a signo non maiores quam ${\textstyle {\frac {2.28}{29}}}$. Omnes itaque valores admissibiles ipsius ${\textstyle x}$ erunt ${\textstyle -1}$, ${\textstyle 0}$, ${\textstyle 1}$, ${\textstyle 2,3}$, ${\textstyle 4}$. Pro ${\textstyle x=-1}$ debet esse ${\textstyle 2y}$ aequalis alicui numerorum ${\textstyle 5}$, ${\textstyle 6}$, ${\textstyle 7\ldots 33}$, atque ${\textstyle 5y}$ alicui horum ${\textstyle -2}$, ${\textstyle -1}$, ${\textstyle 0}$, ${\textstyle 1\ldots 26}$; hinc valor minimus ipsius ${\textstyle y}$ est ${\textstyle +3}$, maximus ${\textstyle +5}$. Tractando perinde valores reliquos ipsius ${\textstyle x}$, oritur sequens sehema omnium residuorum minimorum: