OMNIA quæ a primæva rerum origine processerunt ratione numerorum formata sunt,[1] et quemadmodum sunt, sic cognosci habent: unde in universa rerum cognitione, ars numerandi est operativa. Hanc igitur scientiam numerandi compendiosam edidit philosophus nomine Algus,[2] unde algorismus nuncupatur, vel ars numerandi vel introductio in numerum. Numerus quidem dupliciter notificatur, formaliter et materialiter: formaliter ut numerus est multitudo ex unitatibus aggregata: materialiter ut numerus est unitates collectæ. Unitas autem est qua unaquæque res una dicitur. Numerorum alius digitus;[3] alius articulus; alius numerus compositus sive mixtus. Digitus quidem dicitur omnis numerus minor denario; articulus vero est omnis numerus qui potest dividi in decem partes æquales, ita quod nihil residuum sit; compositus vero sive mixtus est qui constat ex digito et articulo. Et sciendum est quod omnis numerus inter duos articulos proximos est numerus compositus. Hujus autem artis novem[4] sunt species; scilicet, numeratio, additio, subtractio, mediatio, duplatio, multiplicatio, divisio, progressio, et radicum extractio; et hæc dupliciter in cubicis et quadratis; inter quas primo de numeratione et postea de aliis per ordinem dicetur.
Est autem numeratio cujuslibet numeri per figuras competentes artificialis representatio. Figura vero differentia locus et limes idem supponunt, sed diversis rationibus imponuntur. Figura dicitur quantum ad lineæ pertractionem. Differentia vero quantum per illam ostenditur qualiter figura precedens differat a subsequenti. Locus vero dicitur ratione spatii in quo scribitur. Limes[5] quia est via ordinata ad cujuslibet muneri representationem. Juxta igitur novem limites inveniantur novem figuræ, novem digitos representantes; quæ tales sunt, 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1. Decima figura dicitur theta,[6] vel circulus, vel cifra,[7] vel figura nihili quia nihil significat, sed locum tenens dat aliis significare: nam sine cifra vel cifris purus non potest scribi articulus. Cum igitur per has novem figuras significativas adjunctas quandoque cifræ quandoque cifris contingat quemlibet numerum representare, non fuit necesse plures invenire figuras significativas. Notandum igitur quod quilibet digitus una sola figura sibi appropriata habet scribi. Omnis vero articulus per cifram primo positam et per figuram digiti a quo denominatur, ille articulus habet representari vel denominari. Quilibet articulus ab aliquo digito denominatur, ut denarius ab unitate, vigenarius a binario, et sic de aliis. Omnis numerus in eo quod digitus habet poni in prima differentia: omnis articulus in secunda. Omnis vero numerus a decem usque ad centum, ut centenarius excludatur, scribatur duabus figuris; si sit articulus, per cifram primo loco positam et figuram scriptam versus sinistram quæ significat digitum a quo denominatur ille articulus; si sit numerus compositus, scribatur digitus qui est pars illius numeri compositi et sinistretur articulus. Item omnis numerus a centum usque ad mille, ut millenarius excludatur, per tres figuras habet scribi. Item omnis numerus a mille usque ad decem millia, per quatuor figuras habet scribi, et sic deinceps. Notandum quod quælibet figura primo loco posita significat suum digitum: secundo decies suum digitum: tertio centies suum digitum; quarto loco millesies; quinto loco decies millesies; sexto loco centies millesies; septimo loco millesies millesies, et sic usque ad infinitum multiplicando per hæc tria, decem, centum, mille: quæ tamen omnes continentur in hac maxima; quælibet figura in sequenti loco posita decies tantum significat quantum in præcedenti. Item sciendum est quod supra quamlibet figuram loco millenarii positam componenter possunt poni quidam punctus ad denotandum quod tot millenarios debet ultima figura representare, quot fuerunt puncta pertransita. Sinistrorsum autem scribimus in hac arte more Arabum hujus scientiæ inventorum, vel hac ratione ut in legendo, consuetum ordinem observantes numerum majorem proponamus.
Additio[8] est numeri vel numerorum aggregatio, ut videatur summa excrescens. In additione duo ordines figurarum et duo numeri adminus sunt necessarii, numerus cui debet fieri additio, et numerus qui recipit additionem alterius et debet superscribi. Numerus vero addendus est ille qui debet addi ad alium, debet subscribi, et competentius est ut minor numerus subscribatur et majori addatur. Si igitur velis numerum addere numero, scribe numerum cui debet fieri additio in superiori ordine per suas differentias; numerum vero addendum in inferiori ordine per suas differentias, ita quod prima inferioris ordinis sit sub prima superioris ordinis, secunda sub secunda, et sic de aliis. Hoc facto, addatur prima inferioris ordinis primæ superioris ordinis; ex tali ergo additione aut excrescat digitus, aut articulus, aut numerus compositus. Si digitus, loco superioris deletæ scribatur digitus excrescens. Si articulus, loco superioris deletæ scribatur cifra et transferatur digitus a quo denominatur ille articulus versus sinistram partem, et addatur proximæ figuræ sequenti, si sit figura sequens; si nulla, sit figura ponatur in loco vacuo. Si autem contingat quod figura sequens cui debet fieri additio articuli sit cifra, loco illius deletæ scribatur digitus articuli. Si vero contingat quod sit figura nonenarii, et ei debeat fieri additio unitatis; loco illius nonenarii deletae scribatur cifra, et sinistretur articulus ut prius. Si autem excrescat numerus compositus, loco superioris deletæ scribatur digitus, pars illius numeri compositi, et sinistretur articulus ut prius. Hoc facto, addatur secunda secundæ sibi suprapositæ, et fiat ut prius.
Subtractio est, propositis duobus numeris, majoris ad minorem excessus inventio: vel sic, subtractio est numeri a numero ablatio, ut videatur summa excrescens. Minor autem de majori subtrahi potest, vel par de pari; major vero de minori nequaquam. Ille quidem numerus major est qui plures habet figuras, dummodo ultima sit significativa: si vero tot sint unitates in uno quot in alio reliquo, videndum est per ultimas vel penultimas, et sic deinceps. In subtractione vero duo sunt numeri necessarii; scilicet, numerus subtrahendus, et numerus a quo debet fieri subtractio. Numerus subtrahendus debet sibi scribi per suas differentias, ita quod prima sub prima, secunda sub secunda, et sic de aliis. Subtrahe ergo primam figuram inferioris ordinis a figura sibi supraposita, et illa aut erit par, aut major, aut minor. Si par, ea deleta loco ejus ponatur cifra, et hoc propter figuras sequentes ne minus significent. Si major supponatur, tunc deleantur tot unitates quot contineat inferior figura et residuum loco ejus ponatur. Si minor quam, major numerus de minori subtrahi non potest, mutuetur unitas a figura proxima sequente quæ valet decem respectu precedentis figuræ; ab illo ergo denario et a figura a qua debuit fieri subtractio simul junctis subtrahatur figura inferior et residuum ponatur in loco figuræ deletæ. Si vero figura a qua mutuanda est unitas sit unitas, ea deleta loco ejus scribatur cifra ne figuræ sequentes minus significent deinde operare ut prius. Si vero figura a qua mutuanda est unitas sit cifra, accedet ad proximam figuram significativam et ibi mutuat unitate et in redeundo in loco cujuslibet cifræ pertransitæ ponatur figura nonenarii; cum igitur perventum fuerit ad illam figuram de qua intenditur, remanebit tibi denarius ab illo ergo denario, et a figura non potest fieri subtractio simul junctis subtrahatur figura sibi supposita ut prius. Ratio autem quare loco cujuslibet cifræ pertransitæ relinquitur nonenarii figura hæc est. Si autem tertio loco mutuetur unitas illa respectu illius a qua debuit fieri subtractio, valuit centum; sed loco cifræ pertransitæ, relinquitur nonenarius qui valet nonaginta, unde remanet tantum denarius, et eadem erit ratio si a quarto loco vel a quinto vel deinceps mutuetur unitas. Hoc facto, subtrahe secundam inferioris ordinis a sua superiori, et negociandum est ut prius. Sciendum est quod tam in additione quam in subtractione possumus incipere operari a sinistra parte tendendo versus dextram; sed, ut dicebatur, fuit commodius. Si autem probare volueris utrum bene feceris, nec ne figuras quas prius subtraxisti adde superioribus, et concurrent eædem figuræ si recte feceris, quas prius habuisti. Similiter in additione, quum omnes figuras addideris, subtrahas quas prius addidisti et redibunt eædem figuræ quæ prius habuisti, si feceris recte: est
enim subtractio additionis probatio, et converso.[9]Mediatio est numeri propositi medietatis inventio, ut videatur quæ et quanta sit illa medietas. In mediatione autem tantum est unus ordo figurarum et unus numerus necessarius, scilicet, numerus mediandus. Si ergo velis numerum aliquem mediare, scribatur ille numerus per suas differentias et incipe a dextris, scilicet, a prima figura versus dextram tendendo ad sinistram. Prima igitur figura aut erit significativa aut non: si non sit significativa, cifra præmittatur et fiat alterius: si vero fuerit significativa, ergo representabit unitatem aut alium digitum: si unitatem loco ejus deletæ ponatur cifra propter figuras sequentes ne minus significent, et scribatur illa unitas exterius in tabula, vel resolvatur illa unitas in sexaginta minuta, et medietas illorum sexaginta abjiciatur et reliqua medietas reservetur exterius in tabula, vel scribatur figura dimidii: sciendum tum quod nullum ordinis locum obtineat aliquod, tamen significat quod medietas duplata in suum locum recipiatur in duplatione. Si autem prima figura significet alium digitum ab unitate, ille numerus aut erit par aut impar. Si par, loco ejus deletæ scribatur medietas illius numeri paris. Si impar, sume
numerum proximum parem sub illo contentum, et medietatem ejus pone in loco illius imparis deleti; de unitate autem quæ remanet medianda, fac ut prius. Hoc facto, medianda est secunda figura et negocianda est ut prius, si cifra prætermittatur intacta. Si autem figura sit significativa, aut par aut impar erit: si par, loco ejus deletæ scribatur ejus medietas; si impar, aut erit unitas aut alius digitus numerum imparem representans. Si unitas, loco ejus deletæ scribatur cifra. Illa autem unitas cum valet decem respectu figuræ prioris de illis decem sumatur medietas: quinarius et addatur figuræ præcedenti. Si vero fuerit alius digitus numerum imparem representans, sume proximum parem sub illo contentum, et medietas ejus loco illius imparis deletæ ponatur: unitas autem quæ remanet medianda valet decem respectu figuræ præcedentis: dividatur ergo ille denarius in duos quinarios, et unus illorum abjiciatur, et reliquus addatur figuræ præcedenti ut prius. Si autem cifra fuerit cui debet addi quinarius, deleatur cifra, et loco ejus scribatur quinarius, et sic operandum est donec totus numerus mediatur qui scriptus fuerit.
Duplatio est numeri propositi ad seipsum aggregatio, ut videatur summa excrescens. In duplatione tantum unus ordo figurarum est necessarius. In tribus speciebus precedentibus inchoamus a dextra et a figura minori; in hac autem specie et in omnibus sequentibus inchoamus a sinistra et a figura majori: unde versus—
Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis;
A leva dupla, divide, multiplicaque:
Extrahe radicem semper sub parte sinistra.[10]
Si enim velis incipere duplare a prima figura, continget idem bis duplare. Et licet aliquo modo possumus operari incipiendo a dextris, tum difficilior erit operatio et doctrina. Si igitur velis aliquem numerum duplare, scribatur ille numerus per suas differentias, et dupletur ultima figura. Ex illa igitur duplatione aut excrescit digitus, aut articulus, aut numerus compositus. Si digitus, loco illius deletæ scribatur digitus excrescens. Si articulus, loco illius deletæ scribatur cifra, et transferatur articulus, versus sinistram. Si numerus compositus, loco illius deletæ scribatur digitus qui est pars illius compositi et sinistretur articulus. Hoc facto, duplanda est ultima figura, et quicquid excreverit negociandum est, ut prius. Si vero occurrerit cifra, relinquenda est intacta. Sed si aliquis numerus cifræ debeat loco illius deletæ scribatur numerus addendus, eodem modo negociandum est ut prius de omnibus: probatio hujus talis est: si recte mediaveris, dupla et occurrent eædem figuræ quas prius habuisti. Est enim duplatio mediationis probatio et converso.
Multiplicatio est numeri per se vel per alium, propositis duobus numeris, est tertii inventio qui contineat alterum illorum quot continentur unitates in reliquo. In multiplicatione duo sunt numeri necessarii, scilicet, numerus multiplicandus et numerus multiplicans. Numerus multiplicans adverbialiter nuncupatur. Numerus vero multiplicandus nominalem recipit appellationem: potest et jam tertius numerus assignari qui productus dicitur, perveniens ex ductione unius in alterum. Notandum est quod de multiplicante potest fieri multiplicandus et econverso, manente semper eadem summa, omnis numerus in seipso convertitur multiplicando. Sunt autem sex regulæ multiplicationis, quarum prima talis est: quinam digitus multiplicat digitum, subtrahendus est minor digitus ab articulo suæ denominationis per differentiam majoris digiti ad denarium, denario simul computato. Verbi gratia, si vis scire quot sunt quater in octo, vide quot sunt unitates intra octo et decem, denario simul computato, et patet quot sunt duo: subtrahatur ergo quaternarius a quadraginta bis et remanent 32, et hæc est summa totius multiplicationis. Similiter quando digitus multiplicat seipsum. Quando autem digitus multiplicat numerum compositum, ducendus est digitus in utramque partem numeri compositi, ita quod digitus in digitum per primam regulam, et digitus in articulum per secundam regulam; postea producta conjungantur simul, et erit summa totius multiplicationis. Quando articulus multiplicat articulum, ducendus est digitus a quo denominatur ille articulus in digitum a quo denominatur reliquus. Quando articulus multiplicat numerum compositum, ducendus est digitus articuli in utramque partem numeri compositi ; conjungantur producta, et patebit summa totius. Quando numerus compositus multiplicat numerum compositum, ducenda est utraque pars numeri multiplicantis in utramque partem numeri multiplicandi et sic ducetur digitus bis, quia semel in digitum et semel in articulum. Articulus similiter bis, quia semel in digitum et iterum in articulum: hic tamen ubique articulus non ad principales extenditur articulos. Si igitur velis aliquem numerum vel per se vel per alium multiplicare, scribe numerum multiplicandum in superiori ordine per suas differentias, numerum vero multiplicantem in inferiori per suas differentias, ita tamen quod prima figura inferioris ordinis sit sub ultima superioris. Hoc facto, ducenda est ultima multiplicantis in ultimam multiplicandi. Ex illo igitur ductu aut excrescit digitus, aut articulus, aut numerus compositus. Si articulus, ex directo figuræ multiplicantis scribatur cifra, et transferatur articulus versus sinistram. Si digitus, ex directo super positionem figuræ multiplicantis scribatur digitus excrescens. Si numerus compositus, ex directo figuræ multiplicantis scribatur digitus illius numeri compositi, et sinistretur articulus, ut prius. Hoc autem facto, ducenda est ultima numeri multiplicantis in ultimam multiplicandi, et quicquid inde excreverit, negociandum est, ut prius; et sic fiat de omnibus aliis numeri multiplicantis, donec perveniatur ad primam multiplicantis, quæ ducenda est in ultimam multiplicandi, et ex illo ductu aut excrescit digitus, aut articulus, aut numerus compositus Si digitus, loco superioris deletæ scribatur digitus excrescens; si articulus, loco superioris deletæ scribatur cifra et sinistretur articulus: si numerus compositus, loco superioris deletæ scribatur digitus qui est pars illius numeri compositi et sinistretur articulus, ut prius. Hoc autem facto, anteriorandæ sunt figuræ numeri multiplicantis per unam differentiam, ita quod prima multiplicantis sit sub penultima multiplicandi, reliquis similiter per unum locum anterioratis. Quo facto, ducenda est figura ultima multiplicantis in illam figuram sub qua est prima figura multiplicantis, et ex illo autem ductu aut excrescit digitus, aut articulus, aut numerus compositus. Si digitus, ex directo figuræ suprapositæ addatur: si articulus, transferatur versus sinistram et figura directi supraposita relinquatur intacta; si numerus compositus, addatur digitus suprapositæ figuræ et sinistretur articulus. Similiter quælibet figura numeri multiplicantis in penultimam multiplicandi donec perveniatur ad primum multiplicantis, ubi operandum est ut prius, vel quemadmodum determinatur de primis; deinde anteriorandæ sunt figuræ per unicam differentiam, ut prius. Nec cessandus est a tali anterioratione nec a tali ductu. Quovis quælibet figura numeri multiplicantis ducatur in quamlibet figuram numeri multiplicandi. Si autem contingat quod prima figura numeri multiplicantis sit cifra et ei supponatur figura significativa, loco illius superioris deletæ scribenda est cifra. Si autem contingat quod cifra sit inter primam figuram et ultimam multiplicandi, anteriorandus est ordo figurarum per duas differentias, quamvis ex ductione alicujus figuræ in cifram nihil resultat. Ex perdictis ergo patet quod si prima figura numeri multiplicandi sit cifra, sub ea non debet fieri anterioratio. Sciendum autem quod in multiplicatione et divisione et radicum extractione competenter potest relinqui spacium vacuum inter duos ordines figurarum, ut ibi scribatur, quod pervenit addendum aut subtrahendum ne
aliquid memoriæ intercidatur.[11]Divisio[12] numeri per numerum est, propositis duobus numeris, majorem in tot partes distribuere quot sunt unitates in minori. Notandum ergo quod in divisione, tres numeri sunt necessarii; scilicet, numerus dividendus; numerus dividens, sive divisor; et numerus denotans quotiens. Numerus autem dividendus semper debet esse major, vel saltem par divisori, si debeat fieri divisio per integra. Si velis igitur aliquem numerum per alium dividere, scribe numerum dividendum in superiori ordine per suas differentias, divisorem vero in inferiori ordine per suas differentias, ita quod ultima divisoris sit sub ultima dividendi, penultima sub penultima, et sic de aliis, si competenter fieri possit. Sunt autem duæ causæ quare ultima sub ultima inferioris ordinis non possit collocari, quia aut ultima inferioris ordinis non possit subtrahi ab ultima superioris quod est minor inferiori, aut quæ licet ultima superioris possit subtrahi a sua superiori: reliquo tamen non possunt subtrahi a figuris sibi suprapositis, si ultima inferioris sit par figuræ suprapositæ. His itaque ordinatis, incipiendum est operari ab ultima figura numeri divisoris, et videndus est quotiens, possit illa subtrahi a figura sibi supraposita, et reliquæ a residuo sibi supraposito, si aliquid fuerit residuum. Viso ergo quotiens, figuræ inferioris ordinis possint subtrahi a suis superioribus, scribendus est numerus denotans quotiens ex directo supraposito illius figuræ sub qua est prima figura numeri divisoris, et per illam dividendæ sunt omnes figuræ inferioris ordinis a suis superioribus. Si autem contingat post anteriorationem quod non quotiens, possit subtrahi ultima figura divisoris a figura sibi supraposita super figuram sub qua est prima divisoris, recte scribenda est cifra in ordine numeri denotantis quotiens, et anteriorandæ sunt figuræ, ut prius; similiter faciendum est ubicunque contingit in numero dividendo quod divisor non possit subtrahi a numero dividendo, ponenda est cifra in ordine numeri denotantis quotiens et anteriorandæ sunt figuræ, ut prius: nec cessandum est a ductu numeri denotantis quotiens in divisorem, nec a ductu divisoris subtrahendæ donec prima divisoris sit subtracta a prima dividendi: quo facto, aut aliquid erit residuum aut nihil: si aliquid sit residuum, reservetur exterius et scribatur in tabula et erit semper unius divisoris. Cum igitur facta fuerit talis divisio, et probare volueris utrum benefeceris, multiplica numerum denotantem quotiens per divisorem et redibunt eædem figuræ quas prius habuisti, si nihil fuerit residuum; sed si aliquid fuerit residuum, tunc cum additione residui redibunt eædem figuræ quas prius habuisti; et ita probat multiplicatio divisionem, et econtrario. Sed si facta multiplicatione, dividatur productum per multiplicantem, exibunt in numero denotante quotiens figuræ numeri multiplicandi.
Progressio est numerorum secundum æquales excessus ab unitate vel binario sumptorum aggregatio ut universorum summa compendiose habeatur. Progressionum alia naturalis sive continua, alia intercisa sive discontinua. Naturalis est quando incipitur ab unitate et non omittitur in accensu aliquis numerus, ut 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . et cætera; et sic numerus sequens superat numerum precedentem unitate. Intercisa est quando omittitur numerus aliquis, ut 1 . 3 . 5 . 7 . 9 . et cætera. Similiter a binario possunt incipi, ut 2 . 4 . 6 . 8 . et sic numerus sequens superat precedentem numerum in duobus unitatibus. Notandum quod progressionis naturalis duæ sunt regulæ, quarum prima est talis; quando progressio naturalis terminatur in numerum parem, per medietatem ipsius multiplica numerum proximum totali superiorem; verbi gratia, 1 . 2 . 3 . 4 . multiplica quinarium per binarium, et exibunt decem, summa totius progressionis. Secunda regula talis est; quando progressio naturalis terminatur in numerum imparem, sume majorem partem illius imparis et per illam multiplica totalem numerum; verbi gratia, 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . multiplica quinarium per ipsum trinarium, et resultabunt quidenarius, summa totius progressionis. Similiter de progressione intercisa duæ dantur regulæ, quarum prima talis est; quando progressio intercisa terminatur in numerum parem, per medietatem illius multiplica numerum proximum medietati superiorem, ut, 2 . 4 . 6 . multiplica quaternariem per ternarium, et resultabunt duodecim, summa totius progressionis. Secunda regula talis est; quando progressio intercisa terminatur in numerum imparem, multiplica majorem portionem per se ipsam; verbi gratia, 1 . 3 . 5 . multiplica ternarium per se et exibit nonenarius, summa totius progressionis.
Sequitur de radicum extractione, et primo in quadratis: unde videndum est qui sit numerus quadratus et quæ sit radix numeri, et quid sit radicem ejus extrahere. Primo notandum tamen est hæc divisio; numerorum alius linearis, alius artificialis, alius solidus. Numerus linearis est qui consideratur tamen penes processum, non habito respectu ad ductionem numeri in numerum, et dicitur linearis, quia unicum tantum habet numerum, sicut linea unicam habet dimensionem, longitudinem sine latitudine. Numerus superficialis est qui resultat ex ductu numeri in numerum, et dicitur superficialis quia habet duos numeros denotantes sive mensurantes ipsum, sicut superficies duas habet divisiones; scilicet, longitudinem et latitudinem. Sed sciendum est qui dupliciter potest numerus duci in numerum aut semel aut bis: si numerus semel ducatur in numerum hoc erit in seipsum vel in alium. Sciendum quod si ducatur in se semel, fit numerus quadratus, qui, diversum scriptus per unitates, habet quatuor latera æqualia admodum quadranguli. Si ducatur in alium, fit numerus superficialis et non quadratus, ut binarius ductus in ternarium constituit senarium, numerum superficialem, et non quadratum; unde patet quod omnis numerus quadratus est superficialis et non convertitur. Radix autem numeri quadrati est ille numerus qui ita ducitur in se, ut bis duo sunt quatuor. Quaternarius igitur est primus numerus quadratus, et binarius est ejus radix. Si autem numerus bis ducatur in numerum, facit numerum solidum, ut dicitur, sicut solidus corpus tres habet dimensiones; scilicet, longitudinem et latitudinem et spissitudinem. Ita numerus iste tres habet numeros ducentes in se. Sed numerus potest bis duci in numerum dupliciter, qui quot in seipsum aut in alium. Si igitur numerus bis ducatur in se vel semel in se et postea in suum quadratum sit numerus cubicus, et dicitur numerus cubicus ab nomine cubi quod est solidus. Est autem cubus quidam corpus habens sex super ficies, solidos octo angulos, et duodecim latera. Si autem aliquis numerus bis ducatur in alium fit numerus solidus et non cubicus; ut bis tria bis constituerunt duodecim. Unde patet quod omnis numerus cubicus est solidus, sed non convertitur. Ex predictis igitur patet quod idem numerus est radix numeri quadrati et cubici, non tamen illius radicis idem est quadratus et cubicus. Cum igitur ex ductu unitatis in se semel vel bis nihil perveniat nisi unitas, sicut dicit Boetius in arithmetica sua, quod omnis unitas potentialiter est numerus omnis, nullus autem auctus. Notandum autem quod inter quoslibet quadratos proximos continget reperire unicum medium proportionale, quod pervenit ex ductu radicis numeri quadrati in radicem alterius. Item inter quoslibet duos cubicos proximos est reperire dicitur medium proportionale, scilicet, minus medium et majus. Minus medium pervenit ex ductu radicis majoris cubici in quadratum minoris. Majus medium est, si ducatur radix minoris cubici in quadratum majoris. Cum igitur ultra summam numerorum solidorum in arte præsenti, non fiat processus, autem quatuor limites numerorum distinguuntur: est enim limes numerorum ejusdem naturæ extremis contentorum terminis, continua ordinatio; unde primus limes est novem digitorum continua progressio. Secundus novem articulorum principalium est tertius centenariorum. Quartus novem millenariorum tres limites et resultant incomposites per digitorum appositionem super quam cubum articulorum trium predictorum, ut si alter alteri proponatur. Sed per finalis termini rationem ex millenariorum receptione super se semel per modum quadratorum, aut bis per modum solidorum, resultat penultima et ultimus limes.
Radicem numeri quadrati extrahere est, proposito aliquo numero, radicem quadrati invenire, si numerus propositus quadratus fuerit. Si numerus vero non fuerit quadratus, tunc radicem extrahere est maximi quadrati sub numero proposito contenti invenire. Si velis igitur radicem alicujus numeri quadrati extrahere, scribe numerum illum per suas differentias, et computa numerum figurarum, utrum sit par vel impar. Si par, incipiendum est operari sub penultima. Si impar, ab ultima; et, ut breviter dicatur, incipiendum est a figura posita in ultimo loco impari; sub ultima igitur figura in impari loco posita, inveniendus est quidam digitus, qui ductus in se deleat totum sibi suprapositum respectu sui vel inquantum vicinius potest; tali igitur invento, ducto digito et a superiori subtracto, duplandus est ille digitus, et duplatum ponendum est sub proxima superioris versus dextram et ejus duplum sub illo. Quo facto, inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante duplatum, qui ductus in duplatum deleat totum suprapositum respectu duplati; deinde ductus in se deleat totum suprapositum respectu sui vel inquantum vicinius potest: vel potest ita subtrahi digitus ultimo inventus ut ducatur in duplatum vel duplata et postea in se; deinde illa duo producta simul addantur, ita quod prima figura ultimi producti ponatur ante primam primi producti et superiora addatur primæ, et sic de aliis, et subtrahatur simul a totali numero respectu digiti inventi. Si autem contingit quod non possit aliquis digitus inveniri post anteriorationem, ponenda est cifra sub tertia figura versus dextram, et anteriorandum est primum duplatum cum suo subduplo: non cessandum est a talis digiti inventione, nec a digiti inventi duplatione, nec a duplatorum anterioratione, nec a subdupli subduplo positione, donec sub prima figura inventus sit quidam digitus, qui ductus in omnes duplatos deleat totum suprapositum respectu sui vel inquantum vicinius potest. Quo facto, aut aliquid erit residuum aut nihil; si nihil constat, quamvis propositus fuerit quadratus et ejus radix est digitus ultimo inventus cum subduplo vel cum subduplis, ita quod proponatur: si vero aliquid fuerit residuum, constat quod numerus propositus non fuerit quadratus. Sed digitus ultimo inventus cum subduplo vel subduplis est radix maximi quadrati sub numero proposito contenti. Si velis ergo probare utrum beneficeris necne, multiplica digitum ultimo inventum cum subduplo vel cum subduplis per eundem digitum, et redibunt eædem figuræ quas prius habuisti, si non fuerit residuum; sed si aliquid fuerit residuum, tunc cum additione illius redibunt eædem figuræ quas prius habuisti.
Sequitur de radicum extractione in cubicis: videndum est quid sit numerus cubicus et quæ sit radix ejus, et quid sit radicem cubicam extrahere. Est igitur numerus cubicus, sicut patet ex predictis, qui pervenit ex ductu alicujus numeri bis in se vel semel in suum quadratum: radix numeri cubici est ille numerus qui ita ducitur bis in se vel semel in suum quadratum. Unde patet quod numerus cubicus et quadratus eandem habuit radicem sicut supra dictum est. Radicem autem cubicam extrahere est numeri propositi radicem invenire cubicam, si numerus propositus sit cubicus: si vero non sit cubicus, tunc radicem cubicam extrahere est maximi cubici sub numero proposito contenti radicem cubicam invenire. Proposito igitur aliquo numero, cujus radicem velis extrahere cubicam; primo computandæ sunt figuræ per quartas vel sub loco ultimo millenarii inveniendus est quidam digitus qui ductus in se deleat totum suprapositum respectu sui vel inquantum vicinius potest. Quo facto, triplandus est ille digitus et triplatum ponendum est sub proxima figura tertia versus dextram et ejus subtriplum sub subtriplo. Deinde inveniendus est quidam digitus sub proxima figura ante triplatum, qui cum subtriplo ductus in triplatum, deinde cum subtriplo ductus in productum deleat totum suprapositum respectu triplati. Deinde ductus in se deleat totum suprapositum respectu sui vel inquantum vicinius potest: hoc facto, triplandus est ille digitus iterum et ponendum est triplatum sub tertia figura ut prius, et ejus triplatum sub eo; postea anteriorandum est primum triplatum cum subtriplo per duas differentias. Deinde inveniendus est quidam digitus ante triplatus sub proxima figura, qui cum subtriplis ductus in triplata et postea sine subtriplis ductus in productum deleat totum suprapositum respectu sui vel inquantum vicinius potest. Nec cessandum est a talis digiti inventione, nec a digiti inventi triplatione, nec a triplatorum anterioratione per suas differentias, nec a subtripli subtriplo positione, nec a tali multiplicatione, nec a subtractione, donec perventum fuerit ad primam figuram sub qua inveniendus est quidam digitus qui cum subtriplis ductus in triplata, deinde sine subtriplis ductus in productum deleat totum suprapositum respectu sui vel inquantum vicinius potest. Notandum est quod productum perveniens ex ductu digiti inventi in se possunt addi et similiter simul contrahi a tali numero supraposito in respectu digiti inventi: hoc facto, aut aliquid erit residuum aut nihil: si nihil, constat quod numerus propositus fuit cubicus, et ejus radix est digitus ultimo inventus propositus cum subtriplis vel subtriplo, quæ radix si ducatur in se et postea in productum erunt eædem figuræ quas prius habuisti. Si vero fuerit residuum, reservetur idem exterius in tabula, et constat quod ille numerus non fuit cubicus. Sed digitus ultimo inventus cum subtriplo vel subtriplis est radix maximi cubici sibi numero proposito contenti, quæ radix si ducatur in se et postea in productum est maximus cubicus sub numero proposito contentus, et si illo cubico addatur residuum in tabula, erunt eædem figuræ quæ prius fuerunt. Si autem aliquis digitus post anteriorationem, non inveniri possit, tunc ponenda est cifra sub quarta figura versus dextram et anteriorandæ sunt figuræ ut prius. Notandum est, et quod si in numero proposito non est aliquis locus millenarii, incipiendum est operari sub prima figura. De extractione radicum dicta sufficiant.
- ↑ "Omnia quæcunque a primæva rerum natura constructa sunt, numerorum videntur ratione formata."—Boetii Arith. lib. i. cap. 2, Edit. Par. 1521, fol. 8. Vid. Hen. Welpii Arith. Practica, 4to. Colon. 1543. Enchiridion Algorismi per Joannem Huswirt, 4to. Colon. 1501. Licht de Algorismo, 4to. Leip. 1500.
- ↑ "Rex quondam Castelliæ." Johannis Norfolk progressionis summula, MS. Harl. Mus. Brit. 3742. “Cum hæc scientia de numeris quæ algorismus ab inventore vel ab Algo, quæ est inductio et rismus, quæ est numerus quasi inductio in numeros appellatur.”—Tractatus de Algorismo, MS. Arundel. M.B. 332, fol. 68. Vid. Pref. a "Œuvre tresubtille et profitable de Arithmetique et Geom." 4to. Par. 1515, Sig. B. 2.
- ↑ “Digitus est omnis numerus minor decem. Articulus est omnis numerus qui digitum decuplat, aut digiti decuplum, aut decupli decuplum, et sic in infinitum. Separantur autem digiti et articuli in limites. Limes est collectio numerorum, qui aut digiti sunt, aut digitorum æquæmultiplices, quilibet sui relativi. Limes itaque primus digitorum, secundus primorum articulorum. Tertius est secundorum articulorum. Et sic in infinitum. Numerus compositus est qui constat ex numeris diversorum limitum. Item numerus compositus est qui pluribus figuris significativis representatur.”—Algorismus demonstratus Regiomontani, edit. 1534, Sig. A. iv.
- ↑ Prodocimus de Beldemando de Padua facit idem divisionem, sed Lucas Paciolus de Burgo Sancti Sepulchri omittit duplationem et mediationem. Vid. Wallisii Opera, tom. iii. Art. Alg.
- ↑ “Numerorum diversi sunt limites. Primus enim limes restat ab unitate usque ad denarium; a denario in centenarium: a centenario in millenarium: et sic per decuplum. Secundus limes a binario usque ad vigenarium: a vigenario usque ad ducenta; a ducentis usque ad duo millia. Similiter et cæteri per cæteros digitos sumuntur. Sunt autem tot limites quot digiti.”—MS. de Algorismo, Bib. Trin. Col. Cant. Gal. Collect. O 2. 45, fol. 37.
- ↑ In multis MSS. teca et theca.
- ↑ Vid. Noviomagus de Numeris, 12mo. Par. 1539, p. 40. Vossius de Scien. Math. et Wallisii Algebra, Angl. edit. p. 9.
- ↑ “Additio est numeri ad numerum aggregatio, ut videatur summa excrescens: vel aliter: additio est duorum numerorum tertii inventio qui ambos contineat. In additione duo sunt ordines et duo numeri sunt necessarii; scilicet, numerus addendus et numerus cui debet fieri additio.”—MS. de Arithmetica, Mus. Brit. Arundel. 332, fol. 68, b.
- ↑ “Una species probat aliam; si itaque volueris explorare veritatem calculi in additione, subtrahe partes conjungendas ab aggregato: sique nihil remanet, vera est operatio. E contra vero, in subtractione exploraturus calculum, adde relictum ad numerum subtrahendum, cumque redit is, a quo subtractio facta est, justa est operatio.“—Winshemii Compendium Logisticæ Astronomicæ, 12mo. 1563, Sig. B. 3.
- ↑ In Dionysii algorismo. MS. Bib. Reg. Mus. Brit. 8. c. iv. Vide Arithmeticæ Brevis Introductio, per A. Lonicerum, 12mo. Francof. 1551:
“Addas, subducas a dextris multiplicesque;
Dividit ac mediat deinde sinistra manus.”
Vide Cirveli Algorismus, 4to. Par. 1513. Buclæi Arith. Memor. 12mo. Cantab. 1613; et Arithmetica Speculativa Bravardini, 4to. Par. 1500. - ↑ Vid. Piscatoris Compendium Arithmeticæ, 12mo. Lips. 1592. Ursini Systema Arithmeticæ, 12mo. Colon. 1619. Frisii Arith. Pract. Methodus facilis, 12mo. Colon. 1592. Tonstallus de Arte Supputandi, 4to. Lond. 1522.
- ↑ “Numeratio conjuncta, est multiplicatio aut divisio: multiplicatio est, qua multiplicandus toties addatur, quoties unitas in multiplicante continetur, et habetur factus: divisio est, qua divisor subducitur a dividendo quoties in eo continetur, et habetur quoties.” — Rami Arithmetica, Edit. 1581, pp. 11 et 14.
- ↑ “Progressio est numerorum æqualiter distantium in unam summam collectio. Progressio arithmetica continua sive naturalis est ubi post primum characterem nullus intermittitur. Progressio arithmetica discontinua sive intercisa, est figuris æqualiter interceptis numerorum ordo.” Hudaldrichus de Arithmetica, 12mo. Frid. 1550, p. 70. Vid. Glareanus de Algorismo, 12mo. Par. 1558, p. 20.