Philosophiae Naturalis Principia Mathematica/Liber I/Sect. XII. De corporum Sphærieorum Viribus attractivis.

E Wikisource
Jump to navigation Jump to search
DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS.
SECT. XII. De corporum Sphærieorum Viribus attractivis.
1687

Fairytale left blue.png SECT. XI. De Motu corporum Viribus centripetis se mutuo pe tentium. SECT. XIII. De corporum non Sphærieorum Viribus attracti vis. Fairytale right blue.png

SECT. XII.

De Corporum Sphæricorum Viribus attractivis.

Prop. LXX. Theor. XXX.

Si ad Sphæricæ superficiei puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur.

Principia1686 086.png

Sit HIKL superficies illa Sphærica, & P corpuscu lum intus constitutum. Per P agantur ad hanc superfi ciem lineæ duæ HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; & ob triangula HPI, LPK (per Corol. 3. Lem. VII.) similia, arcus illi erunt distantiis HP, LP proportionales, & superficiei Sphæricæ particulæ quævis, ad HI & KL rectis per punctum P transeun tibus undiq; terminatæ, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires harum particularum in corpus P exercitæ sunt inter se aquales. Sunt enim ut particulæ directe & quadrata distantiarum inverse. Et hæ duæ rationes componunt rationem æqualitatis. Attractiones igi tur in contrarias partes æqualiter factæ se mutuo destruunt. Et simili argumento attractiones omnes per totam Sphæricam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his attractionibus impellitur. Q.E.D.

Prop. LXXI. Theor. XXXI.

Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæricam superficiem constitu tum attrahitur ad centrum Sphæræ, vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab eodem centro.

Principia1686 087.png

Sint AHKB, ahkb æquales duæ superficies Sphæricæ, centris S, s, diametris AB, ab descriptæ, & P, p corpuscula sita extrinsecus in diametris illis productis. Agantur a corpusculis lineæ PHK, PIL, phk, pil, auferentes a circulis maximis AHB, ahb, æquales arcus quam minimos HK, hk & HL, hl: Et ad eas demit tantur perpendicula SD, sd; SE, se; IR, ir; quorum SD, sd secent PL, pl in F & f. Demittantur etiam ad diametros perpendicula IQ, iq; & ob æquales DS & ds, ES & es, & angulos evanescentes DPE & dpe, lineæ PE, PF & pe, pf & lineolæ DF, df pro æqualibus habeantur: quippe quarum ratio ultima, angulis illis DPE, dpe simul evanescentibus, est æqualitatis. His itaq; constitutis, erit PI ad PF ut RI ad DF, & pf ad pi ut DF vel df ad ri; & ex æquo PI×pf ad PF×pi ut RI ad ri, hoc est (per Corol. 3. Lem. VII.) ut arcus IH ad arcum ih. Rursus PI ad PS ut IQ ad SE, & ps ad pi ut SE vel se ad iq; & ex æquo PI×ps ad PS×pi ut IQ ad iq. Et conjunctis rationibus PI quad.×pf×ps ad pi quad.×PF×PS, ut IH×IQ ad ih×iq; hoc est, ut superficies circularis, quam arcus IH convolutione semicirculi AKB circa diametrum AB describet, ad superficiem circularem, quam arcus ih convolutione semicirculi akb circa diametrum ab describet. Et vires, quibus hæ superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt corpuscula P & p, sunt (per Hypothesin) ut ipsæ superficies applicatæ ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est, ut pf×ps ad PF×PS. Suntq; hæ vires ad ipsarum partes obliquas quæ (facta per Legum Corol. 2 resolutione virium) secundum lineas PS, ps ad centra tendunt, ut PI ad PQ, & pi ad pq; id est (ob similia triangula PIQ & PSF, piq & psf) ut PS ad PF & ps ad pf. Unde ex æquo fit attractio corpusculi hujus P versus S ad attractionem corpusculi p versus s, ut ad , hocesut ps quad. ad PS quad. Et simili argumento vires, quibus superficies convolutione arcuum KL, kl descriptæ trahunt corpuscula, erunt ut ps quad. ad PS quad.; inq; eadem ratione erunt vires superficierum omnium circularium in quas utraq; superficies Sphærica, capiendo semper sd=SD & se=SE, distingui potest. Et per Compositionem, vires totarum superficierum Sphæricarum in corpuscula exercitæ erunt in eadem ratione. Q. E. D.

Prop. LXXII. Theor. XXXII.

Si ad Spheræ cujusvis puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac detur ratio diametri Spheræ ad distantiam corpusculi a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi diametro Sphæræ.

Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sphæris duabus attrahi, & distantias a centris proportionales esse diametris, Sphæras autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpuscula. Hinc attractiones corpusculi unius, factæ versus singulas particulas Sphæræ unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem particulas Sphæræ alterius, in ratione composita ex ratione particularum directe & ratione duplicata distantiarum inverse. Sed particulæ sunt ut Sphæræ, hoc est in ratione triplicata diametrorum, & distantiæ sunt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si corpuscula in circulis circa Sphæras ex materia æqualiter attractiva constantes revolvantur, sintq; distantiæ a centris Sphærarum proportionales earundem diametris; tempora periodica erunt æqualia.

Corol. 2. Et vice versa, si tempora periodica sunt æqualia; distantiæ erunt

proportionales diametris. Constant hæc duo per Corol. 3. Theor. IV.

Prop. LXXIII. Theor. XXXIII.

Principia1686 088.png

Si ad sphæræ alicujus datæ puncta singula tendant æquales vires centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra Sphæram constitutum attrahitur vi proportionali distantiæ suæ ab ipsius centro.

In Sphæra ABCD, centro S descripta, locetur corpusculum P, & centro eodem S intervallo SP concipe Sphæram interiorem PEQF describi. Manifestum est, per Theor. XXX. quod Sphæricæ superficies concentricæ, ex quibus Sphærarum differentia AEBF componitur, attractionibus per attractiones contrarias destructis, nil agunt in corpus P. Restat sola attractio Sphæræ interioris PEQF. Et per Theor. XXXII, hæc est ut distantia PS. Q. E. D.

Scholium.

Superficies ex quibus solida componuntur, hic non sunt pure Mathematicæ, sed Orbes adeo tenues ut eorum crassitudo instar nihili sit; nimirum Orbes evanescentes ex quibus Sphæra ultimo constat, ubi Orbium illorum numerus augetur & crassitudo minuitur in infinitum, juxta Methodum sub initio in Lemmatis generalibus expositam. Similiter per puncta, ex quibus lineæ, superficies & solida componi dicuntur, intelligendæ sunt particulæ æquales magnitudinis contemnendæ.

Prop. LXXIV. Theor. XXXIV.

Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæram constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab ipsius centro.

Nam distinguatur Sphæra in superficies Sphæricas innumeras concentricas, & attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriundæ erunt reciproce proportionales quadrato distantiæ corpusculi a centro, per Theor. XXXI. Et com ponendo, fiet summa attractionum, hoc est attractio Sphæræ totius, in eadem ratione. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc in æqualibus distantiis a centris homogenearum Sphærarum, attractiones sunt ut Sphæræ. Nam per Theor. XXXII. si distantiæ sunt pro portionales diametris Sphærarum, vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratione, & distantiis jam factis æqualibus, augebitur attractio in duplicata illa ratione, adeoq; erit ad attractionem alteram in triplicata illa ratione, hoc est in ratione Sphærarum.

Corol. 2. In distantiis quibusvis attractiones sunt ut Sphæræ applicatæ ad quadrata distantiarum.

Corol. 3. Si corpusculum extra Sphæram homogeneam positum trahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab ipsius centro, constet autem Sphæra ex particulis attractivis; decrescet vis particulæ cujusq; in duplicata ratione distantiæ a particula.

Prop. LXXV. Theor. XXXV.

Si ad Sphæræ datæ puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod Sphæra quævis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ centrorum.

Nam particulæ cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiæ ejus a centro Sphæræ trahentis, (per Theor. XXXI,) & propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus Sphæræ. Hæc autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singulis Sphæræ attractæ particulis eadem vi traheretur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio (per Theor. XXXIV) reciproce proportionalis quadrato distantiæ ejus a centro Sphæræ; adeoq; huic æqualis attractio Sphæræ est in eadem ratione. Q. E. D.

Corol. 1. Attractiones Sphærarum, versus alias Sphæras homogeneas, sunt ut Sphæræ trahentes applicatæ ad quadrata distantiarum centrorum suorum a centris earum quas attrahunt.

Corol. 2. Idem valet ubi Sphæra attracta etiam attrahit. Namq; hujus puncta singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur, adeoq; cum in omni attractione urgeatur (per Legem 3.) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, geminabitur vis attractionis mutuæ, conservatis proportionibus.

Corol. 3. Eadem omnia, quæ superius de motu corporum circa umbilicum Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphæra attrahens locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphæram.

Corol. 4. Ea vero quæ de motu corporum circa centrum Conicarum Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Sphæram.

Prop. LXXVI. Theor. XXXVI.

Principia1686 089.png

Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam (quod materiæ densitatem & vim attractivam) utcunq; dissimilares, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undiq; similares, & vis attractiva puncti cujusq; decrescit in duplicata ratione distantiæ corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ centrorum.

Sunto Sphæræ quotcunq; concentricæ similares AB, CD, EF &c. quarum interiores additæ exterioribus componant materiam densiorem versus centrum, vel subductæ relinquant tenuiorem; & hæ, per Theor. XXXV, trahent Sphæras alias quotcunq; concentricas similares GH, IK, LM, &c. singulæ singulas, viribus reciproce proportionalibus quadrato distantiæ SP. Et componendo vel dividendo, summa virium illarum omnium, vel excessus aliquarum supra alias, hoc est, vis qua Sphæra tota ex concentricis quibuscunq; vel concentricarum differentiis composita AB, trahit totam ex concentricis quibuscunq; vel concentricarum differentiis compositam GH, erit in eadem ratione. Augeatur numerus Sphærarum concentricarum in infinitum sic, ut materiæ densitas una cum vi attractiva, in progressu a circumferentia ad centrum, secundum Legem quamcunq; crescat vel decrescat: & addita materia non attractiva compleatur ubivis densitas deficiens, eo ut Sphæræ acquirant formam quamvis optatam; & vis qua harum una attrahet alteram erit etiamnum (per argumentum superius) in eadem illa distantiæ quadratæ ratione inversa. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si ejusmodi Sphæræ complures sibi invicem per omnia similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices singularum in singulas erunt in æqualibus quibusvis centrorum distantiis ut Sphæræ attrahentes.

Corol. 2. Inq; distantiis quibusvis inæqualibus, ut Sphæræ attrahentes applicatæ ad quadrata distantiarum inter centra.

Corol. 3. Attractiones vero motrices, seu pondera Sphærarum in Sphæras erunt, in æqualibus centrorum distantiis, ut Sphæræ attrahentes & attractæ conjunctim, id est, ut contenta sub Sphæris per multiplicationem producta.

Corol. 4. Inq; distantiis inæqualibus, ut contenta illa applicata ad quadrata distantiarum inter centra.

Corol. 5. Eadem valent ubi attractio oritur a Sphæræ utriusq; virtute attractiva, mutuo exercita in Sphæram alteram. Nam viribus ambabus geminatur attractio, proportione servata.

Corol. 6. Si hujusmodi Sphæræ aliquæ circa alias quiescentes revolvantur, singulæ circa singulas, sintq; distantiæ inter centra revolventium & quiescentium proportionales quiescentium diametris; æqualia erunt tempora periodica.

Corol. 7. Et vicissim, si tempora periodica sunt æqualia, distantiæ erunt proportionales diametris.

Corol. 8. Eadem omnia, quæ superius de motu corporum circa umbilicos Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphæra attrahens, formæ & conditionis cujusvis jam descriptæ, locatur in umbilico.

Corol. 9. Ut & ubi gyrantia sunt etiam Sphæræ attrahentes, conditionis cujusvis jam descriptæ.

Prop. LXXVII. Theor. XXXVII.

Principia1686 090.png

Si ad singula Sphærarum puncta tendant vires centripetæ proportionales distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sphæræ duæ se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sphærarum.

Cas. 1. Sit ACBD Sphæra, S centrum ejus, P corpusculum attractum, PASB axis Sphæræ per centrum corpusculi transiens, EF, ef plana duo quibus Sphæra secatur, huic axi perpendicularia, & hinc inde æqualiter distantia a centro Sphæræ; Gg intersectiones planorum & axis, & H punctum quodvis in plano EF. Puncti H vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH exercita est ut distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secundum lineam PG, seu versus centrum S, ut longitudo PG. Igitur punctorum omnium in plano EF, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut numerus punctorum duc tus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano ipso EF & distantia illa PG. Et similiter vis plani ef, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut planum illud ductum in distantiam suam Pg; sive ut huic æquale planum EF ductum in distantiam illam Pg; & summa virium plani utriusq; ut planum EF ductum in summam distantiarum PG+Pg, id est, ut planum illud ductum in duplam centri & corpusculi distantiam PS, hoc est, ut duplum planum EF ductum in distantiam PS, vel ut summa æqualium planorum EF+ef ducta in distantiam eandem. Et simili argumento, vires omnium planorum in Sphæra tota, hinc inde æqualiter a centro Sphæræ distantium, sunt ut summa planorum ducta in distantiam PS, hoc est, ut Sphæra tota ducta in distantiam centri sui S a corpusculo P. Q. E. D.

Cas. 2. Trahat jam corpusculum P Sphæram ACBD. Et eodem argumento probabitur quod vis, qua Sphæra illa trahitur, erit ut distantia PS. Q. E. D.

Cas. 3. Componatur jam Sphæra altera ex corpusculis innumeris P; & quoniam vis, qua corpusculum unumquodq; trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sphæræ primæ ducta in Sphæram eandem, atq; adeo eadem est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro Sphæræ; vis tota qua corpuscula omnia in Sphæra secunda trahuntur, hoc est, qua Sphæra illa tota trahitur, eadem erit ac si Sphæra illa traheretur vi prodeunte de corpusculo unico in centro Sphæræ primæ, & propterea proportionalis est distantiæ inter centra Sphærarum. Q. E. D.

Cas. 4. Trahant Sphæræ se mutuo, & vis geminata proportionem priorem servabit. Q. E. D.

Cas. 5. Locetur jam corpusculum p intra Sphæram ACBD, & quoniam vis plani ef in corpusculum est ut contentum sub plano illo & distantia pg; & vis contraria plani EF ut contentum sub plano illo & distantia pG; erit vis ex utraq; composita ut differentia contentorum, hoc est, ut summa æqualium planorum ducta in semissem differentiæ distantiarum, id est, ut summa illa ducta in pS, distantiam corpusculi a centro Sphæræ. Et simili argumento attractio planorum omnium EF, ef in Sphæra tota, hoc est attractio Sphæræ totius, est ut summa planorum omnium, seu Sphæra tota, ducta in pS distantiam corpusculi a centro Sphæræ. Q. E. D.

Cas. 6. Et si ex corpusculis innumeris p componatur Sphæra nova intra Sphæram priorem ACBD sita, probabitur ut prius, quod attractio, sive simplex Sphæræ unius in alteram, sive mutua utriusq; in se invicem, erit ut distantia

centrorum pS. Q. E. D.

Prop. LXXVIII. Theor. XXXVIII.

Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunq; dissimilares & inæquabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undiq; similares; & vis attractiva puncti cujusq; sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæræ duæ se mutuo trahunt sit proportionalis distantiæ inter centra Sphærarum.

Demonstratur ex Propositione præcedente, eodem modo quo Propositio LXXVII. ex Propositione LXXV. demonstrata fuit.

Corol. Quæ superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphæricorum, conditionis jam descriptæ, suntq; corpora attracta Sphæræ conditionis ejusdem.

Scholium.

Attractionum Casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum ubi vires centripetæ decrescunt in duplicata distantiarum ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efficientes in utroq; Cas. ut corpora gyrentur in Conicis Sectionibus, & componentes corporum Sphæricorum vires centripetas eadem lege in recessu a centro decrescentes vel crescentes cum seipsis. Quod est notatu dignum. Casus cæteros, qui conclusiones minus elegantes exhibent, sigillatim percurrere longum esset: Malim cunctos methodo generali simul comprehendere ac determinare, ut sequitur.

Lemma XXIX.

Si describantur centro S circulus quilibet AEB, (Vide Fig. Prop. sequentis) & centro P circuli duo EF, ef, secantes priorem in E, e, lineamq; PS in F, f; & ad PS demittantur perpendicula ED, ed: dico quod si distantia arcuum EF, ef in infinitum minui intelligatur, ratio ultima lineæ evanescentis Dd ad lineam evanescentem Ff ea sit, quæ lineæ PE ad lineam PS.

Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quæ cum arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectæ PS in T; & ab S demittatur in PE normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd ad Ee, ut DT ad ET seu DE ad ES, & ob triangula Eqe, ESG (per Lem. VIII. & Corol. 3. Lem. VII.) similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex æquo Dd ad Ff ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE, PGS) ut PE ad PS. Q. E. D.

Prop. LXXIX. Theor. XXXIX.

Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens EFfe, convolutione sui circa axem PS, describat solidum Sphæricum concavo-convexum, ad cujus particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm in P, est in ratione composita ex ratione solidi DEq.×Ff & ratione vis qua particula data in loco Ff traheret idem corpusculum.

Principia1686 091.png

Nam si primo consideremus vim superficiei Sphæricæ FE, quæ convolutione arcus FE generatur, & linea de ubivis secatur in r; erit superficiei pars annularis, convolutione arcus rE genita, ut lineola Dd, manente Sphæræ radio PE, (uti demonstravit Archimedes in Lib. de Sphæra & Cylindro.) Et hujus vis secundum lineas PE vel Pr undiq; in superficie conica sitas exercita, ut hæc ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineola Dd, vel quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sphæræ radio PE & lineola illa Dd: at secundum lineam PS ad centrum S tendentem minor, in ratione PD ad PE, adeoq; ut PD×Dd. Dividi jam intelligatur linea DF in particulas innumeras æquales, quæ singulæ nominentur Dd; & superficies FE dividetur in totidem æquales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD×Dd, hoc est, cum lineolæ omnes Dd sibi invicem æquentur, adeoq; pro datis haberi possint, ut summa omnium PD ducta in Dd, id est, ut PFq.−PDq. sive PEq.−PDq. vel DEq. ductum in Dd; hoc est, si negligatur data Dd, ut DE quad. Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; & fiet solidi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEq.×Ff: puta si detur vis quam particula aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P. At si vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq.×Ff & vis illa non data conjunctim. Q. E. D.

Prop. LXXX. Theor. XL.

Si ad Sphæræ alicujus AEB, centro S descriptæ, particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axem AB, in quo corpusculum aliquod P locatur, erigantur de punctis singulis D perpendicula DE, Sphæræ occurrentia in E, & in ipsis capiantur longitudines DN, quæ sint ut quantitas & vis quam Sphæræ particula sita in axe ad distantiam PE exercet in corpusculum P conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum P trahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa sub axe Sphæræ AB & linea curva ANB, quam punctum N perpetuo tangit.

Etenim stantibus quæ in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sphæræ AB dividi in particulas innumeras æquales Dd, & Sphæram totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo convexas EFfe; & erigatur perpendiculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit corpusculum P est ut DEq.×Ff & vis particulæ unius ad distantiam PE vel PF exercita conjunctim. Est autem per Lemma novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff æqualis  ; & DEq.×Ff æquale Dd in , & propterea vis laminæ EFfe est ut Dd in & vis particulæ ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN×Dd, seu area evanescens DN nd. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P exercitæ, ut areæ omnes DN nd, hoc est Sphæræ vis tota ut area tota ABNA. Q.E.D.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut : erit vis tota qua corpusculum a Sphæra attrahitur, ut area ABNA.

Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti, & fiat DN ut : erit vis qua corpusculum P a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.

Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ corpusculi a se attracti, & fiat DN ut : erit vis qua corpusculum a tota Sphæra attrahitur ut area ABNA.

Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem DN ut ; erit vis qua corpusculum a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.

Prop. LXXXI. Prob. XLI.

Stantibus jam positis, mensuranda est Area ABNA.

Principia1686 091.png

A puncto P ducatur recta PH Sphæram tangens in H, & ad axem PAB demissa Normali HI, bisecetur PI in L; & erit(per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq. æquale PSq.+SEq.+2PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob similitudinem triangulorum SPH, SHI) æquale rectangulo PSI. Ergo PEq. æquale est contento sub PS & PS+SI+2SD, hoc est, sub PS & 2LS+2SD, id est, sub PS & 2LD. Porro DEquad. æquale est SEq.−SDq. seu SEq.−LSq.+2SLD−LDq. id est, SLD−LDq.−ALB. Nam LSq.−SEq. seu LSq.−SAq. (per Prop. 6 Lib. 2. Elem) æquatur rectangulo ALB. Scribatur itaq; 2SLD−LDq.−ALB pro DEq. & quantitas , quæ secundum Corollarium quartum Propositionis præcedentis est ut longitudo ordinatim applicatæ DN, resolvet sese in tres partes : ubi si pro V scribatur ratio inversa vis centripetæ, & pro PE medium propor tionale inter PS & 2LD; tres illæ partes evadent ordinatim applicatæ linearum totidem curvarum, quarum areæ per Methodos vulgatas innotescunt. Q. E. F.

Exempl. 1. Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE, dein 2PS×LD pro PEq., & fiet DN ut SL−LD−. Pone DN æqualem duplo ejus 2SL−LD−: & ordinatæ pars data 2SL ducta in longitudinem AB describet aream rectangulam 2SL×AB; & pars indefinita LD ducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo æquetur semper longitudini LD, describet aream , id est, aream SL×AB; quæ subducta de area priore 2SL×AB relinquit aream SL×AB.

Principia1686 092.png

Pars autem tertia ducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam; quæ subducta de area SL×AB relinquet aream quæsitam ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta L, A, B erige perpendicula Ll, Aa, Bb, quorum Aa ipsi LB, & Bb ipsi LA æquetur. Asymptotis Ll, LB, per puncta a, b describatur Hyperbola ab. Et acta chorda ba claudet aream aba areæ quæsitæ ABNA æqualem.

Principia1686 093.png

Exempl. 2. Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit reciproce ut cubus distantiæ, vel (quod perinde est) ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum; scribe pro V, dein 2PS×LD pro PEq.; & fiet DN ut id est (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut SI−. Si ducantur hujus partes tres in longitudinem AB, prima generabit aream Hyperbolicam; secunda SI aream AB×SI; tertia aream , id est AB×SI. De prima subducatur summa secundæ ac tertiæ, & manebit area quæsita ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta L, A, S, B erige perpendic ula Ll, Aa, Ss, Bb, quorum Ss ipsi SI æquetur, perq; punctum s Asymptotis Ll, LB describatur Hyperbola asb occurrens perpendiculis Aa, Bb in a & b; & rectangulum 2ASI subductum de area Hyperbolica AasbB relinquet aream quæsitam ABNA.

Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad singulas Sphæræ particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiæ a particulis, scribe pro V, dein √2PS×LD pro PE, & fiet DN ut . Cujus tres partes ductæ in longitudinem AB, producunt Areas totidem, viz. , & . Et hæ post debitam reductionem, subductis posterioribus de priori, evadunt . Igitur vis tota, qua corpusculum P in Sphæræ centrum trahitur, est ut , id est reciproce ut PScub.×PI. Q.E.I.

Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphæram, sed expeditius per Theorema sequens.

Prop. LXXXII. Theor. XLI.

In Sphæra centro S intervallo SA descripta, si capiantur SI, SA, SP continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphæram in loco quovis I attractio est ad attractionem ipsius extra Sphæram in loco P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro IS, PS & dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illis P & I, ad centrum tendentium.

Principia1686 091.png

Ut si vires centripetæ particularum Sphæræ sint reciproce ut distantiæ corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a Sphæra tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiæ SI ad distantiam SP & ratione dimidiata vis centripetæ in loco I, a particula aliqua in centro oriundæ, ad vim centripetam in loco P ab eadem in centro particula oriundam, id est, ratione dimidiata distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hæ duæ rationes dimidiatæ componunt rationem æqualitatis, & propterea attractiones in I & P a Sphæra tota factæ æquantur. Simili computo, si vires particularum Sphæræ sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio in I sit ad attractionem in P, ut distantia SP ad Sphæræ semidiametrum SA: Si vires illæ sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad.; si in quadruplicata, ut SP cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut PScub.×PI, attractio in I erit reciproce ut SAcub.×PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.

Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P, ordinatim applicata DN inventa fuit ut . Ergo si agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mutatis mutandis, evadet ut . Pone vires centripetas, e Sphæræ puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PEn ad IEn, (ubi numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatæ illæ fient ut & , quarum ratio ad invicem est ut PS×IE×IEn ad IS×PE×PEn. Quoniam ob similia triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS adSE vel SA; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS×IEn ad SA×PEn. Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IEn ad PEn dimidiata est ratio virium in distantiis PS, IS. Ergo ordinatæ, & propterea areæ quas ordi natæ describunt, hisq; proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex dimidiatis illis rationibus. Q. E. D.

Prop. LXXXIII. Prob. XLII.

Invenire vim qua corpusculum in centro Sphæræ locatum ad ejus segmentum quodcunq; attrahitur.

Sit P corpus in centro Sphæræ, & RBSD segmentum ejus plano RDS &

superficie Sphærica RBS contentum. Superficie Sphærica EFG centro P
Principia1686 094.png

descripta secetur DB in F, ac distinguatur segmentum in partes BREFGS, FEDG. Sit autem superficies illa non pure Mathematica, sed Physica, profunditatem habens quam minimam. Nominetur ista profunditas O, & erit hæc superficies (per demonstrata Archimedis) ut PF×DF×O. Ponamus præterea vires attractivas particularum Sphæræ esse reciproce ut distantiarum dignitas illa cujus Index est n; & vis qua superficies FE trahit corpus P erit ut . Huic proportionale sit perpen diculum FN ductum in O; & area curvilinea BDLIB, quam ordinatim applicata FN in longitudinem DB per motum continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum RBSD trahit corpus P. Q. E. I.

Prop. LXXXIV. Prob. XLIII.

Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphæræ in axe segmenti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.

A segmento EBK trahatur corpus P (Vide Fig. Prop. 79. 80. 81.) in ejus axe ADB locatum. Centro P intervallo PE describatur superficies Sphærica EFK, qua distinguatur segmentum in partes duas EBKF & EFKD. Quæratur vis partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis posterioris per Prop. LXXXIII.; & summa virium erit vis segmenti totius EBKD. Q. E. I.

Scholium.

Explicatis attractionibus corporum Sphæricorum, jam pergere liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, deq; motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqualem usum, subjungere.