Pagina:Werkecarlf02gausrich.djvu/32

Haec pagina emendata est

$\begin{matrix} Σ \cos a k ω = \cos (\frac{1}{2} (n + 1))^{2} k ω + \cos (\frac{1}{2} (n + 3))^{2} k ω + etc. + \cos (n - 1)^{2} k ω \\ Σ \sin a k ω = \sin (\frac{1}{2} (n + 1))^{2} k ω + \sin (\frac{1}{2} (n + 3))^{2} k ω + etc. + \sin (n - 1)^{2} k ω \end{matrix}$ Statuendo itaque $\begin{matrix} T = & 1 + \cos k ω + \cos 4 k ω + \cos 9 k ω + etc. + \cos (n - 1)^{2} k ω \\ U = & \sin k ω + \sin 4 k ω + \sin 9 k ω + etc. + \sin (n - 1)^{2} k ω \end{matrix}$ erit $\begin{matrix} 1 + 2 Σ \cos a k ω & = T \\ 2 Σ \sin a k ω & = U \end{matrix}$ Hinc patet, summationes, quales in art. 1. propositae sunt, pendere a summatione serierum $T$ et $U$ , quocirca, missis illis, disquisitionem nostram his adaptabimus, eaque generalitate absolvemus, ut non modo valores primos ipsius $n$ , sed quoscunque compositos complectatur. Numerum $k$ autem supponemus ad $n$ primum esse: nullo enim negotio casus is, ubi $k$ et $n$ divisorem communem haberent, ad hunc reduci poterit.

11.

Designemus quantitatem imaginariam $\sqrt - 1$ per $i$ , statuamusque $\cos k ω + i \sin k ω = r$ unde erit $r^{n} = 1$ , sive $r$ radix aequationis $r^{n} - 1 = 0$ . Facile perspicietur, omnes numeros $k$ , $2 k$ , $3 k \dots (n - 1) k$ per $n$ non divisibiles atque inter se secundum modulum $n$ incongruos esse: hinc potestates ipsius $r$ $1, r, r r, r^{3} \dots r^{n - 1}$ omnes erunt inaequales, singulae vero quoque aequationi $x^{n} - 1 = 0$ satisfacient. Hanc ob caussam hae potestates omnes radices aequationis $x^{n} - 1 = 0$ repraesentabunt.

Hae conclusiones non valerent, si $k$ divisorem communem haberet cum $n$ . Si enim $ν$ esset talis divisor communis, foret $k . \frac{n}{ν}$ per $n$ divisibilis, adeoque potestas inferior quam $r^{n}$ , puta $r^{\frac{n}{ν}}$ , unitati aequalis. In hoc itaque casu potestates ipsius $r$ ad summum $\frac{n}{ν}$ radices aequationis $x^{n} - 1 = 0$ exhibebunt, et quidem revera tot radices diversas sistent, si $ν$ est divisor communis maximus nume-