Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/24

Haec pagina nondum emendata est

SECTIO SECUNDA

DE

CONGRUENTIIS PRIMI GRADUS.

---

Theoremata praeliminaria de numeris primis, factoribus etc. 13.

Theorema. Productum e duobus numeris positivis numero primo dato minoribus per hunc primum dividi nequit.

Sit p primus, et a positivus <p: tum nullus numerus positivus b ipso p minor dabitur, ita ut sit $ab \equiv 0$ (mod. p).

Dem. Si quis neget, supponamus dari numeros b, c, d etc. omnes $<p\!$, ita ut $ab \equiv0, ac \equiv0, ad \equiv0$ etc. (mod. p). Sit omnium minimus b, ita ut omnes numeri ipso b minores hac proprietate sint destituti. Manifesto erit $b>1\!$: si enim b = 1, foret ab = a<p (hyp.), adeoque per p non divisibilis. Quare p tamquam primus per b dividi non poterit, sed inter duo ipsius b multipla proxima mb et (m+1)b cadet. Sit p - mb = b', eritque b' numerus positivus et <b. Iam quia supposuimus, $ab \equiv 0$ (mod. p), habebitur quoque $mab \equiv 0$ (art. 7), et hinc, subtrahendo $ap \equiv 0$, erit $a(p - mb) = ab' \equiv 0$; i. e. b' inter numeros b, c, d etc. referendus, licet minimo eorum b sit minor. Q. E. A.

14.

Si nec a nec b per numerum primum p dividi potest: etiam productum ab per p dividi non poterit.