§ 1. Quod de figura quae nominatur sector dixisti et quod de ea quaesivisti et de ipsius esse, intellexi. Nullam autem geometricarum scio figurarum cum qua in stellarum operetur scientia, in qua maior hominum sit labor quam in figura hac, neque quae ipsa sit famosior. Causa vero studii eorum in ipsa est illud, quod scimus de multitudine utilitatis eius et vehementi necessitate ipsius in scientia sperae, et quod ipsa est radix super quam currit res in pluribus operibus scientiae stellarum. Et quamvis praeter Ptholomeum ad hanc alius antecessit figuram et in ea locutus fuit, non tamen plenarie de ea executus est, neque eius complevit demonstrationem aliquis, de quo audivissemus adhuc. Ipse vero non attulit nisi duas tantum intentiones, quae in ipsa reperiuntur de compositione proportionis. Quae sunt: Quoniam quando secuerint se inter duos arcus ab bg duo arcus ad ge super punctum u et fuerint arcus isti circulorum magnorum arcus qui cadunt in spera, et fuerit unusquisque illorum arcuum minor semicirculo, erit proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus dg ad cordam dupli arcus gb. Et erit etiam proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus be composita ex proportione cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam dupli arcus ge.
§ 2. Sunt autem hic intentiones aliae oportunae et necessariae in compositione proportionum cordarum duplorum arcuum qui sunt in hac figura secundum multos alios modos praeter has duas intentiones. Non est enim horum arcuum aliquis cuius dupli cordae proportio ad cordam dupli comparis sui non componatur ex duabus proportionibus, id est ex proportionibus cordarum duplorum arcuum reliquorum exceptis paucis eorum et si ab eis elongentur. Proportio namque cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus dg, nedum aliorum, est composita ex proportionibus cordarum duplorum arcuum reliquorum; et unaquaeque harum proportionum quae secundum aliquem modum componitur, ipsamet componitur secundum modos alios. Quod autem intendimus est distinctio illius et ostensio per modos communes illi et reliquis eorum quae sunt similes ex re compositionis proportionis et conveniunt ad exponendum in hac scientia.
Distinctio autem harum rerum et earum allatio [vel comprehensio] non fuit Ptholomeo necessaria neque alicui surgenti secundum eius sententiam [i. e. volenti tueri eius sententiam], quoniam non promisit illud exponere, vero id quod est necessarium in demonstratione duarum intentionum quarum intendit explanationem, et est necessarium illi qui secundum eius vult sententiam surgere.
Ipse enim non attulit nisi unam de divisionibus demonstrationis harum duarum intentionum, reliquas vero divisiones ipsius dimisit, confidens quod qui legeret illud et intelligeret, posset sequi ipsius exemplum in reliquis divisionibus et inveniret eius demonstrationem. Et res quidem istae expositoribus libri huius ipsius necessariae fuerunt; ego vero iam exposui illud colloquendo ad eum qui a me quaesivit eius expositionem, sed non affirmavi neque eius divisiones in libro ostendi. Verum tamen quidam nostrorum sociorum, propterea quod scivit illud et intellexit, affirmavit sibi et comprehendit omnia huius figurae accidentia quae contingunt in ea, et divisiones eius per quas dividitur secundum duos modos, scilicet dissolutionis et compositionis, quos Ptholomeus demonstrare [vel probare] voluit.
§ 3. Et scivit (id est discupulus), quod accidunt ei secundum modum dissolutionis tres divisiones et secundum modum compositionis viginti septem divisiones, quarum delentur et evanescunt quattuordecim et verificantur reliquae. Et neque completur demonstratio eius quod Ptholomeus probare voluit de hac figura nisi comprehensione scientiae earum et affirmatione probationis cuiusque divisionis earum. Iam autem feci te videre harum divisionum esse, et scivisti eas et intellexisti; et feci te scire, quod hic sunt viae et intentiones aliae communes, quae aggregant has divisiones, plures, sine quibus non completur figurae probatio, et comprehendunt eas in paucis rebus; et ego multociens eas ostendi. Sed tu dicebas ut ostenderem tibi opus per quod ipse illud operatus est. Voluisti ergo scire, si fuerit unum illorum operum per quae operatus sum an non, et si aestimo quod Ptholomeus ad hoc illud opus intendit in eo cuius dimisit probationem de divisionibus harum duarum intentionum quarum praecessit narratio huius figurae, an ad illud. Sed opus quod est unum operum, per quae operatus sum, non aestimo quod Ptholomeus ad hoc intenderit in eo cuius praemisit narrationem de demonstratione figurae. At ad viam primam ex qua dividuntur in duobus modis dissolationis et compositionis triginta divisiones, de quibus perveniunt (?) sedecim divisiones verae. Quod est, quoniam haec via quae aggregat has divisiones in re parva, et est secundum quod narro:
§ 4. Cum secuerint se inter duos arcus ab bg duo arcus ad ge supra punctum u, fuerintque hii arcus ex arcubus circulorum maiorum, qui cadunt in spera, et fuerit unusquisque arcus eorum minor semicirculo: tunc erit proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus dg ad cordam dupli arcus gb. Quod sic probatur: Ponam enim centrum sperae punctum z, et producam lineas zg, zu, ze, et producam duas lineas ab ad, quae secent duas lineas ze, zu super duo puncta h t, et producam lineam ht et lineam bd. Linea igitur bd aut concurret lineae zg cum protrahetur secundum rectitudinem a parte dg aut a parte altera et diversa, aut erunt aequidistantes. Quod si concurrerint a parte dg, ostendetur cum probatione quam narravit Ptholemeus, quod proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus dg ad cordam dupli arcus gb. Quod si concurrerint zg db a parte diversa huic parti, producemus duos arcus gb ge, donec concurrant supra punctum k. Erunt ergo gbk gek duo semicirculi, quoniam hii arcus sunt circulorum maiorum spaerae. Et duae lineae gzk db, cum protrahentur in parte bk, concurrent; et iam secabunt se inter duos arcus ad dk duo arcus ab ku supra punctum e. Erit ergo res in eo iam reversa ad probationem quam narravit Ptholomeus, et fiet proportio cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud composita ex proportione cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb et ex proportione cordae dupli arcus bk ad cordam dupli arcus kd.
.svg){kind=spacer}
Omnium autem sex quantitatum quarum primae proportio ad secundam componitur ex proportione tertiae ad quartam et ex proportione quintae ad sextam, erit proportio tertiae ad quartam composita ex proportione primae ad secundam et ex proportione sextae ad quintam, quemadmodum ostendam in sequentibus. Ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proporione cordae dupli arcus kd ad cordam dupli arcus kb. Corda autem dupli arcus kd est corda dupli arcus gd, et corda dupli arcus kb est corda dupli arcus gb; ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Et illud est quod demonstrare voluimus.
Quod si fuerit linea bd aequidistans lineae zg, tunc linea ht erit aequidistans lineae bd, quoniam si non fuerit aequidistans ei, tunc zg non aequidistabit bd, sed zg fuit aequidistans bd. Et si esset linea ht non aequidistans duabus lineis bd zg, concurreret eis, et esset cum eis in superficie una. Res autem non est sic, duae igitur lineae ht bd aequidistant, et propter illud erit proportio ah ad hb sicut proportio at ad td; proportio autem ah ad hb est sicut proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb, et proportio at ad td est sicut proportio cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud; corda autem dupli arcus gd est aequalis cordae dupli arcus bg, linea enim bd aequidistat lineae gz ; ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus bg.
§ 5. Et postquam iam ostensum est illud, tunc declarabitur ex eo quod diximus secundum modum compositionis, quod erit proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam dupli arcus ge; quod sic probatur: Producam enim duos arcus ab ad, donec concurrant supra punctum z; erunt itaque abz adz duo semicirculi: et tunc iam secabunt se inter duos arcus ze eg duo arcus zu gb supra punctum d; ergo proportio cordae dupli arcus zb ad cordam dupli arcus be componitur ex proportione cordae dupli arcus zd ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam dupli arcus ge, propter illud quod iam declaratum est ex parte dissolutionis. Corda vero dupli arcus zb est corda dupli arcus ab, et corda dupli arcus zd est corda dupli arcus ad; ergo proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus be componitur ex proportione cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam dupli arcus ge; et illud est quod voluimus declarare. (Fig. 6.)
§6. Haec ergo via iam aggregavit illas divisiones plures in re parva; et excusavit ab uno quattuor antecedentium quae ad hanc figuram praemisit Ptholomeus, quamvis esset necessariam huic operi, ut ante ipsum demonstraretur probatio quam attulit Ptholomeus de probationibus divisionum huius figurae et quod praemisit ante ipsam ex antecedentibus. Ego tamen non aestimo quod Ptholomeus intenderit ad illud in eo quod dimisit de probatione, sed ad viam primam multarum divisionum; secundum illud autem quod ego dixi de illo sunt duo testimonia; quorum unum est, quoniam dixit, postquam expedivit (?) se ab eo quod dixit de parte dissolutionis de eo quod declarabitur secundum illud exemplum quo declaratur in descriptione linearum rectarum, quae sunt in superficie: modus compositionis figurae elcata. Testimonium vero ad aliud est, quoniam si voluisset nisi declarationem eius per hance viam quae aggregat divisiones, non esset ei necessarium praemittere antecedens, in quo demonstravit qualiter sunt proportiones secundum modum compositiones in lineis quae secant se in superficie; non enim nullo modo operatus est per illud in aliqua parte sui libri omnino, nisi procedat in probatione elcata via prima quam diximus; tunc enim est illud ei necessarium in ea; haec igitur altera via quam diximus. Et si iam aggreget illas divisiones plures et comprehendat eas in quattuor divisionibus tantum, non tamen conceditur nobis absolute cum intendimus exponere duas intentiones viri sermonis, ut dimittamus probationem quam intendit in eo quod dimisit et afferamus aliam.
Quod si absolute concedatur nobis, ut afferamus probationem ad id quod Ptholomeus voluit probare de hac figura unamcunque voluerimus, nos iam afferemus ei probationem propinquiorem et leviorem probationibus Ptholomei non pervenientem ad probationem quam ei fecit, neque ad aliquod quattuor antecedentium, quae praemisit propter ipsam, et quae (i.e. probatio) communicabit omnes divisiones eius in capitulo uno secundam modum compositionis, et capitulo secundum modum dissolutionis tantum. Et est haec quam narrabo, Praemittam prius hoc antecedens:
§7. Si ex uno omnium duorum circulorum de circulis maioribus qui cadunt in superficie spaerae separentur duo arcus minores duobus semicirculis ab eo quod sequitur unum duorum punctorum sectionis eorum, et protrahantur a duabus extremitatibus duorum arcuum duae perpendiculares supra superficiem circuli alterius, erit proportio cordae dupli unius duorum arcuum ad cordam dupli arcus alterius sicut proportio perpendicularis protractae ab extremitate arcus unius ad perpendicularem productam ab extremitate arcus alterius, sive sint ambo arcus in parte una, sive duabus diversis. Verbi gratia: (Fig. 7.)
Sint duo circuli abgd aegu de circulis maioribus, qui cadunt in spaerae superficie et iam secuerunt se supra duo puncta a et g; et separentur ex circulo agu, qui est unus eorum, duo arcus quorum unusquisque sit minor semicirculo, sintque ae az, et producantar a duobus punctis e et z duae perpendiculares supra superficiam circuli abgd, dico ergo quod proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus az est sicut proportio perpendicularis quae protrahitur a puncto e ad perpendicularem quae protrahitur a puncto z, quod sic probatur: differentia enim communis duorum circulorum abgd aegu est diametrus eorum, sit ergo diametrus ag; producam autem a duobus punctis e et z duas perpendiculares supra ag, sintque eh zt; si ergo fuerint duae perpendiculares etiam supra superficiem circuli abgd, tunc iam declaratum est, quod voluimus, quoniam ipsae sunt duo sinus duorum arcuum ae az. Quod si non fuerint ita, protraham a duobus punctis e z duas perpendiculares supra superficiem circuli abgd, sintque ek zl, sunt ergo aequidistantes; et protraham duas lineas lt kh, sed duae lineae eh zt sunt etiam aequidistantes; quando vero duae lineae continentes angulum aequidistant duabus aliis lineis continentibus alium angulum, sunt duo anguli aequales, angulus igitur hek aequatur angulo tzl; et duo anguli zlt sunt recti; ergo duo trianguli ehk ztl sunt similes. Ergo proportio eh ad zt est sicut proportio ek ad zl, proportio autem eh ad zt est sicut proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus az, quoniam ipse sunt sinus eorum; ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcas az est sicut proportio perpendicularis ek ad perpendicularem zl. Et similiter etiam declarabitur ex eo quod diximus, si unus duorum arcuum ae az fuerit a parte au. Et illud est quod voluimus demonstrare.
§8. Et postquam praemisimus hoc antecedens, tunc secent se inter duos arcus ab bg duo arcus ad ge supra punctum u. Et sint hii arcus ex circulis maioribus qui cadunt in spaera, sitque unusquisque arcus eorum minor semicirculo, dico igitur, quod proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus be componitur ex proportione cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli arcus ug ad cordam dupli arcus ge; quod sic probatur: Producam enim a punctis a e u perpendiculares supra superficiem circuli arcus bg, sintque perpendiculares az eh ut; ponam autem perpendicularem ut, quae est una earum, mediam in proportione inter duas perpendiculares az eh: erit ergo proportio az ad eh composita ex proportione az ad ut et ex proportione ut ad eh; proportio vero perpendicularis az ad perpendicularem eh, iam ostendimus per antecedens quod praemisimus, quod est sicut proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus be; et proportio perpendicularis az ad perpendicularem ut, ostendimus per ipsum, quod est sicut proportio cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus du; et proportio perpendicularis ut ad perpendicularem eh, ostendimus per ipsum etiam, quod est sicut proportio cordae dupli arcus gu ad cordam dupli arcus ge. Ergo proportio cordae dupli arcus ab ad cordam dupli arcus be componitur ex proportione cordae dupli arcus ad ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gu ad cordam dupli arens ge. Et dico etiam, quod erit secundum modum dissolutionis proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb composita ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Via autem in probatione illius est similis viae in eo quod ostendimus ante ipsum, et illud est, quia, si nos produxerimus a punctis a b d ad superficiem circuli arcus gue perpendiculares tres quae sint az bh dt et posuerimus perpendicularem dt ex eis mediam in proportione inter duas alias perpendiculares, erit proportio perpendicularis az ad perpendicularem bh composita ex proportione perpendicilaris az ad perpendicularem dt et ex proportione perpendicularis dt ad perpendicularem bh. Proportio autem perpendicularis az ex eis ad perpendicularem bh est sicut proportio cordae dupli areus ae ad cordam dupli arcus eb, et proportio perpendicularis az ad perpendicularem dt est sicut proportio cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud, et proportio perpendicularis dt ad perpendicularem bh est sicut proportio cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Hoc autem totum est, propter illud quod iam ostensum est in antecedente quod praemisimus. Ergo proportio cordae dupli arcus ae ad cordam dupli arcus eb componitur ex proportione cordae dupli arcus au ad cordam dupli arcus ud et ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus gb. Et illud est cuius voluimus declarationem. (Fig. 8 u. 9.)
§9. Iam ergo praecessit probatio duarum intentionum quas Ptholomeus probare voluit de re alcata, Reperiuntur vero modi alii de compositione proportionum in elcata, quos non narravit Ptholomeus et quibus non indiguit in complemento probationis eius quod praemisit de his duabus intentionibus, sicut indiguit divisionibus quarum praemisit narrationem. Verum quia sunt unius generis cum illis et sunt necessarii in rebus aliis, visum est mihi ut afferrem ad illud radices communicantes et aggregantes permutationes omnes per quas praeparatur permutatio proportionis in omnibus sex quantitatibus, quarum duarum proportio est composita ex duabus proportionibus quattuor reliquarum, donec, cum invenerit aliquis sex quantitates secundum hunc modum compositionis proportionis, possit permutare eas, et generet ex eis omnem rem cuius generatio possibilis est, sive sit res quae reperitur in arcubus super spaeram, sicut in alcata aut in lineis rectis in superficie, sive secundum modum dissolutionis sit illud, sive secundum modum compositionis, aut quocumque modo sit. Quod autem generatur ex omnibus sex quantitatibus secundum hunc modum decem et septem modi sunt de compositione proportionis, qui cum radice ex qua generantur erunt decem et octo modi.
Sit itaque primus ex decem et octo ut proportio primae sex quantitatum ad secundam earum componatur ex proportione tertiae ad quartam et ex proportione quintae ad sextam. Erit itaque modus secundus generatus ex eo, at proportio primae ad secundam sit composita ex proportione tertiae ad sextam et ex proportione quintae ad quartam. Verbi gratia: Sint sex quantitates super quas sint a b g d e u, et proportio primae quae est a ad secundam quae est b componatur ex proportione tertiae quae est g ad quartam quae est d et ex proportione quintae quae est e ad sextam quae est u, dico ergo, quod proportio primae quae est a ad secundam quae est b, componitur etiam ex proportione tertiae quae est g ad sextam quae est u et ex proportione quintae quae est e ad quartam quae est d; quod sic probatur:
Ponam enim d e medias duas inter g u; erit ergo proportio g ad u composita ex proportione g ad d et ex proportione d ad e et ex proportione e ad u. Proportio ergo composita ex proportione g ad u et ex proportione e ad d est sicut proportio composita ex proportione g ad d et ex proportione d ad e et ex proportione e ad u et ex proportione e ad d; sed proportio composita ex proportione g ad d et ex proportione d ad e et ex proportione e ad d est sicut proportio g ad d; ergo proportio composita ex proportione g ad u et ex proportione e ad d est sicut proportio composita ex proportione g ad d et ex proportione e ad u; proportio vero a ad b iam fuit composita ex proportione g ad d et ex proportione e ad u; ergo proportio a ad b componitur ex proportione g ad u et ex proportione e ad d.
Modus autem tertius est, ut proportio primae quae est a ad tertiam quae est g componatur ex proportione secundae quae est b ad quartam quae est d et ex proportione quintae quae est e ad sextam quae est u; quod sic probatur: Ponam enim b mediam inter a et g; erit ergo proportio a ad g composita ex proportione a ad b et ex proportione b ad g; proportio autem a ad b componitur ex proportione g ad d et ex proportione e ad u; ergo proportio a ad g componitur ex proportione b ad g et ex duabus proportionibus g ad d et e ad u; proportio autem b ad d est composita ex proportione b ad g et ex proportione g ad d, ergo proportio a ad g componitur ex proportione b ad d et ex proportione e ad u.
Modus autem quartus est, ut proportio primae quae est a ad tertiam quae est g componatur etiam ex proportione secundae quae est b ad sextam quae est u et ex proportione quintae quae est e ad quartam quae est d; quod sic probatur: Nos enim iam ostendimus in modo tertio, quod proportio a ad g componitur ex proportione b ad d et ex proportione e ad u; fiat itaque prima a et secunda g et tertia b et quarta d et quinta e et sexta u; iam vero ostendimus in modo secundo, quod quando illud fuerit ita, tune proportio a ad g erit composita ex proportione e ad u et ex proportione e ad d.
Modus autem quintus est, ut sit proportio primae quae est a ad quintam quae est e composita ex proportione secundae quae est b ad sextam quae est u et ex proportione tertiae quae est g ad quartam quae est d, quod sic probatur: Quia proportio a ad b est etiam composita ex proportione e ad u et ex proportione g ad d, fiat tunc prima a et secunda b et tertia e et quarta u et quinta g et sexta d; iam autem ostendimus in modo tertio, quod si illud fuerit ita, tunc proportio a ad e erit composita ex proportione b ad u et ex proportione g ad d.
So geht es fort bis zum 18. modus. Wir lassen im folgenden die Beweise weg und geben nur die Behauptung, deren Richtigkeit sich ja in jedem Fall fir uns sehr leicht aus dem 1. Fall ergibt. Auch sprachlich bieten die sich fast wörtlich wiederholenden Beweise kein Interesse.
Modus vero sextus est, ut proportio primae quae est a ad quintam quae est e composita sit ex proportione secundae quae est b ad quartam quae est d et ex proportione tertiae quae est g ad sextam quae est u.
Den 7. Fall geben wir noch ganz (mit Beweis), weil merkwürdigerweise zu diesem Beweis eine neue Gröbe z hinzngezogen wird.
- This page contains an image.
Ponam autem modum septimum et octavum duos modos qui necessarii erunt in probatione eorum quae sunt post eos. In septimo vero erit proportio tertiae quae est g ad quartam quae est d composita ex proportione primae quae est a ad secundam quae est b et ex proportione sextae quae est u ad quintam quae est e; quod sic probatur: Ponam enim proportionem d ad z mene proportionem e ad u; proportio igitur a ad b componitur ex proportione g ad d et ex proportione d ad z; proportio autem g ad z est etiam composita ex proportione g ad d et ex proportione d ad z ergo proportio a ad b est sicut proportio g ad z proportio autem g ad d est composita ex proportione g ad z et ex proportione z ad d; proportio autem g ad z iam ostendimus, quod est sicut proportio a ad b, et proportio z ad d iam fuit sicut proportio u ad e, ergo proportio g ad d componitur ex proportione a ad b et ex proportione u ad e.
Modus autem octavus est, ut proportio quintae quae est e ad sextam quae est u, componatur ex proportione primae quae est a ad secundam quae est b et ex proportione quartae quae est d ad tertiam quae est g; quod sic probatur:
Quoniam proportio a ad b est etiam composita ex proportione e ad u et ex proportione g ad d, tunc fiat prima a et secunda b et tertia e et quarta u et quinta g et sexta d; iam vero ostendimus in modo septimo, quod si illud fuerit ita, tunc proportio e ad u componitur ex proportione a ad b et ex proportione d ad g.
Revertamur igitur nunc ad ordinem quem sequimur. Ponam itaque modum nonum, ut sit proportio secundae quae est b ad quartam quae est d composita ex proportione primae quae est a ad tertiam quae est g et ex proportione sexta quae est u ad quintam quae est e.
Modus autem decimus est, ut sit proportio secundae quae est b ad quartam quae est d composita etiam ex proportione primae quae est a ad quintam quae est e et ex proportione sextae quae est u ad tertiam quae est g.
Modus vero undecimus est ut sit proportio secundae quae est b ad sextam quae est u composita ex proportione primae quae est a ad tertiam quae est g et ex proportione quartae quae est d ad quintam quae est e.
Modus autem duodecimus est ut sit proportio secundae quae est b ad sextam quae est u composita etiam ex proportione primae quae est a ad quintam quae est e et ex proportione quartae quae est d ad tertiam quae est g.
Modus autem tredecimus est ut sit proportio tertiae quae est g ad quartam quae est d composita ex proportione primae quae est a ad quintam quae est e et ex proportione sextae quae est u ad secundam quae est b.
Modus autem quartus decimus est, ut sit proportio tertiae quae est g ad sextam quae est u composita ex proportione primae quae est a ad secundam quae est b et ex proportione quartae quae est d ad quintam quae est e.
Modus vero quintus decimus est ut sit proportio tertiae quae est g ad sextam quae est u composita ex proportione primae quae est a ad quintam quae est e et ex proportione quartae quae est d ad secundam quae est b.
Modus autem sextus decimus est, ut sit proportio quartae quae est d ad quintam quae est e composita ex proportione secundae quae est b ad primam quae est a et ex proportione tertiae quae est g ad sextam quae est u.
Modus autem septimus decimus est ut sit proportio quartae quae est d ad quintam quae est e composita etiam ex proportione secundae quae est b ad sextam quae est u et ex proportione tertiae quae est g ad primam quae est a.
Modus vero octavus decimus est ut sit proportio quintae quae est e ad sextam quae est u composita ex proportione primae quae est a ad tertiam quae est g et ex proportione quartae quae est d ad secandam quae est b.
Isti ergo sunt decem et octo modi. Et manifestam est quod licet nobis in unoquoque modo convertere in proportionibus, et ponemus consequens in omni proportione antecedens et antecedens consequens, et pervenient inde decem et octo modi secundum conversionem illius, quisque modus eorum conversus sui oppositi. Et erit compositio proportionum in eis secundum conversionem; et nou invenitur in his sex quantitatibus modus praeter illos quos nominavimus, in quo sit proportio duarum quantitatum ex eis composita ex duabus proportionibus, i. e. ex proportionibus quattuor reliquarum.
§10. Iam autem edidi ad inveniendum illud tabulas, ut sit inventio eius quod voluerit inquisitor de eis facilior. Et posui proportionem eius quod est in linea prima earum in longitudine producta ad illud, quod est ante ipsum in linea secunda, compositam ex proportione eius quod est ante ipsum in linea tertia, ad id quod est ante ipsum in linea quarta, et ex proportione eius quod est ante ipsum in linea quinta, ad id quod est ante ipsum in linea sexta. Proportiones autem eius, quod est in linea secunda, ad id quod est in linea prima, componuntur ex proportione reliquarum conversa. Cum autem fuerint quantitates duae, ante quas fuerit sifre, non oportebit ut sit proportio unius eorum ad alteram composita ex duabus proportionibus, scil. ex proportionibus reliquarum. Quod vero est ante eas in linea septima, est numerus modorum secundum quod ordinavi de eis sermonem antecedentem, donec, cum voluerit inquisitor reditionem in probatione alicuius eorum, inveniat ipsam leviter.
§11. Iam ergo declaravimus rem decem et octo modorum et conversionem eorum, Quod autem non sit hic modus alius praeter illos, in quo oportet ut sit proportio duarum sex quantitatum, quarum narratio praecessit, composita ex duabus proportionibus scil. ex proportionibus quattuor reliquarum, demonstratur ex eo quod narro: Et est quod, quando comparaverimus unamquamque sex quantitatum cum unaquaque reliquarum quantitatum earum, et proportionaverimus ipsam ei et comprehenderimus illud totam, erit suma (sic) illius quindecim (?) combinationes. Et nos iam declaravimus ex quibus duabus proportionibus componantur novem earum, neque remanent post illud (sic) nisi sex combinationes, quae sunt prima cum quarta, et prima cum sexta, et secunda cum tertia, et secunda cum quinta, et tertia cum quinta, et quarta cum sexta; harum autem combinationum nulla est, cuius proportio necessarie sit composita ex duabus proportionibus, scil. quattuor quantitatum quae remanserunt. Et illud est, quia nos ponemus lineas a b g d e u secundum modum primum, dico igitur primum, quod proportio primae quae est a ad quartam quae est d, non est necesse, ut sit composita ex duabus proportionibus, quae sunt inter quantitates b, g, e, u quattuor, quocunque modo sumantur duae proportiones ex proportionibus earum aut conversim; quod sic probatur. Ponam enim lineam z aut minorem aut maiorem linea a; et ponam superficiem orthogoniam aequalem ei quod est ex a in d, cuius unius lateris proportio ad aliud sit sicut proportio z ad d, sintque latera eius h t; et sit proportio h, quod est unum eorum, ad t sicut proportio z ad d. Sed illud quod est ex h in t est aequale ei quod est ex a in d, ergo proportio z ad a est sicut proportio d ad t, proportio vero a ad b componitur ex proportione g ad d et ex proportione e ad u, ergo proportio composita ex proportione h et a proportione a ad b, quae est sicut proportio h ad b, est aequalis proportioni composita ex proportione d ad t et ex proportione g ad d et ex proportione e ad u; qua propter erit proportio h ad b aequalis proportioni compositae ex proportione g ad t et ex proportione e ad u. Harum igitur sex quantitatum quattuor, quae sunt b g e u sunt quattuor sex primarum (?) et neque est in eis diversitas nisi in prima et quarta earum tantum; quod si esset modus unus necessarius in se (!), ut proportio primae ad quartam omnium sex quantitatum esset composita ex duabus proportionibus eisdem quattuor reliquarum, quaecunque duae proportiones essent, et essent quattuor reliquae hic (?) sex quantitatum primarum existentes quattuor reliquae sex quantitatum postremarum, esset proportio primae sex primarum quae est a ad quartam earum quae est d, sicut proportio primae sex postremarum quae est h ad quartam earum quae est t sed proportio h ad t iam fuit sicut proportio z ad d, ergo proportio a ad d est sicut proportio z ad d, ergo erit z aequalis a; iam vero fuit una earum longior altera, hoc quidem est contrarium, non est ergo hic modus unus in prima et quarta, per quem (?) oporteat, ut sit proportio eius ad ipsam composita ex duabus proportionibus per quos fiat proportio primae ad quartam, quandoque (?) et in quibusdam quantitatibus composita ex duabus proportionibus inter reliquas quattuor, et in quibusdam earum ex duabus proportionibus aliis earum. Manifestum namque
| Prima | Sec. | Tert. | Quart. | Quint. | Sext. | Sept. [Numeri modorum] |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 9 | 6 | 4 | 2 |
| 1 | 3 | 2 | 4 | 6 | 9 | 3 |
| 1 | 3 | 2 | 9 | 6 | 4 | 4 |
| 1 | 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 6 | 2 | 9 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 6 | 2 | 4 | 3 | 9 | 6 |
| 1 | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 4 | 1 | 2 | 9 | 6 | 7 |
| 3 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 9 | 1 | 2 | 4 | 3 | 8 |
| 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 4 | 1 | 3 | 9 | 6 | 9 |
| 2 | 4 | 1 | 6 | 9 | 3 | 10 |
| 2 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 9 | 1 | 3 | 4 | 6 | 11 |
| 2 | 9 | 1 | 6 | 4 | 3 | 12 |
| 3 | 4 | 1 | 6 | 9 | 2 | 13 |
| 4 | 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 9 | 1 | 2 | 4 | 6 | 14 |
| 3 | 9 | 1 | 6 | 4 | 2 | 15 |
| 4 | 6 | 2 | 1 | 3 | 9 | 16 |
| 4 | 6 | 2 | 9 | 3 | 1 | 17 |
| 6 | 9 | 1 | 3 | 4 | 2 | 18 |
est, quod aggregatio omnium duarum proportionum acceptarum inter quattuor quantitates habet numerum aliquem diffinitum comprehensum, et ipse numerus est duodecim; de lineis vero licet nobis ponere quantas voluerimus, quarum numeratio sit maior hac numeratione, et sint omnes diversarum quantitatum, quem ad modum posuimus lineam z; et ostendam in eis omnibus sicut ostendi nunc, quod proportio cuiusque earum ad d erit composita ex duabus proportionibus quattuor, quae sunt g d e u, si esset res secundum quod diximus. Et quia iam invenimus lineas relatas 3 (tres aut z) plures numeri numero modorum quos aggregari ostendimus ex omnibus duabus proportionibus quattuor, tunc necessarium est quod sit proportio quarumdam linearum quas invenimus quae sunt de relatis lineae z ad lineam d, sicut proportio lineae alterius ex eis ad lineam d, quoniam ipsa componitur ex duabus proportionibus eisdem statis (?), scil. ex proportionibus quattuor quantitatum, Erunt igitur duae lineae ex eis aequales aut plures duabus lineis; nos vero iam posuimus eas diversas, hoc quidem contrarium est, non oportet igitur, ut sit proportio a ad d composita ex duabus proportionibus inter quattuor reliquas neque ex duabus proportionibus eisdem, neque quandoque (?) ex aliquibus duabus proportionibus et quandoque (?) ex duabus proportionibus aliis earum; neque proportio d ad a etiam, si enim esset necessarium, eius conversio esset necessaria; iam igitur ostendimus id quod voluimus in hoc combinatione.
Iam vero possibile nobis est, ut declaramus rem combinationum aliarum quinque reliquarum, et quod non est necessaria in eis compositio proportionum secundum quod diximus per id quod simile est isti; et ideo etiam quia ostensum est illud in prima et quarta quae sunt a d, quoniam, si esset necessarium in a d, ut componeretur ex duabus proportionibus quae sunt inter quattuor reliquas, foret necessarium illud in a u; licet enim nobis ut ponamus a primam et b secundam et e tertiam et u quartam et g quintam et d sextam; erunt ergo tunc a d loco primae et sextae, nos vero iam ostendimus, quod illud non est necessarium in a d, ergo non est necessarium in a u. Et per similitudinem illius declaratur res secundae et tertiae, quae b g; licet
- This page contains an image.
enim nobis ponere b primam et a secundam et d tertiam et g quartam et u quintam et e sextam; erunt ergo a et d in loco secundae et tertiae. Et similiter etiam demonstratur res secundae et quintae, quae sunt b et e; licet enim nobis ut ponamus b primam et a secundam et u tertiam et e quartam et d quintam et g sextam, et erunt a d loco secundae et quintae. Similiter quoque ostenditur res tertiae et quintae quae sunt g e; licet enim nobis ponere e primam et u secundam et a tertiam et b quartam et d quintam et g sextam, et erunt ad in loco tertiae et quintae. Similiter quoque demonstratur res quartae et sextae; licet enim nobis, ut ponamus u primam et e secundam et b tertiam, et a quartam et g quintam et d sextam et erunt a d in loco qnartae et sextae, Hac ergo sunt sex combinationes in quibus non est necessaria res compositionis proportionis sicut illa quae est necessaria in re novem reliquarum.
§ 12. Nos autem iam ostendimus quod necessarii sunt in unaquaque illarum duo modi compositionis, dico igitur quod non est necessarius in aliqua earum modus tertius. Et ponam exemplum in eo simile illi quod praecessit. Proportio igitur a ad b componitur ex proportione g ad d et ex proportione e ad u; nos autem iam ostendimus, quod oportet secundum illud, ut sit proportio a ad b composita etiam ex proportione g ad u et ex proportione e ad d, dico igitur quod non est necessarius in illo modus tertius. Et illud est, quoniam haec proportio aut dicetur esse composita ex proportione quae est inter g e et d u, aut ex ea quae est inter g d et e u, aut ex ea quae est inter g u et d e. Quod si fuerit necessarium ut sit composita ex proportione quae est inter g e et d u, erit unaquaque duarum proportionum g e et d u etiam composita ex duabus proportionibus inter quattuor reliquas; sed nos iam ostendimus, quod illud non est necessarium. De ea vero quae est inter g d et e u, et de ea quae est inter g e et d u (?), iam diximus quod componitur secundum duos modos in unaquaque earum; dico igitur, quod non oportet ut componatur secundum modum alium eorum qui sunt inter istas de proportionibus; et illud est quoniam iam possibile est, ut sint quantitates duae ad non aequales, et similiter quantitates g d e u. Sit ergo ita, et sit proportio a ad b prius composita ex duabus proportionibus quae sunt inter g d et e u, non secundum modum quem diximus, si possibile est illud. Si ergo composita fuerit ex proportione g ad d et ex proportione u ad e, cum iam fuerit etiam composita ex proportione g ad d et ex proportione e ad u, tunc proportio u ad e erit sicut proportio e ad u, duarum igitur linearum e u non est una maior altera; nos autem iam posuimus eas diversas, hoc quidem est contrarium. Quod si composita fuerit proportio a ad b ex proportione d ad g et ex proportione e ad u, demonstrabitur secundum viam huic similem, quod d g sunt aequales, sed non est ita. Si ergo composita fuerit proportio a ad b ex proportione d ad g et ex proportione u ad e, et proportio b ad a est etiam composita ex his duabus proportionibus, tunc a b erunt aequales; sed non sunt ita; proportio igitur a ad b non componitur ex proportione, quae est inter g d et e u, secundum aliquem modorum excepto eo quem praediximus. Similiter quoque ostenditur, quod non est composita ex proportione quae est inter g u d e nisi secundum modum unum cuius praemisimus narrationem; si enim contingeret illud secundum modum alium, aequarentur aut duae quantitates g u, aut duae quantitates d e, aut duae quantitates a b, sed illud non est ita. Non est igitur hic modus tertius in compositione proportionis a ad b exceptis duabus modis quos diximus.
Similiter quoque non erunt in aliqua combinationum reliquaram de novem combinationibus nisi duo modi; erit igitur summa modorum decem et octo modi et eorum conversiones tantum, neque pauciores illis neque plures. Proportio enim combinationum reliquarum iam sublata est, sicut ostendimus in his quae praecesserunt. Explicit liber de figura sectore thebit ibencora (sic).
[Meslem filius ameti inquit de illis quae Ptholomeo addicendum necessaria fuerunt in figura sectore: fuit allatio demonstrationis super proportionem compositam secundam similitudinem partis quam erexit (?) super proportionem divisam. Et ego quidem non reperi aliquem de illis quae praecesserunt dixisse (?) (vielleicht erexisse) illam figuram, i. e. figuram sectorem. Et illud sit (sic!), ut duo arcus gd eb secent se inter duos arcus gea bda supra punctum u. Et statuam demonstrationem secundum hoc, ut proportio cordae dupli arcus ga ad cordam dupli arcus ae sit composita ex proportionibus duabus, scil. ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus ud, et ex proportione cordae dupli arcus ub ad cordam dupli arcus be; cuius haec est demonstratio: Ponam ut centrum spaerae sit punctum h, deinde copulabo punctum h cum puncto a et continuabo punctum g cum puncto e et faciam] ipsam penetrare donec concurrat lineae ha supra punctum l, deinde producam gu et protraham hd et producam eas ambas secundum rectitudinem usque ad punctum k; et producam eu et producam hd et producam eas ambas secundum rectitudinem usque ad punctum t, dico igitur, quod puncta tria l k t sunt super lineam unam rectam, quoniam ipsa omnia sunt in superficie arcus adb, et duo puncta lk sunt in superficie trianguli glk, et linea eut est in superficie huius trianguli iterum, ergo panctum t est iterum in superficie huius trianguli; ergo illa tria puncta sunt in superficie huius trianguli, ergo ipsa est sectio communis, supra quam secant se superficies trianguli et arcus (adb); at sectio communis est linea recta, et est linea lkt. Ergo inter duas lineas gl tl iam secuerunt se duae lineae gk, et supra punctum u, ergo proportio gl ad le componitur ex duabus proportionibus, i.e. ex proportione gk ad ku et ex proportione tu ad fe. Proportio autem gl ad le est proportio cordae dupli arcus ga ad cordam dupli arcus ea; et proportio gk ad ku est sicut proportio cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus du; et proportio lineae tu ad lineam te est sicut proportio cordae dupli arcus ub ad cordam dupli arens eb; ergo proportio cordae dupli arcus ga ad cordam dupli arcus ea est composita ex proportione cordae dupli arcus gd ad cordam dupli arcus du et ex proportione cordae dupli areus ub ad cordam dupli arcus eb. Et illud est quod declarare voluimus. (Fig. 10.)