Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/60

Haec pagina nondum emendata est

p incongruos) habebit. Hinc perspicitur, expressionem $\sqrt{\delta}{1}$ etiam </math>\delta</math> valores diversos habere , quorum indices cum ante allatis prorsus conveniant. Quocirca expressio y 1 {mod.p) huic . y' 1 (mod.p) omnino aequivalet , i. e. congruentia 0?^ ^ 1 (mod.jo) easdem radices habet qlias haec, .2?'*^ 1 (mod.|?). Prior autem inferioris erit gradus , siquidem ^ et n sunt inaequales. Ex. '^l(mod. 19) tres habet valores , quia 3 maxima numerorum 15, 18 mensura communis, hique simul erunt valores expressionis y"! (mod. 19). Sunt autem hi 1, 7, 11. ' • •■ V ^ ■♦, . Per hanc igitur reductionem id lucramur, ut alias congruentias formae jf'^ 1 solvere non sitopus, quam ubi n numeri p — 1 est divisor. Infra vero osten- demus, congruentias huius formae semper ulterius adhuc deprimi posse, licet prae- cedentia ad hoc non sufficiant. Unum tamen casum iam hie absolvere possumus, scilicet ubi ^^ = 2. Manifeste enim valores expressionis y^l erunt -|-1 et — 1, quia plures quam duos habere nequit, hique -{-1 et — 1 semper sunt incongrui, nisi modulus sit = 2 , in quo casu y/ 1 unum tantum valorem habere posse , per se darum. Hinc sequitur, -f- 1 et — 1 etiam fore valores expressionis *^l quando m ad ^~- sit primus. Hoc semper eveniet , quoties modulus est eins indolis, ut ^^ fiat numerus absolute primus (nisi forte p — 1 =: 2m, in quo casu omnes numeri 1, 2, ^ . . . .p — 1 sunt radices) ex. gr. quando ^ = 3, 5, 7, 1 1, 23, 47, 59, 83, 107 etc. Tamquam corollarium hie annotetur, indicem ipsius — 1 semper esse ^^^(mod.jo — 1), quaecunque radix primitiva pro basi accipia- tur. Namque 2 Ind. ( — l)^0(mod.jö — 1). Quare Ind. ( — 1) erit vel ^ 0, vel ^^^ (mod.p — 1): vero semper index ipsius -f-l, atque -- et — 1 semper indices diversos habere debent (praeter casum p = 2, ad quem hie respi- cere operae non est pretium). - ' , . Ostendimus art. 60, expressionem i^JL(mod.ji9) habere ^ valores diversos, aut omnino nullum, si fuerit ^ divisor communis maximus numerorum n, p — 1. Iam uti modo docuimus ^A et / A aequivalentes esse, si fuerit Ä^], ge- neralius probabimus , expressionem ^A semper ad aliam y/B reduci posse , cui aequivaleat. Illius enim valore quocunque denotato per x erit af^ ^ A; iam