Theorema fundamentale de residuis quadraticis, quod inter pulcherrimas arithmeticae sublimioris veritates refertur, facile quidem per inductionem detectum, longe vero difficilius demonstratum est. Saepius in hoc genere accidere solet, ut veritatum simplicissimarum, quae scrutatori per inductionem sponte quasi se offerunt, demonstrationes profundissime lateant et post multa demum tentamina irrita, longe forte alia quam qua quaesitae erant via, tandem in lucem protrahi possint Dein haud raro fit, quum primum una inventa est via, ut plures subinde patefiant ad eandem metam perducentes, aliae brevius et magis directe, aliae quasi ex obliquo et a principiis longe diversis exorsae, inter quae et quaestionem propositam vix ullum vinculum suspicatus fuisses. Mirus huiusmodi nexus inter veritates abstrusiores non solum peculiarem quandam venustatem hisce contemplationibus conciliat, sed ideo quoque sedulo investigari atque enodari meretur, quod haud raro nova ipsius scientiae subsidia vel incrementa inde demanant.
Etsi igitur theorema arithmeticum, de quo hic agetur, per curas anteriores, quae quatuor demonstrationes inter se prorsus diversas[1] suppeditaverunt, plene absolutum videri possit, tamen denuo ad idem argumentum revertor, duasque alias demonstrationes adiungo, quae novam certe lucem huic rei affundent. Prior quidem tertiae quodammodo affinis est, quod ab eodem lemmate proficiscitur; postea vero iter diversum prosequitur, ita ut merito pro demonstratione nova haberi possit, quae concinnitate ipsa illa tertia si non superior saltem haud inferior videbitur. Contra demonstratio sexta principio plane diverso subtiliori innixa est novumque sistit exemplum mirandi nexus inter veritates arithmeticas primo aspectu longissime ab invicem remotas. Duabus hisce demonstrationibus adiungitur algorithmus novus persimplex ad diiudicandum, utrum numerus integer datus numeri primi dati residuum quadraticum sit an non-residuum.
Alia adhuc affuit ratio, quae ut novas demonstrationes, novem iam abhinc annos promissas, nunc potissimum promulgarem, effecit. Scilicet quum inde ab anno 1805 theoriam residuorum cubicorum atque biquadraticorum, argumentum longe difficilius, perscrutari coepissem, similem fere fortunam, ac olim in theoria residuorum quadraticorum, expertus sum. Protinus quidem theoremata ea, quae has quaestiones prorsus exhauriunt, et in quibus mira analogia cum theorematibus ad residua quadratica pertinentibus eminet, per inductionem detecta fuerunt, quam primum via idonea quaesita essent: omnes vero conatus, ipsorum demonstrationibus ex omni parte perfectis potiundi, per longum tempus irriti manserunt. Hoc ipsum incitamentum erat, ut demonstrationibus iam cognitis circa residua quadratica alias aliasque addere tantopere studerem, spe fultus, ut ex multis methodis diversis una vel altera ad illustrandum argumentum affine aliquid conferre posset. Quae spes neutiquam vana fuit, laboremque indefessum tandem successus prosperi sequuti sunt. Mox vigiliarum fructus in publicam lucem edere licebit: sed antequam arduum hoc opus aggrediar, semel adhuc ad theoriam residuorum quadraticorum reverti, omnia quae de eadem adhuc supersunt agenda absolvere, atque sic huic arithmeticae sublimioris parti quasi valedicere constitui.
THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN THEORIA RESIDUORUM QUADRATICORUM DEMONSTRATIO QUINTA
1.
In introductione iam declaravimus, demonstrationem quintam et tertiam ab eodem lemmate proficisci, quod commoditatis caussa, in signis disquisitioni praesenti adaptatis hoc loco repetere visum est.
Lemma. Sit numerus primus (positivus impar), integer per non divisibilis; capiantur residua minima positiva numerorum
secundum modulum , quae partim erunt minora quam , partim maiora: posteriorum multitudo sit . Tunc erit residuum quadraticum ipsius , vel nonresiduum, prout par est, vel impar.
Demonstr. Sint e residuis illis ea, quae minora sunt quam , haec , , , etc., reliqua vero, maiora quam , haec , , , etc. Posteriorum complementa ad , puta , , , etc. manifesto cuncta minora erunt quam , atque tum inter se tum a residuis , , , etc. diversa, quamobrem cum his simul sumta, ordine quidem mutato, identica erunt cum omnibus numeris , , , . Statuendo itaque productum
erit
adeoque
Porro fit, secundum modulum ,
adeoque
Hinc
, accepto signo superiori vel inferiori, prout
par est vel impar, unde adiumento theorematis in
Disquisitionibus Arithmeticis art. 106 demonstrati lemmatis veritas sponte demanat.
2.
Theorema. Sint , integri positivi impares inter se primi, multitudo eorum e residuis minimis positivis numerorum
secundum modulum , quae sunt maiora quam ; ac perinde multitudo eorum e residuis minimis positivis numerorum secundum modulum , quae sunt maiora quam . Tunc tres numeri , vel omnes simul pares erunt. vel unus par duoque reliqui impares.
Demonstr. Designemus
Indicabit itaque
, quot numeri
residua sua minima positiva secundum modulum
habeant in complexu
, et perinde
indicabit, quot numeri
habeant residua sua minima positiva secundum modulum
in complexu
. Denique designet
Quum quilibet integer per
non divisibilis secundum modulum
vel alicui residuo ex
vel alicui ex
congruus esse debeat, ac perinde quilibet integer per
non divisibilis secundum modulum
congruus sit vel alicui residuo ex
vel alicui ex
: omnes numeri
, inter quos manifesto nullus per
et
simul divisibilis occurrit, in octo classes sequenti modo distribui possunt.
I. In prima classe erunt numeri secundum modulum alicui numero ex , secundum modulum vero alicui numero ex congrui. Designabimus multitudinem horum numerorum per .
II. Numeri secundum modulos , resp. numeris ex , congrui, quorum multitudinem statuemus .
III. Numeri secundum modulos , resp. numeris ex , congrui, quorum multitudinem statuemus .
IV. Numeri secundum modulos , resp. numeris ex , congrui, quorum multitudo sit .
V. Numeri per divisibiles, secundum modulum vero residuis ex congrui.
VI. Numeri per divisibiles, secundum modulum vero residuis ex congrui.
VII. Numeri per divisibiles, secundum modulum autem residuis ex congrui.
VIII. Numeri per divisibiles, secundum modulum vero residuis ex congrui.
Manifesto classes V et VI simul sumtae complectentur omnes numeros , multitudo numerorum in VI contentorum erit , adeoque multitudo numerorum in V contentorum erit . Perinde classes VII et VIII simul sumtae continebunt omnes numeros , in classe VIII reperientur numeri, in classe VII autem .
Prorsus simili modo omnes numeri in octo classes IX - XVI distribuentur, in quo negotio si eundem ordinem servamus, facile perspicietur, numeros in classibus
IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI
contentos resp. esse complementa numerorum in classibus
IV, III, II, I, VI, V, VIII, VII
contentorum ad , ita ut in classe IX reperiantur numeri; in classe X, et sic porro. Iam patet, si omnes numeri primae classis associentur cum omnibus numeris classis nonae, haberi omnes numeros infra , qui secundum modulum alicui numero ex , secundum modulum vero alicui numero ex sunt congrui, quorumque multitudinem aequalem esse multitudini omnium combinationum singulorum cum singulis , facile perspicitur. Habemus itaque
similique ratione etiam erit
Iunctis omnibus numeris classium II, IV, VI, manifesto habebimus omnes numeros infra , qui alicui residuo ex secundum modulum congrui sunt. Iidem vero numeri ita quoque exhiberi possunt:
unde omnium multitudo erit
, sive habebimus
Perinde e iunctione omnium classium III, IV, VIII colligere licet
Ex his quatuor aequationibus oriuntur sequentes:
quarum quaelibet theorematis veritatem monstrat.
2.
Quodsi iam supponimus, et esse numeros primos, e combinatione theorematis praecedentis cum lemmate art. 1 theorema fundamentale protinus demanabit. Patet enim,
I. quoties uterque , , sive alteruter tantum, sit formae , numerum fore parem, adeoque et vel simul pares vel simul impares, et proin vel utrumque et alterius residuum quadraticum, vel utrumque alterius non-residuum quadraticum.
II. Quoties autem uterque
,
est formae
, erit
impar, hinc unus numerorum
,
par, alter impar, et proin unus numerorum
,
alterius residuum quadraticum, alter alterius non-residuum quadraticum. Q.E.D.
THEOREMATIS FUNDAMENTALIS IN THEORIA RESIDUORUM QUADRATICORUM DEMONSTRATIO SEXTA
1.
Theorema. Designante numerum primum (positivum imparem), integrum positivum per non divisibilem, quantitatem indeterminatam, functio
divisibilis erit per
Demonstr. Accipiatur integer positivus ita ut fiat , statuaturque . Tunc erit
adeoque manifesto functio integra. Q. E. D.
Quaelibet itaque functio integra ipsius per divisibilis, etiam divisibilis erit per .
2.
Designet radicem primitivam positivam pro modulo , i.e. sit integer positivus talis, ut residua minima positiva potestatum , , , secundum modulum sine respectu ordinis cum numeris , , , identica fiant. Designando porro per functionem
patet,
divisibilem fore per
, adeoque a potiori per
, per quam itaque functionem ipsa quoque
divisibilis erit. Hinc vero sequitur, quum
exprimat quantitatem indeterminatam, esse quoque
divisibilem per
, et proin (art. praec.) etiam per
, quoties quidem
sit integer per
non divisibilis. Contra, quoties
est integer per
divisibilis, singulae partes functionis
uni
tate diminutae divisibiles erunt per
; quamobrem in hoc casu etiam
per
et proin etiam per
divisibilis erit.
3.
Theorema. Statuendo
erit divisibilis per , accepto signo superiori, quoties est formae , inferiori, quoties est formae .
Demonstr. Facile perspicietur, ex functionibus hisce
etc. usque ad
primam fieri
, singulas reliquas autem per
divisibiles. Quare per
etiam divisibilis erit omnium summa, quae colligitur
Erit itaque haecce expressio
etiam divisibilis per
. Iam inter exponentes
,
,
,
unicus tantum erit divisibilis per
, puta
, unde per art. praec. singulae partes expressionis
hae
excepto solo termino
, divisibiles erunt per
. Istas itaque partes delere licebit, ita ut per
etiam divisibilis maneat functio
ubi signum superius vel inferius valebit, prout
est formae
vel formae
. Et quum insuper
divisibilis sit per
, erit etiam
per
divisibilis. Q. E. D.
Ne duplex signum ullam ambiguitatem adducere possit, per numerum vel denotabimus, prout est formae vel . Erit itaque functio integra ipsius , quam per designabimus.
4.
Sit numerus positivus impar, adeoque integer. Erit itaque divisibilis per , et proin etiam per . Statuamus , atque
eritque
functio integra ipsius
, atque
, quoties unus numerorum
,
. sive etiam uterque, est formae
; contra erit
, quoties uterque
,
est formae
.
5.
Iam supponamus, quoque esse numerum primum (a diversum) patetque per theorema in Disquisitionibus Arithmeticis art. 51 demonstratum,
divisibilem fieri per
, sive formae
, ita ut
sit functio integra ipsius
etiam respectu coëfficientium numericorum (quod etiam de functionibus reliquis integris hic occurrentibus
,
,
subintelligendum est). Designemus pro modulo
atque radice primitiva
indicem numeri
per
, i.e. sit
. Erunt itaque numeri
,
,
,
secundum modulum
resp. congrui numeris
,
,
,
,
,
, adeoque
per
divisibiles. Quibus quantitatibus, alternis vicibus positive et negative sumtis atque summatis, patet, per
divisibilem esse functionem
valente signo superiori vel inferiori, prout
par sit vel impar, i.e. prout
sit residuum quadraticum ipsius
vel non-residuum. Statuemus itaque
faciendo
, vel
, prout
est residuum quadraticum ipsius
vel non-residuum, patetque,
fieri functionem integram.
6.
His ita praeparatis, e combinatione aequationum praecedentium deducimus
Supponamus, ex divisione functionis
per
oriri quotientem
cum residuo
, sive haberi
ita ut
,
sint functiones integrae, etiam respectu coëfficientium numericorum, et quidem
ordinis certe inferioris, quam divisor. Erit itaque
quae aequatio manifesto subsistere nequit, nisi tum membrum a laeva tum membrum a dextra per se evanescat. Erit itaque
per
divisibi
lis erit.
Quodsi iam per designatur unitas positive vel negative accepta, prout est residuum vel non-residuum quadraticum numeri , erit per divisibilis, adeoque etiam , quod fieri nequit, nisi fuerit . Hinc vero theorema fundamentale sponte sequitur. Scilicet
I. Quoties vel uterque , , vel alteruter tantum est formae , adeoque , erit , et proin vel simul residuum quadraticum ipsius , atque residuum quadraticum ipsius ; vel simul non-residuum ipsius , atque non-residuum ipsius .
II. Quoties uterque , est formae , adeoque , erit , adeoque vel simul residuum quadraticum ipsius , atque non-residuum ipsius ; vel simul non-residuum ipsius , atque residuum ipsius . Q. E. D.
Algorithmus novus ad decidendum, utrum numerus integer positivus datus numeri primi positivi dati residuum quadraticum sit an non-residuum.
1.
Antequam solutionem novam huius problematis exponamus, solutionem in Disquisitionibus Arithmeticis traditam hic breviter repetemus, quae satis quidem expedite perficitur adiumento theorematis fundamentalis atque theorematum notorum sequentium:
I. Relatio numeri ad numerum (quatenus ille huius residuum quadraticum est sive non-residuum), eadem est quae numeri ad , si .
II. Si est productum e factoribus , , , etc., atque numerus primus, relatio ipsius ad ita a relatione horum factorum ad pendebit, ut fiat residuum quadraticum ipsius vel non-residuum, prout inter illos factores reperitur multitudo par vel impar talium, qui sint non-residua ipsius b. Quoties itaque aliquis factor est quadratum, ad eum in hoc examine omnino non erit respiciendum; si quis vero factor est potestas integri cum exponente impari, illius vice ipse hic integer fungi poterit.
III. Numerus 2 est residuum quadraticum cuiusvis numeri primi formae vel , non-residuum vero cuiusvis numeri primi formae vel .
Proposito itaque numero , cuius relatio ad numerum primum quaeritur: pro , si maior est quam , ante omnia substituetur eius residuum minimum positivum secundum modulum , quo residuo in factores suos primos resoluto, quaestio per theorema II reducta est ad inventionem relationis singulorum horum factorum ad . Relatio factoris , (siquidem adest vel semel, vel ter, vel quinquies etc.) innotescit per theorema III; relatio reliquorum, per theorema fundamentale, pendet a relatione ipsius ad singulos. Hoc itaque modo loco unius relationis numeri dati ad numerum primum iam investigandae sunt aliquae relationes numeri ad alios primos impares ipso minores, quae problemata eodem modo ad minores modulos deprimentur, manifestoque hae depressiones successivae tandem exhaustae erunt.
2.
Ut exemplo haec solutio illustretur, quaerenda sit relatio numeri ad . Quum iam sit minor quam , atque ipse numerus primus, protinus applicandum erit theorema fundamentale, quod docet, relationem quaesitam oppositam esse relationi numeri ad . Haec iterum aequalis est relationi numeri ad , quae ipsa pendet a relationibus numerorum , , ad . Prima harum relationum e theoremate III innotescit. Secunda per theorema fundamentale pendet a relatione numeri ad , cui per theorema I aequalis est relatio numeri ad ; haec iterum per theorema fundamentale pendet a relatione numeri ad , cui per theorema I aequalis est relatio numeri ad , per theorema III nota. Perinde relatio numeri ad per theorema fundamentale a relatione numeri ad pendet, quae per theorema I aequalis est relationi numeri ad ; haec iterum per theorema fundamentale pendet a relatione numeri ad , cui aequalis est per theorema I relatio numeri ad per theorema III nota. Quodsi iam hanc analysin in synthesin transmutare placet, quaestionis decisio ad quatuordecim momenta referetur, quae complete hic apponimus, ut maior concinnitas solutionis novae eo clarius elucescat.
1. Numerus est residuum quadraticum numeri (theor. III).
2. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (theor. III).
3. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (ex I et 2).
4. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (theor. fund. et 3).
5. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (I et 4).
6. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (theor. fund. et 5).
7. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (theor. III).
8. Numerus est non-residuum quadraticum numeri ( I et 7 ).
9. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (theor. fund. et 8).
10. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (I et 9 ).
11. Numerus est residuum quadraticum numeri (theor. fund. et 10).
12. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (II, 1, 6, 11).
13. Numerus est non-residuum quadraticum numeri (I et 12).
14. Numerus est residuum quadraticum numeri (theor. fund. et 13).
In sequentibus brevitatis caussa utemur signo in Comment. Gotting. Vol. XVI introducto. Scilicet per denotabimus quantitatem ipsam, quoties est integer, sive integrum proxime minorem quam , quoties est quantitas fracta, ita ut semper fiat quantitas non negativa unitate minor.
3.
Problema. Denotantibus , integros positivos inter se primos, et posito , invenire aggregatum
Sol. Designemus brevitatis caussa huiusmodi aggregatum per , ita ut etiam fiat
si statuimus
. In demonstratione tertia theorematis fundamentalis ostensum est, pro casu eo, ubi
et
sunt impares, fieri
facileque eandem methodum sequendo veritas huius propositionis ad eum quoque casum extenditur, ubi alteruter numerorum
,
est impar, uti illic iam addigitavimus. Dividatur, ad instar methodi, per quam duorum integrorum divisor communis maximus investigatur,
per
, sitque
quotiens atque
residuum; dein dividatur
per
et sic porro, ita ut habeantur aequationes
Hoc modo in serie numerorum continuo decrescentium , , , , etc. tandem ad unitatem perveniemus, quum per hyp. et sint inter se primi, ita ut aequatio ultima fiat
Quum manifesto habeatur
etc., erit
et proin
Per similia ratiocinia fit, si statuimus
,
,
etc.,
etc. usque ad
Hinc, quoniam manifesto est
, colligimus formulam
4.
Facile iam ex iis, quae in demonstratione tertia exposita sunt, colligitur, relationem numeri ad , quoties sit numerus primus, sponte cognosci e valore aggregati . Scilicet prout hoc aggregatum est numerus par vel impar, erit residuum quadraticum ipsius vel non-residuum. Ad eundem vero finem ipsum quoque aggregatum adhiberi poterit, ea tamen restrictione, ut casus ubi impar est ab eo ubi par est distinguatur. Scilicet
I. Quoties est impar, erit residuum vel non-residuum quadraticum ipsius , prout par est vel impar.
II. Quoties est par, eadem regula valebit, si insuper est vel formae vel formae ; si vero pro valore pari ipsius modulus est vel formae vel formae , regula opposita applicanda erit, puta, erit residuum quadraticum ipsius , si est impar, non-residuum vero, si est par.
Haec omnia ex art. 4 demonstrationis tertiae facillime derivantur.
5.
Exemplum. Si quaeritur relatio numeri ad numerum primum , habemus, ad eruendum aggregatum ,
hinc
unde
erit residuum quadraticum numeri
. Si ad eundem finem aggregatum
adhibere malumus, habemus hocce paradigma:
unde deducimus
quapropter 103 est residuum quadraticum numeri 379.
6.
Quum ad decidendam relationem numeri ad non opus sit, singulas partes aggregati computare, sed sufficiat novisse, quot inter eas sint impares, regula nostra ita quoque exhiberi potest:
Fiat ut supra , , etc., donec in serie numerorum , , , , etc. ad unitatem perventum sit. Statuatur , , etc., sitque multitudo numerorum imparium in serie , , etc. eorum, quos immediate sequitur impar; sit porro multitudo numerorum imparium in serie , , etc. eorum, quibus in serie , , etc. resp. respondet numerus formae vel formae . His ita factis, erit residuum quadraticum vel non-residuum ipsius , prout est par vel impar, unico casu excepto, ubi simul est par atque vel formae vel , pro quo regula opposita valet.
In exemplo nostro series , , , , duas successiones imparium sistit, unde ; in serie , , , , duo quidem impares adsunt, sed quibus in serie , , , respondent numeri formae , unde . Fit itaque par, adeoque 103 residuum quadraticum numeri .