Philosophiae Naturalis Principia Mathematica/Liber II/Sect. III. De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.

E Wikisource
DE MOTU CORPORUM LIBER SECUNDUS.
SECT. III. De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.
1687

 SECT. II. De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum. SECT. IV. De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus. 

SECT. III.

De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.

Prop. XI. Theor. VIII.

Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica.

Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelæ sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et si tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF , cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudinem CD in progressione Geometrica crescentem.

Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est erit ut seu ,idest,ut +. Igitur tempore ABED per additionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decrescit in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa duarum quan titatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius decrementum est ut summa quantitatum & , quarum prior est ipsa , & posterior est ut . Proinde , ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi reciproce proportionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica. Q. E. D.

Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam .

Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

Prop. XII. Theor. IX.

Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in progressione Geometrica. In Asymptoto CD detur punctum R, & erecto perpendiculo RS, quod occurrat Hyperbolæ in S, exponatur descriptum spatium per aream Hyperbolicam RSED; & velocitas erit ut longitudo GD, quæ cum data CG componit longitudinem CD, in Progressione Geometrica decrescentem, interea dum spatium RSED augetur in Arithmetica.

Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quæ decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, adeoq; directe ut CD, hoc est ut summa ejusdem GD & longitudinis datæ CG. Sed velocitatis decrementum, tempore sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia & tempus conjunctim, id est directe ut summa duarum quantitatum, quarum una est velocitas, altera ut velocitatis quadratum, & inverse ut velocitas; adeoque directe ut summa dearum quantitatum, quarum una datur, altera est ut velocitas. Igitur decrementum tam velocitatis quam lineæ GD, est ut quantitas data & quantitas decrescens conjunctim, & propter analoga decrementa, analogæ semper erunt quantitates decrescentes: nimirum velocitas & linea GD. Q.E.D.

Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.

Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GD ad GR ut est velocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis ABED descriptum. Invento autem puncto G, datur spatium ex data velocitate, & contra.

Corol. 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.

Prop. XIII. Theor. X.

Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quædam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.

Cas. 1. Ponamus primo quod corpus ascendit, centroque D & semidiametro quovis DB describatur circuli quadrans BETF, & per semidiametri DB terminum B agatur infinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur punctum A, & capiatur segmentum AP velocitati proportionale. Et cum resistentiæ pars aliqua sit ut velocitas & pars altera ut velocitatis quadratum, fit resistentia tota in P ut AP quad.+2PAB. Jungantur DA, DP circulum secantes in E ac T, & exponatur gravitas per DA quadratum, ita ut sit gravitas ad resistentiam in P ut DAq. ad APq.+2PAB: & tempus ascensus omnis futuri erit ut circuli sector EDTE.

Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET momentum DTV dato temporis momento respondens: & velocitatis decrementum illud PQ erit ut summa virium gravitatis DBq. & resistentiæ APq.+2BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad.; & area DTV, (quæ est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum DTV, & propterea tempori ascensus futuri proportionalis est. Q. E. D.

Cas. 2. Si velocitas in ascensu corporis exponatur per longitudinem AP ut prius, & resistentia ponatur esse ut APq.+2BAP , & si vis gravitatis minor sit quam quæ per DAq. exponi possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq.−BDq. gravitati proportionale, sitque DF ipsi DB perpendicularis & æqualis, & per verticem F describatur Hyperbola FTVE cujus semidiametri conjugatæ sint DB & DF,quæq; secet DA in E, & DP, DQ in T & V; & erit tempus ascensus futuri ut Hyperbolæ sector TDE.

Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiæ APq.+2ABP & gravitatis ABq.−BDq. id est ut BPq.−BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF demittatur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq.−DFq. ad BDq. utque GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq.−DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est ut BPq.−BDq. erit area DTV ut datum DFq. Decrescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori proportionalis est. Q.E.D.

Cas. 3. Sit AP velocitas in descensu corporis, & APq.+2ABP resistentia, & DBq.−ABq. vis gravitatis, existente angulo DAB recto. Et si centro D, vertice principali B, describatur Hyperbola rectangula BETV secans productas DA, DP & DQ in E, T & V ; erit Hyperbolæ hujus sector DET ut tempus descensus.

Nam velocitatis incrementum PQ, eiq; proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut DBq.−ABq.−2ABP−APq. seu DBq.−BPq. Et area DTV est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoq; ut GTq. seu GDq.−BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq.−BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq.−BPq. erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est. Q. E. D.

Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utroq; ubi quam minima est, accedit ad rationem æqualitatis, pro more Sectoris & Trianguli.

Prop. XIV. Prob. IV.

Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in progressione Geometrica.

Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resistentiæ proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quæ sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbN K supra aream DET.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq.+2BAP; assumatur data quævis quantitas Z, & ponatur AK æqualis ; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK momentum KL æquale seu , & areæ AbNK momentum KLON æquale seu .

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq.+BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) linea AC, quæ gravitati proportionalis est, erit & DPq. seu APq.+2BAP+ABq.+BDq. erit AK×Z+AC×Z seu CK×Z; ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK×Z.

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq.−BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit , & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq.−BDq. seu APq.+2BAP+ABq.−BDq. idest ad AK×Z+AC×Z seu CK×Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK×Z.

Cas. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, & propterea gravitas sit ut BDq.−ABq. & linea AC (Fig. Cas. 3. Prop. præced.) æquetur erit area DTV ad aream DPQ ut DBq. ad CK ×Z: ut supra.

Cum igitur areæ illæ semper sint in hac ratione; si pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper æquale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, puta BD×m, erit area DPQ, id est, BD×PQ; ad BD×m ut CK in Z ad BDq. Atq;inde fit PQ in BDcub. æquale 2BD×m×CK×Z, & areæ AbNK momentum KLON superius inventum, fit . Auferatur areæ DET momentum DTV seu BD×m, & restabit . Est igitur differentia momentorum, id est, momentum differentiæ arearum, æqualis ; & propterea (ob datum ) ut velocitas AP, id est ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum & spatium illud proportionalibus momentis crescentia vel decrescentia, & simul incipientia vel simul evanescentia, sunt proportionalia. Q. E. D.

Corol. Igitur si longitudo aliqua V sumatur in ea ratione ad arcum ET, quam habet linea DA ad lineam DE; spatium quod corpus ascensu vel descensu toto in Medio resistente describit, erit ad spatium quod in Medio non resistente eodem tempore describere posset, ut arearum illarum differentia ad , ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in Medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut , & ob datas BD & AB, ut . Tempus autem est ut DET seu BD×ET, & harum arearum momenta sunt ut ductum in momentum ipsius V & BD ductum in momentum ipsius ET, id est, ut in & BD×2m, sive ut & BD×m. Et propterea momentum areæ est ad momentum differentiæ arearum DET & AKNb, ut ad sive ut ad AP; adeoque, ubi V & AP quam minimæ sunt, in ratione æqualitatis. Æqualis igitur est area quam minima differentiæ quam minimæ arearum DET & AKNb. Unde cum spatia in Medio utroque, in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedunt ad æqualitatem, adeoque tunc sunt ad invicem ut area & arearum DET & AKNb differentia; ob eorum analoga incrementa necesse est ut in æqualibus quibuscunque temporibus sint ad invicem ut area illa & arearum DET & AKNb differentia. Q. E. D.