Migne Patrologia Latina Tomus 63
Boetiu.ArGeEtA 63 Boetius480-525 Parisiis J. P. Migne 1847 early modern edition, no apparatus this file was encoded in TEI xml for the University of Zurich's Corpus Corporum project (www.mlat.uzh.ch) by Ph. Roelli in 2013 Classical Latin orthography latin
Ars geometriae et arithmeticae
Geometria est disciplina magnitudinis immobilis, formarumque descriptio contemplativa, per quam uniuscujusque termini declarari solent, documentum etiam visibile philosophorum, quod Latine dicitur terrae dimensio. Quoniam per diversas formas ipsius disciplinae primum Aegyptus fertur fuisse partita, pro necessitate terminorum terrae quos Nilus fluvius inundationis tempore infundebat, cujus disciplinae magistri mensores ante dicebantur. Sed Varro peritissimus Latinorum hujus nominis causam sic exstitisse commemorat dicens: Prius quidem dimensiones terrarum terminis positis, vagantibus ac discordantibus populis pacis utilia praestitisse. Deinde totius anni circulum mensuali numero fuisse partitum. Tunc et ipsi menses quod annum metiuntur, dicti sunt. Tunc et dimensionem orbis terrae probabili refert ratione collectam, ideo factum est ut disciplina ipsa geometriae nomen acciperet quod per saecula longa constaret.
De utilitate geometriae rubrica.
Utilitas geometriae triplex est, ad facultatem, ad sanitatem, ad animam. Ad facultatem, ut mechanici et architecti. Ad sanitatem, ut medici. Ad animam, ut philosophi. Quam artem si arcte et diligenti cura atque moderata mente perquirimus, hoc quod praedictis divisionibus manifestum est, sensus nostros magna claritate dilucidat, et illud supra, quale est coelum animo subire, totamque illam machinam supernam indagabili ratione aliter discutere, et inspectiva mentis sublimitate, ex aliqua parte colligere et agnoscere mundi factorem qui tanta et talia arcana velavit. Nam mundus ipse sphaerica fertur rotunditate collectus, ut diversas rerum formas ambitus sui circuitione concluderet, unde librum Seneca consentanea philosophis disputatione formavit, cui titulus est de Forma mundi. Nam in geometria utique partem fatemur esse utilem teneri, et actibus agitari, in omnibus prodesse eam existimamus, nec sine causa summi viri etiam impensam huic scientiae operam dederunt, cum sit geometria divisa in numeros atque formas numerorum. Nota non tantum oratori, sed cuique primis saltem litteris erudito necessaria est, quod ad subtilitatem constat tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitationem valde jucundissima. In causis vero frequentissime quaeritur, quia primum ordo est geometriae necessarius. Nonne et eloquentiae, ex prioribus geometria probat insequentia, et certis incerta, propter quod plures invenies, qui dialectici similiter et rhetorici ingrediantur hanc artem. Dialectico namque syllogismo si res poscit utitur, et qui sunt potentissimi grammatici, qui apodixis Graece dicuntur, idem probant, et certe enthimemate, qui rhetoricus est syllogismus, quod Latine interpretatur mentis conceptio, quem imperfectum solent artigraphi nuncupare, et ipse denique probat cujus sit formae circuitus, quot lineis rectis continetur. Quibus modis finitur, quae illa circumcurrens linea si efficiat orbem, quae forma est in planis maxima perfecta, in qua tot spatia complectitur. Et si quadratum paribus horis efficiat rursus quadrata, triangulus triangula, ipsa plus aequis lateribus quam inaequalibus, et alia forsitan obscuriora, quod etiam operis sequi oportet experimentum. Haec in planis. Nam in montibus et collibus etiam imperito patet, quia per solum cursum et umbrarum motum comprehenditur, et per divergia aquarum segregatur. Nunc ad epistolam Julii Caesaris veniamus, quod ad hujus artis originem pertinet, ut nec ipsius auctoris gloria pereat, ut nobis plenissime rei veritas ad notitiam veniat; quisquis ille tamen hanc epistolam studiose legere voluerit quibusdem compendiis introductus, lucidius majorum dicta in brevi percipiet.
Rubrica.
Divus Julius Caesar, vir acerrimus et multarum gentium dominator, frequentia belli militem exercuit, ampliorum bellorum operibus augendae rei causa illustrium virorum urbes ingressus est, gentium populos rogantes recepit, tyrannos gladio interemit, et postquam hostilem terram obtinuit, deletis hostium civitatibus, denuo novas urbes constituit, dato iterum coloniae nomine cives ampliavit.
Milites colonos fecit, alios in Italia, alios in provinciis quibusdam. Haec quae divus Augustus assignatus urbes provinciarum exercitui jussit propter subitas bellorum acies, non solum eas civitates demum cingere muris, verum etiam loca aspera et confragosa satis alligari, ut ille maxime propugnaculo est, et ista loci natura, et ab agrorum nova dedicatione culturae colonias appellavit, quae coloniae his victoribus, qui temporis causa arma coepere, assignatae sunt.
Ergo ne quid nos praeterisse videamur, sed magis eorum exempla sequamur, saepe erit ad formam respiciendum; et quia montium altitudines praeesse oratio monstrabat, per ascensum praecelsi cacuminis aciem laboriose signa ex lapidibus constructa reliquimus, et est munita discretaque locorum quantitas quae permanet separatim per aquarum divergia in utraque parte valde nota partitio, alia loca riparum cursus servatur, proinde etiam si hostis nos infestare voluisset, eos ex proxima ripa poteramus expugnando rumpere. Nam circa regionem maritimam limites rectos censuimus ex lapidibus compactis, totam limitum recturam cursum demonstrabimus, quia coloniae omnes quae ad mare ponuntur littore maris terminantur. Agros convallium jure ordinario disposuimus, quos intercisivos nominavimus. In planitie vero limites recte cultellavimus.
Plerumque sunt agri quam multi assignati, quorum mensura limitum licet diversa sit; tamen etiam distant a se alius ab alio in pedes 100, in pedes 150, in pedes 240, in pedes 300, in pedes 361, in pedes 420, in pedes 480, in pedes 600, in pedes 700, in pedes 840, in pedes 962, in pedes 1020, in pedes 10200, in pedes 1340, in pedes 10600, in pedes 10700, in pedes 10800, in pedes 2200, in conspectu tamen longo quo signis limitem agimus.
Si fuerit terminus crassus angustalis et ab alia parte longa crassus geminatus, hi duo limites maximi decimanus et cardo nominati sunt. Per multa millia pedum concurrunt, et nisi in alpes finiant dividunt agros dextra laevaque rectarum linearum inter se continentium.
Omnem mensuram hujus culturae mediam longiorem sive latiorem facere debes, quod latitudine longius fuerit, scamnum est, quod vero in longitudinem longius fuerit striga.
Sunt fundi bene meritorum et pro aestimatione ubertatis angustiores assignati sunt.
Loca macra et arida ampliori termino conclusa sunt. Sunt loca subsicciva quae ad jus ordinarium non pertinent, sed si convenerit inter possessores, possideant; si non convenerit, remanet potestati.
Alia loca perfectiora ad jus publicum pertineant; totidem si possessoribus convenit, possident.
Sunt autem loca publica haec quae scribuntur silva et pascua publica augustinorum, quae illo modo alienari nequeunt, et possident tutelam aut templorum publicorum, aut balnearum, quae loca colliva appellant.
Ager extraclusus est, qui intra finitimam lineam et centurias interjacet; ideo extraclusus, quia ultra finitimos limites clauditur.
De controversiis rubrica.
Controversiarum materiae sunt duae, finis et locus, harum altera continetur quidquid ex agro disconvenit. Sed quoniam his quoque partibus signatae controversiae diversas habent conditiones, ut potui ego comprehendere, propriae sunt nominandae.
Genera sunt controversiarum 14: De positione terminorum. De regione. De fine. De loco. De domo proprietas. De possessione. De alluvione. De jure territorii. De subsiccivis agris. De locis publicis. De locis relictis et extraclusis. De locis sacris ac religiosis. De aquae pluviae accessu, et de itineribus.
Controversia est inter duos pluresque vicinos. Inter duos, an in rigore sit caeterorum sine rationis, inter plures trifinium facit, aliquibus locis et quadrifinium, secundum proximas possessiones, dum hoc nesciunt, non eis convenit, et diversas controversias ipsi possessores inter se faciunt. Alii de loco, alii vero de fine lineae litigant, alii de fundis attendunt. Sed avido modo quaerendum est prius origo causae. Natura per haereditates opinionis hujus generis controversiae fiunt, quare jure ordinario litigatur. Prius tamen in judicio super possessionem quaestio finiatur, et tunc agrimensor ad loca ire praecipiatur, ut patefacta veritate hujusmodi litigium terminetur.
Genera controversiarum ex flumine haec sunt, non quod occupatis agris agitur, sed quod vis aquae abstulerit repetitionem non habebit, quae res necessitate ripae muniendae sunt, sine alterius damno quisquis ille faciat qui ripam suam muniet. Quod si fluminis torrens aliquando tam violentus decurrerit, ut alveum mutet suum, multorum agros trans ripam occupat, saepe etiam insulas efficiet. Sed Cassius Longinus prudentissimus juris auctor et judex hoc statuit, ut quidquid aqua lambendo abstulerit possessor admittat, quoniam scilicet ripam suam sine alterius damno tueri debet. Si vero major vis decurrerit et in fines alterius alveum mutat suum, et fiat insula in quo concurrerit, unusquisque modum fluminis majoris agnoscere debet, et eam insulam ipse sibi vindicabit, cujus terram tempestative praeoccupavit, quoniam non possessoris negligentia, sed tempestatis violentia apparet arreptum.
Ager subsiccivus secundum suas determinationes ascriptus est, in finibus suis tabulario Caesaris inferimus, et quod beneficio concessa aut assignata coloniae fuerint, sive in proximo, sive inter alias civitates, libros beneficiorum ascribimus, et quidquid aliud ad instrumentum mensorum pertinebit ad solum coloniae, sed ad tabularium Caesaris manu conditoris subscriptum habere debebit.
Ager est similis subsiccivus condictionis extraclusus et non assignatus, qui, si rei publicae, populo Romano, aut ipsius coloniae cujus fine circumdatur, aut ad populum Romanum pertinet, datus non est, in ejus qui assignare potuerit remanet potestate.
Signa limitum finalium in diversas regiones, sive vocabula, vicos, vel possessiones haec sunt inter utrosque possessores testimonia agralia dividenda.
In montibus loca arida et confragosa petras signatas invenimus.
Summa montium terminos agusteos, id est rotundos, in effigiem columnae aliquos littera signatos, archas finales in partibus grumos, id est congeriem petrarum, arbores antemissas intactas a ferro, congeriem maceriae, id est ubi saxa collecta ab utrisque partibus limitem faciunt, item petras sacrificales aras, in quibus locis arbores intactae stare videntur, in quo loco veteres errantes sacrificium faciebant. Alio loco viae militares finem faciunt, qui termino muniuntur. Alia vero dextera montium, id est pro latere montis ripae currentes finem faciunt. Aliquando sepulcra finem faciunt, ideo sepulcra sequenda sunt quae extremis finibus concurrentibus plures concursus agrorum exspectant. Omnia enim monumenta dominos testantur.
Sunt termini cursorii in effigiem tituli constituti, certa loca rivi, finales cunabulae vel novercae, quod regulis construitur, scorpiones ubi fines duo cuneati se jungunt. Si forte in campestria loca ubi agri in planitie sunt constituti in jugeribus assignata inveniuntur. Item inter voratos rupis arboribus ante missis intactis, ut supra dixi sacrificales, tumor terrae in effigiem limitis constitutos, petras molares foveas, vel metas, lacus et legonatus, et fabritiis constructos calaviones. Aliquotiens enim petras quadratas et scriptas, quae indicant cujus agri quis dominus, quot spatium tueantur. Non enim omnis titulus inscriptionibus est inductus, quoniam aliquibus locis non sunt lapides scripti, sed in effigiem terminorum positi sunt, quos cursorios vocamus. Nam et ipsi montes omnino loca determinant, termini vero non unam mensuram inter se continent, jubente Augusto Caesare Balbo mensore, qui omnium provinciarum mensuras distinxit ac declaravit, perque testimonia suprascripta fines locorum terminentur.
Sunt enim termini quibus fides non est adhibenda, isti dicuntur itinerarii. Omnes enim limites itineri publico servire debebunt, qui dextra ac sinistra fines privatos dividunt, et in medio iter publicum, hi tales non sunt omnibus locis, utique sub omnes terminos signum inveniri oportet; quod ergo inventum pro loco termini observetur et custodiri debeat, ut ab uno ad unum dirigatur, et si nocte sive a nota ad notam.
Sic enim sunt certae legis consuetudines et observationes, semper signum in omnibus terminis positum est, aut aliquos cineres, aut carbones, aut testa, aut ossa, aut vitrum, aut massa ferri, aut aes, aut calcem, aut gypsum, aut vas fictile invenimus, quod etiam quibusdam saxorum fragminibus conculcabant atque diligenti cura confirmabant, ut firmius staret. Tales ergo, signum inter dominos, inter quos fines terminabantur, faciebant. Termini vero non sunt omnibus locis, sed infinita sunt multa alia testimonia, lege feliciter et intelligere curabis; qui intelliget quod videt, agrorum intentionem et certamen tollere potest, prudentiam tamen hi mensores habere debent, qui judicaturi sunt, et quos advocant, ut praestatores. In judicando autem mensorem bonum virum et justum agere, ut nulla ambitione aut sordibus moveatur, servare opinionem metris et moribus debet. Omni enim artifici veritas custodienda est, exclusi sunt illi qui falsa pro veris opponunt. Quidam per imprudentiam, quidam per imperitiam peccant. Mutans ergo in professione quae generaliter pro veris adjiciuntur, per controversiam argumentaliter et conjecturaliter etiam superflue metiri artifices coguntur, sed tutum hoc judicandi hominem artificem oportebit.
Nomina agrimensorum rubrica.
Higini, Marci, Caesaris Neronis jussu.--Julii Frontini, Junii, Claudi Caesaris jussu.--Siculi.--Flacci, Nypsi, Higini, Euclidis, Cassi.--Ageni, Balbi, Tiberii Caesaris jussu.--Urbici, Mensoris Longini.--Imp. Severini et Antonini j.--Imp. Vespasiani j.--Imp. Adriani j.--Imp. Trajani j.--Imp. Augusti Caesaris j.--Imp. Neronis j.--Imp. Valentiniani j.--Imp. Theodosii j.--Imp. Archadii j.--Imp. Honorii j.--Imp. Constantini jussu.
Nomina lapidum finalium et archarum positiones rubrica. Orthogonius rectus rectum angulum mittit. Isopleurus rectus subconstitutus.--Isosceles. Terminus lineatus.--Exculenus sive hexagineus. Spatula cursoria.--Excultelatus lateribus. Terminus in inversum positus.--Sumbus sive trapideus. Item spatula cursoria.--Isosceles. Quadrifinius.--Solus trigonus alia jactat. Item quadrifinius.--Parallelogrammus pentagonus. Terminus gamatus. Hexagineus. Terminus lineatus, id est quadrifinius.--Septagenus. Item quadrifinius.--Sinagonus. Noverca.--Terminus Graeca littera scriptus. Simmatus.--Terminus in summo acutus. Centustatus.--Circulatus pyramus, item acuto similis. Trivortinus.--Item pyramus vitae praecisae similis. Amicirculus--Completus rhombus amblygineus. Varoberinus.--Amicirculus quadratus. Trudeus.--Terminus agusteus. Terminus augustus in summo acutus.--Terminus cursorius. Lapis molaris.--Terminus finitrius. Monumentum.--Sepulturam cum ossibus finalem. Mauspleus.--Terminus in laterculis. Arca finalis.--Terminus quadrifinius. Lippus.--Terminus rotundus. Kalasiones.--Terminus cui subjacet angulus. Terminus quadrifinius.
Tu qui vis perfectus esse geometricus, lege ista omnia quae capitulata sunt subterius. Nam imprimis scire oportet arithmeticam artem, quae continet numerorum causas ac divisiones, id est: qualis est definitio ac divisio, de paribus imparibus numeris;--qualis est compositus numerus, et qualis incompositus;--qualis est perfectus numerus, et qualis imperfectus;--qualis est divisibilis numerus, et qualis indivisibilis;--qualis est particularis numerus, et qualis superpartiens;--qualis est superfluus numerus, et qualis diminutivus;--qualis est multiplex numerus, et qualis submultiplex;--qualis est solidus numerus, et qualis sphaericus;--quomodo inventa est geometria;--quid sit geometria;--quae utilitas;--qui ordo praescriptionis;--quae sit ratio praepositionis;--quae dispositionis;--quae distributionis;--quae descriptionis;--quae demonstrationis;--quae conclusionis;--qualis est recta linea;--qualis est superficies lineae;--qualis est divitrica linea;--quot sunt extremitatum genera;--quot genera summitatum;--quot genera angulorum;--qualis est planus angulus;--qualis est obtusus angulus;--qualis est hebes angulus;--qualis est rectus angulus;--qualis est acutus angulus;--qualis partita mensura sit;--quantum trahit stadius;--quid sitacus;--quid sint climate;--quid centua;--quid leuca;--quid arrapennis;--quid jugerum;--quid centuria;--quid punctum;--quid est diametrus;--quid paralellogrammum;--quid figura;--quid circulus;--quot in partes sit divisio.
Si scis ista omnia ad plenitudinem, nosti locorum segregationem. Nam qui ignorant regulam hujus artis multa opponunt falsa pro veris.
D. Quomodo inventa est geometria?
M. Inventam esse geometriam Aegyptii dicunt pro necessitate terminorum terrae, quos nullus inundationis tempore infundebat.
D. Unde vocata sit geometria?
M. Geometria nominata est a dimensione terrae, per quam uniuscujusque terrae termini declarari solent.
D. Quid sit geometria?
M. Geometria est disciplina magnitudinis et figurae quae secundum magnitudinem contemplatur.
D. Quae sit intentio?
M. Intentio Euclidis duplex est, ad discipulum respiciens et ad naturas rerum. Ad discipulum respiciens, quia oportet eum ab his uti isagogicis incipere pro facilitate, pro brevitate, et eo quod in quaestionibus ob hoc nulla sit difficultas. Pro rerum natura, eo quod physicae scientiae, et Timaei sive Platonis doctrina plurima geometricae demonstrare noscuntur.
D. Quae utilitas?
M. Utilitas (ut supra praefati sumus) geometriae triplex est, ad facultatem, ad sanitatem, ad animam: ad facultatem, ut mechanici; ad sanitatem, ut medici; ad animam, ut philosophi.
D. Qui ordo est geometriae in disciplinis?
M. Aliquatenus post arithmeticam servus est, aliquatenus tertius.
D. Tituli inscriptio quomodo intelligatur?
M. Est enim tituli praescriptio elementorum quae figurae simpliciores sunt, et ex his aliae componuntur quae in his etiam resolvuntur.
D. Si proprius codex?
M. Codex iste secundum dispositionem Euclidis esse dicitur, secundum demonstrationem vel inventionem aliorum plerumque esse dicitur.
D. In quot partes dividitur?
M. Dividitur codex iste in quatuor partes: in epipedis, in arithmeticis, in rationalibus et irrationalibus lineis, et in solidis.
D. Quae sunt in demonstratione geometrica?
M. Propositio, dispositio, distributio, descriptio, demonstratio et conclusio.
Restat autem nobis profundissimam quamdam tradere disciplinam, quae ad omnium naturae tum rerum integritatem maxime ratione pertineat. Magnus quippe in hac scientia fructus est, si quis non nesciat quod bonitas diffinita et sub scientia cadens animoque semper imitabilis et perceptibilis prima natura est, et suae substantiae decore perpetua, infinitum vero malitiae dedecus nullis propriis principiis nixum, sed natura semper errans ab omni definitione principii tanquam aliqua signo optimae figurae impressa componitur, et ex illo erroris fluctu retinetur. Nam nimiam cupiditatem iraeque immodicam effrenationem, quasi quidam rector animus pura intelligentia roboratus astringit. Nos tamen quae de numeris a Nicomacho diffusius disputata sunt, vel a Varrone de mensuris ostensa sunt, moderata brevitate collegimus. Et quae transcursa velocius angustiorem intelligentiae praestabant aditum, mediocri adjectione reseravimus, ut aliquando ad evidentiam rerum nostris etiam formulis ac descriptionibus uteremur, quod nobis quantis vigiliis ac sudore constiterit, facile sobrius lector agnoscit. Et has quodammodo inaequalitatis formas temperata bonitate laborando collegimus, ipse lector probabit, quae nos ex Graecarum opalentia litterarum in Romanum orationis thesaurum contrahimus. Si quae ex sapientiae doctrinis emicuerunt, sapientissimi judicio per nos comprobentur. Vides igitur ut tam magni laboris effectus tuum tantum lector exspectet examen, nec in aures prodire publicas nisi doctae sententiae astipulatione nitatur, quod nihil mirum videri debet, cum id opus quod sapientiae inventa persequitur, non auctoris, sed alieno incumbat arbitrio. Est enim sapientia numerorum causas et divisiones earum quae vera est cognitio et integra comprehensio, quod haec qui spernit, id est semitam sapientiae, ei denuntio non recte philosophandum. Haec autem est arithmetica, haec enim cunctis prior est, non modo quod hanc ille hujus mundanae molis conditor Deus primam suae habuit ratiocinationis exemplar, et ad hanc cuncta constituit, quaecunque fabricata ratione per numerum assignati ordinis invenere concordiam, sed hoc quoque prior arithmetica declaratur, quod quaecunque natura priora sunt; his sublatis, simul posteriora tolluntur. Quod si posteriora pereant, nihil de statu prioris substantiae permutat, ut animal prius est homine. Nam si tollas animal, statim quoque hominis natura deleta sit. Si hominem sustuleris, animal non peribit, proprie tamen ipsa numerorum natura cuncta praecessit. Omnia quaecunque a primaeva rerum natura constructa sunt, videntur numerorum ratione formata. Hoc enim fuit principale in animo conditoris exemplar, hinc enim quatuor elementorum multitudo mutuata est, hinc temporum vices, hinc motus astrorum coelique conversio. Proprie tamen ipsa numerorum natura omnes astrorum cursus, omnisque astronomica ratio constituta est. Sic enim ortus occasusque colligimus, sic tarditates velocitatesque errantium siderum custodimus, sic defectus et multiplices lunae variationes agnoscimus, quia quoniam prior, ut claruit, arithmeticae usus est, huic disputationis sumamus exordium, hoc idem in geometria vel in arithmetica videtur incurrere. Si enim numeros tollas, unde triangulum vel quadratum comprehendere possumus, vel quidquid in geometria versatur, quae omnia numerorum denominativa sunt, hoc autem erit perspicuum si intelligamus omnes inaequalitates crevisse primordiis, ut ipsa quodammodo aequitas matris et radicis obtinens vim, ipsa omnes inaequalitatis species ordinesque perfundavit. Sint enim nobis tres bini, vel tres terni, vel tres quaterni, vel quantos ultra libet ponere. Quod enim in his tribus terminis evenit, idem contingit in caeteris. Ex his igitur secundum praecepti nostri ordinem videas primum nasci multiplices si convertantur, et in his duplices prius, dehinc triplos, inde quadruplos et ad eumdem ordinem consequentes. Rursus multiplices si convertantur, ex his superparticulares orientur. Ex duplicibus quidem sesquialteri. Ex triplicibus sesquitertii. Ex quadruplis sesquiquarti, et caeteri in hunc modum. Ex superparticularibus vero conversis superpartientes nasci necesse est, ita ut ex sesquialtero nascatur superbipartiens, supertripartientem sesquitertius gignat, ut ex sesquiquarto superquadripartiens. Rectis autem positis neque conversis prioribus superparticularibus, multiplices superparticulares oriuntur. Rectis vero superpartientibus, multiplices superpartientes efficiunt; praecepta autem tria haec sunt, ut primum numerum primo facias parem, secundo vero primum, et secundo tertium, primo duobus secundis et tertio. Cum enim eum in terminis aequalibus feceris, ex his qui nascentur duplices erunt. De quibus duplicibus si idem feceris, triplices procreantur, et de his quadruplices, atque in infinitum omnes formas numeri multiplices explicabis. Illi quidem quorum partes ultra quam satis est sese perrexerint, superflui nominantur, ut sunt 12, vel 114. Hi enim suis partibus comparati, majorem partium summam toto corpore sortiuntur: est enim duodenarii medietas 6, pars tertia 4, pars quarta 3, pars sexta 2, pars duodecima 1, omnisque hic cumulus redundat in 16, et totius corporis sui multitudinem vincunt. Rursus 24 numeri medietas est 12, tertia 8, quarta 6, sexta 4, octava 3, duodecima 2, vigesima quarta 1, qui omnes 36 rependunt, in qua re manifestum est quod summa partium major est, et supra proprium corpus exundat. Atque hic quidem cujus compositae partes totius termini multitudine superantur, ut 8, vel 14, habet enim octonarius partem mediam, id est 4, habet et quartam quod est 2, habet et octavam 1, quae cunctae in unum reductae septem colligunt, minorem scilicet summam toto corpore concludentes. Rursus quatuordecim habet medietatem, id est 7, habet septimam, id est 2, habet quartam decimam, id est 1, quae si in unum collectae sint denarii numeri summa sucorescit, toto scilicet termino minor. At 2 qui hoc modo sunt ut prior ille quem suae partes superant, tales videantur tanquam si quis multis super naturam manibus natus aut duplici conjunctus corpore, vel quidun quam monstruosum naturae in partium multiplicatione subripuit.
Ille vero minores, ut si naturaliter quadam necessaria parte detracta aut minus oculo nasceretur, vel alio curtatus membro naturale totius suae plenitudinis dispendium sortiretur, inter hos autem velut inter aequales intemperantias medii temperamentum limitis sortitus est ille numerus qui perfectus dicitur esse virtutis scilicet aemulator, qui nec supervacua progressione dirigitur, nec contracta rursus diminutione remittitur. Sed medietatis obtinet, qui suis aequis partibus nec grassatur abundantia, nec eget inopia, ut 6 vel 28. Namque senarius habet partem mediam, id est 3, et tertiam, id est 2, et sextam, id est 1, quae in unam summam si redactae sint, id est 3, 2, 1, id est par totum numeri corpus suis partibus invenitur; 28 vero habet medietatem 14 et quartam 7, et septimam 4, et quartam decimam 2, vigesimam octavam 1, quae in unum redacta totum partibus corpus aequabunt, in uno enim junctae partes 28 efficiunt. Est autem in his quoque magna similitudo virtutis et vitii; perfectos enim numeros rare invenies, eosque facile numerabiles, quippe qui pauci sunt, et nimis constanti ordine procreati. At vero superfluos infinitos reperies, nec ullis ordinibus, passim inordinateque dispositos, et a nullo certo fine generatos. Sunt autem perfecti numeri intra denarium numerum 6, intra centenarium 28, intra millenarium 416, intra decem millia 800 et 128. Et semper hi numeri duobus paribus terminantur 6 et 8, et semper alternatim in hos numeros summarum fines provenient. Nam et primum 6, inde 28, post hos 496. Idem senarius qui primus, postquam 800 et 128, idem octonarius qui secundus.
Majoris vero inaequalitatis numeri quinque sunt partes: est enim una quae vocatur multiplex, alia superparticularis, tertia superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpartiens. His igitur quinque majori partibus oppositae sunt aliae quinque partes, quae minoris sigillatim speciebus iisdem nominibus nuncupantur, sola tantum praepositione distantes. Dicitur enim submultiplex, subsuperparticularis, subsuperpartiens, submultiplex, superparticularis, submultiplex, superpartiens. In prima parte si multiplicatur numerus multiplex dicitur. In parte superparticularis dicitur. In tertia superpartiens, id est quarta multiplex superparticularis. In quinta multiplex superpartiens. Minores vero numeri aliqua parte unus subsistens, atque idem per partes, secundum majorum normam multitudinemque protenditur.
De paribus et imparibus numeris rubrica Descriptio autem quae supposita est hoc modo facta est: quantoscunque in ordine pariter parium numerorum ternarius numerus multiplicavit, quicunque ex eo procreati sunt primo sunt versu dispositi. Rursus qui eodem multiplicante quinario nati sunt, secundo loco sunt constituti. Post vero quos septenarius caeteros multiplicans procreavit, eosdem tertio constituimus loco, atque idem in reliqua descriptionis parte perficimus, superius igitur digestae descriptionis haec ratio est: si ad latitudinem respicias, ubi est duorum terminorum una medietas, ipsosque terminos jungas, duplos eos propria medietate reperies, et 36 et 20 faciunt 56, quorum medietas est 28, et 12 si jungas faciunt 150, quorum 20 medietati medius eorum terminus invenitur. Ac vero ubi duas medietates habent, utraeque extremitates junctae utrisque medietatibus aequales fiunt, ut 12 et 36 dum conjunxeris fiunt 48; horum si medietates sibimet applicaveris, id est 20 et 28, idem erit. Atque in alia parte latitudinis eodem ordine qui fiunt numeri notati sunt, neque ulla in re ratio utriusque latitudinis discrepavit. Idemque eodem ordine in caeteris numeris pernotabis, et hoc secundum formam pariter imparis numeri fit, in quo hanc proprietatem esse supra jam dictum est. Rursus si ad longitudinem respicias, ubi duo termini unam medietatem habent, quod fit ex multiplicatis extremitatibus, hoc fit si medius terminus suae capiet pluralitatis augmenta. Nam duodecies 48 faciunt 576; medius vero eorum terminus, id est 24, si multiplicetur, eosdem rursus 576 procreabit. Et rursus si 24 in 546 multiplicetur, faciunt 2304, quorum medius terminus, id est 48, si in semetipsum ducatur, idem 2304 procreantur. Ubi autem duo termini duas medietates includunt, quod fit multiplicatis extremitatibus, hoc idem redditur in alterutram summam medietatibus ductis. Duodecies enim 546 multiplicatis in 152 procreantur, duae vero eorum medietates, id est 24 et 48, si in semetipsas multiplicentur, eosdem in 152 restituent, atque hoc ad imitationem cognationemque numeri pariter paris, a quo participatione tracta, haec ei cognoscitur ingenerata proprietas. Et in alio vero latere longitudinis, eadem ratio descriptioque notata est, qua in re manifestum est totum numerum, ex superioribus duobus esse procreatum, quod eorum retinet proprietates. Quoniam autem naturaliter et secundum propriam ordinis consequentiam multiplicem inaequalitatis speciem cunctis praeposuimus, primamque speciem esse monstravimus, licet hoc nobis posterioris operis ordine clarescat. Hic quoque perstringentes, id quod proposuimus planissime breviterque doceamus. Sit enim talis descriptio in qua ponatur in ordinem usque ad denarium numerum continui numeri ordo naturalis, et secundo versu duplus ordo texatur, tertio vero triplus, quarto autem quadruplus, et hoc usque ad decuplum. Sic enim cognoscemus quemadmodum superparticulari, et superpartienti, et cunctis aliis princeps erit species multiplicis, et quaedam alia simul inspiciemus, et ad subtilitatem tenuissima, et ad scientiam utilissima, et ad exercitationem valde jucundissima.
Si igitur duo prima latera praepositae formulae, quae faciunt angulum ab uno ad decem, et decem procedentia respiciantur, et his subteriores ordines comparentur, qui scilicet a 4 angulum insipientes in vicenos terminum ponunt, duplex, id est prima species multiplicatis ostenditur, ita ut primus primum sola superet unitate, id est duo unum, secundus secundum binario supervadat, ut quaternarius binarium, tertius tertium tribus, ut senarius ternarium, quartus quartum quaternarii numerositate transcendat, ut octo quaternarium et per eamdem cuncti sequentiam sese minoris pluralitate praetereant.
Si vero tertius angulus inspiciatur, qui ab novem inchoans, longitudinem latitudinemque tricenis altrinsecus numeris extendit, et hic cum prima latitudine et longitudine comparetur, triplex species multiplicitatis occurrit, ita ut ista comparatio per decimam litteram fiat, hique se numeri superabunt, secundum paralitatis factam naturaliter connexionem; primus enim primum duobus superat, ut unum tres, secundus secundum quaternario, ut binarium senarius, tertius tertium sex, ut ternarium novenarius, et ad eumdem caeteri modum progressionis accrescunt. Quam rem nobis scilicet et ipsa naturalis objecit integritas, nihil nobis extra machinantibus, ut in ipso modulo descriptionis apparet.
Si quis autem quarti anguli terminum qui sedecim numeri quiditate notatus est, et longitudinem quae in quadragenos terminat, velit superioribus comparare, per 10 litterae formam proportione collata, quadruplici multitudinem pernotabit, hisque est ordinabilis super se progressio, et ut primus primum tribus superet, ut quatuor unitatem, secundus secundum senario vincat, ut octo binarium, tertius tertium novenario transeat, ut duodenarius ternarium, et sequentes summulae trium se semper adjecta quantitate transiliant. Et si quis subteriores aspiciat angulos, idem per omnes multiplicitatis species usque ad decuplum dispositissima ordinatione proveniet.
Si quis vero in hac descriptione superparticulares requirat, tali modo reperiet. Si enim secundum angulum notet, cujus est initium quaternarius, eique superjacet binarius, atque ad hunc sequentem quis accommodet ordinem, sesquialtera proportio declaratur. Nam tertius secundi versus sesquialter est, ut tres ad duo, vel sex ad 4, vel novem ad sex, vel 12 ad 8, item et in caeteris qui sunt in eadem serie numeris talis conjugatio misceatur, nulla varietatis dissimilitudo subripiet; eadem tamen summarum supergressio est in hoc quoque quae in duplicibus fuit. Primus enim primum, id est ternarius binarium uno superat, secundus vero secundum duobus, tertius tertium tribus, et deinceps. Si vero quartus ordo tertio comparetur, ut 4 ad 3, et eodem caeteros ordine consecteris, sesquitertia comparatio colligitur, ut 4 ad 3, vel 8 ad 6, vel 12 ad 9, videsne ut in omnibus his sesquitertia conservetur. Praeterea eos qui sub ipsis sunt, si idem faciens sequentes versus alterius comparaveris, omnes sine ullo impedimento species superparticularis agnosces, hoc autem in hac dispositione divinum, quod omnes angulares numeri tetragoni sunt. Tetragonus autem dicitur, ut brevissime dicam, quod etiam latius explicabitur, quem duo aequales numeri multiplicant, ut in hac quoque descriptione est: unus enim semel unus est, et est potestate tetragonus. Item bis duo 4 sunt, ter tres 9, quos in semetipsos multiplicationes primordiis perfecerunt. Circum ipsos vero qui sunt vel est circum angulares, longilateri numeri sunt, longilateros autem voco, quos uno se supergredientes numeri multiplicant, circum 4 enim duo sunt et sex, sed duo nascuntur ex uno et duobus, cum unum bis multiplicaveris. Sed unitas a binario unitate praeceditur, 6 vero ex duobus et tribus, bis enim tres senarium reddunt. Novenarium vero sex et duodecim claudunt, qui duodecim ex tribus nascuntur et 4. Ter enim 4 fiunt 12, senarius vero ex duobus et tribus, bis enim ter fiunt 6, qui omnes uno majoribus lateribus procreati sunt. Nam cum 6 ex binario ternarioque nascuntur, 3 binarium numerum uno superant, cunctique alii ejusdem modi sunt, ut primo et secundo ordine ad alterutrum multiplicatis terminis procreentur, ita ut quod nascitur ex duobus positis longilateris altrinsecus, et bis medio tetragono tetragonus sit. Et rursus quod ex duobus altrinsecus tetragonis et uno medio longilatero bis facto nascitur, ipse quoque tetragonus sit, et ut angulorum totius descriptionis ad angulares tetragonos positorum unius anguli, sit prima unitas, alterius vero qui contra est, tertia uni vero altrinsecus anguli secundas habent unitates, et duo angularium tetragonorum anguli aequum faciunt, quod sub ipsis continetur, illi quod fit ab uno illorum, qui est altrinsecus angulorum. Multa enim sunt alia quae in hac descriptione utilia possint admirabiliaque perpendi, quae interim propter castigatam introducendi brevitatem ignota esse permittimus, nunc vero ad sequentia propositum convertamus.
Finis lib. de Geometria Anitii Manlii Severini Boetii. In quo opere si quid amplius requiri videbitur cuipiam boni aequique consulat, nam plurimos locos emendavimus, in quibusdam visum est cuique suum judicium relinquere, nihilque temere mutare. Certe quantum diligentia, industria et impensis potuit fieri, a nobis nihil est omissum.