Migne Patrologia Latina Tomus 90
De ratione calculi (Auctor incertus (Beda?)), J. P. Migne
PRAEFATIO.
(0677A)Unitas illa, unde omnis multitudo numerorum procedit, quae proprie ad arithmeticam disciplinam pertinet, quia vere simplex est, et nulla partium congregatione subsistit, nullam utique recipit sectionem. De caeteris vero rebus, licet aliquid tale sit, ut propter integritatem ac soliditatem suam unitatis meruerit vocabulo nuncupari; tamen quod compositum est, divisioni necessario subjacebit. Nihil enim in tota rerum natura, praeter memoratam numerorum unitatem, nisi unum inveniri potest, quod non ulla omnino valeat divisione distribui. Quod ideo fit quia non simplicitate, sed compositione subsistit. Dicitur enim: Unus homo, unus equus, unus dies, una hora, unus nummus, unum templum, et alia hujusmodi innumerabilia; quae licet unitatis sint sortita vocabulum, tamen pro causae atque rationis necessitate dividuntur. Ad hujus divisionis compendium tale calculandi argumentum antiqui commenti sunt, ut omnis integritas dividenda rationabili per (0677B)illud possit partitione secari, sive id corpus, sive res incorporea sit, quod dividendum proponitur. In hoc argumento unitas assis vocatur, cujus partes juxta proportionalitatem suam propriis sunt definitae vocabulis: notis etiam ad hoc excogitatis, per quas eadem vocabula exprimantur, ut per discretionem nominum et notas nominibus affixas, uniuscujusque particulae notio facilius advertatur.
(0678A)De asse et partibus ejus.
Et assis quidem, qui per I litteram, sicut in numeris unum scribi solet, exprimitur, duodecim partes habet; quarum si unam detraxeris, reliquae undecim partes labus dicuntur. Illa vero quam detraxisti, id est duodecima, uncia vocatur.
Si duas sustuleris, decem residuae appellantur dextans, et quod sustulisti, id est duae, sextans nominatur.
At si tres dempseris, novem quae remanserunt dodrans nuncupantur, et tres demptae quadrans vocantur.
Quod si quatuor tollere velis, octo reliquas bissem, vel bessem; et quatuor, trientem nominabis.
Quinque vero sublatis, septem residuas septuncem; et quinque sublatas, quincuncem, vel quinquncem placuit appellari.
Cum vero per medium fuerit facta divisio, utrumque dimidium senis partibus constans, semissem (0678B)vocitarunt.
Unciam autem et dimidiam, sescunciam vel sesqunciam, aut sesquiunciam nuncuparunt.
Postremo, unciae dimidium, semunciam appellarunt.
Jam reliquae minutiae, quarum congestione dimidium unciae conficitur, ut sunt sicilici, sextulae, et caetera, melius ex ipsius calculi inspectione cognoscuntur.
MODUS CALCULI. (0677) (0677C)Incipit autem idem calculus a mille, et usque ad quinquaginta millia progreditur.
Sed primo per duplicationem, postea per triplicationem, deinde per caeteras multiplicationes incrementa capiens, tanta numerositate concrescit, ut usque ad infinitum quantitatis ejus summa perveniat.
Scribitur vero lineis a superiori parte in inferiorem descendentibus, superius millium summas ex multiplicatione venientes, inferius divisionum minutias lineis continentibus, a quibus tamen in legendo principium est faciendum: et sic sursum versus eumdem, quousque ad millium summam, quae ex illa multiplicatione paulatim accrescit, legendo veniatur.
Incipiendumque a dimidia sextula per duplicationem usque ad II, id est duo millia.
Inde iterum per triplicationem, a dimidia sextula usque ad III, hoc est tria millia.
Tum a dimidia sextula per quadruplicationem usque ad IIII, scilicet quatuor millia.
Et sic deinceps usque ad finem.
(0678C)De numerorum consonantia.
Finales ergo sunt lichanos hypaton, hypate meson, parhypate meson, hircanos meson. Omnis ergo pars et subjugalis ejus, id est primi ac secundi, tota melodia lichanos hypaton auctore regitur et finitur. Secundi vero et subjugalis ejus, id est tertii ac quarti, hypate meson regitur et finitur. Tertii cum suo subjugali, id est quinti ac sexti, parhypate meson regitur ac finitur. Quarti cum suo subjugali, id est septimi ac octavi, lichanos meson regitur ac finitur. Et haec est regula inchoandi ad quodlibet medium, ut nec supra quintum superiorem locum, nec infra quintum inferiorem aliquando incipiant: sed inter eas octo voces, vel aliquando novem, initia sua cohibeant.
Notandum vero est quod quinto semper loco superioribus cum inferioribus finalibus quaedam talis est concordia, ut aliqu., etc. . . . . ( Reliquum desideratur. ) (0677)Dupli. Tripli. Quadrupli. Quincupli. Sexcupli. Septupli. Octupli. Nonecupli. Decupli. Undecupli. Duodecupli. Tredecupli. Quadrecupli. Quindecupli. Sedecupli. 2000 1000 3000 1000 4000 1000 5000 1000 6000 1000 7000 1000 8000 1000 9000 1000 10000 1000 11000 1000 12000 1000 13000 1000 14000 1000 15000 1000 16000 1000 1800 900 2700 900 3600 900 4500 900 6400 900 6300 900 7200 900 8100 900 9000 900 9900 900 10800 900 11700 900 12600 900 13500 900 14400 900 1600 800 2400 800 3200 800 4000 800 4800 800 5800 800 6400 800 7200 800 8000 800 8800 800 9600 800 10400 800 11200 800 12000 800 12800 800 1400 700 2100 700 2800 700 3500 700 4200 700 4900 700 5600 700 6300 700 7000 700 7700 700 8400 700 9100 700 9800 700 10500 700 11200 700 1200 600 1800 600 2400 600 3000 600 3600 600 4200 600 4800 600 5400 600 6000 600 6600 600 7200 600 7800 600 8400 600 9000 600 9600 600 1000 500 1500 500 2000 500 2500 500 3000 500 3500 500 4000 500 4500 500 5000 500 5500 500 6000 500 6500 500 7000 500 7500 500 8000 500 800 400 1200 400 1600 400 2000 400 2400 400 2800 400 3200 400 3600 400 4000 400 4400 400 4800 400 7000 400 5600 400 5000 400 6400 400 600 300 900 300 1200 300 1500 300 1800 300 2200 300 2400 300 2700 300 3000 300 3300 300 3600 300 4900 300 4200 300 4500 300 4800 300 400 200 600 200 800 200 1000 200 1200 200 1400 200 1600 200 1800 200 2000 200 2200 200 2400 200 3700 200 2800 200 3000 200 3200 200 200 100 300 100 400 100 500 100 600 100 700 100 800 100 900 100 1000 100 1100 100 1200 100 2300 100 1400 100 1500 100 1600 100 180 90 270 90 360 90 450 90 540 90 630 90 720 90 810 90 900 90 990 90 1080 90 1170 90 1260 90 1350 90 1410 90 160 80 240 80 320 80 400 80 480 80 560 80 640 80 720 80 800 80 880 80 960 80 1040 80 1120 80 1200 80 1280 80 140 70 210 70 280 70 350 70 420 70 490 70 560 70 630 70 700 70 770 70 840 70 910 70 9080 70 1050 70 1120 70 120 60 180 60 240 60 300 60 360 60 420 60 480 60 540 60 600 60 660 60 720 60 780 60 8060 60 900 60 960 60 100 50 150 50 200 50 250 50 300 50 350 50 400 50 450 50 500 50 550 50 600 50 650 50 700 50 750 50 800 50 80 40 120 40 160 40 200 40 240 40 280 40 320 40 360 40 400 40 440 40 480 40 520 40 560 40 600 40 640 40 60 30 90 30 120 30 150 30 180 30 210 30 240 30 270 30 300 30 330 30 360 30 390 30 420 30 450 30 480 30 40 20 60 20 80 20 100 20 120 20 140 20 160 20 180 20 200 20 220 20 240 20 260 20 280 20 300 20 320 20 20 10 30 10 40 10 50 10 60 10 70 10 80 10 90 10 100 10 110 10 120 10 130 10 140 10 150 10 160 10 18 9 27 9 36 9 45 9 54 9 63 9 72 9 81 9 90 9 99 9 108 9 110 9 126 9 135 9 144 9 16 8 24 8 32 8 40 8 47 8 56 8 64 8 72 8 80 8 88 8 96 8 104 8 112 8 120 8 128 8 14 7 21 7 28 7 35 7 42 7 49 7 56 7 63 7 70 7 77 7 84 7 91 7 98 7 105 7 112 7 12 6 18 6 24 6 30 6 36 6 42 6 48 6 54 6 60 6 66 6 72 6 78 6 84 6 95 6 96 6 10 5 15 5 20 5 25 5 30 5 35 5 40 5 45 5 50 5 55 5 60 5 65 5 70 5 75 5 80 5 8 4 12 4 16 4 20 4 24 4 28 4 32 4 36 4 40 4 44 4 48 4 52 4 56 4 60 4 64 4 6 3 9 3 12 3 15 3 18 3 21 3 24 3 27 3 30 3 33 3 36 3 39 3 42 3 45 3 48 3 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 14 2 16 2 18 2 20 2 22 2 24 2 26 2 28 2 30 2 32 2 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 1 13 1 14 1 15 1 16 1(0679) (n