Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/115

105

theorema fundamentale.

136.

Theorema fundamentale pro numeris parvis verum esse, per inductionem facile confirmari, atque sic limes determinari potest usque ad quem certo locum teneat. Hanc inductionem institutam esse postulamus: prorsus autem indifferens est quousque eam persequuti simus; sufficeret adeo, si tantummodo usque ad numerum $5$ eam confirmavissemus, hoc autem per unicam observationem absolvitur, quod est $+5N3$, $\pm 3N5$.

Iam si theorema fundamentale generaliter verum non est, dabitur limes aliquis, $T$, usque ad quem valebit, ita tamen ut usque ad numerum proxime maiorem, $T+1$, non amplius valeat. Hoc autem idem est ac si dicamus, dari duos numeros primos, quorum maior sit $T+1$, et qui inter se comparati theoremati fundamentali repugnent, binos autem alios numeros primos quoscunque, si modo ambo ipso $T+1$ sint minores, huic theoremati esse consentaneos. Unde sequitur, propositiones artt. 131, 132, 133 usque ad $T$ etiam locum habituras. Hanc vero suppositionem consistere non posse nunc ostendemus. Erunt autem secundum formas diversas, quas tum $T+1$, tum numerus primus ipso $T+1$ minor, quem cum $T+1$ comparatum theoremati repugnare supposuimus, habere possunt, casus sequentes distinguendi. Numerum istum primum per $p$ designamus.

Quando tum $T+1$ tum $p$ sunt formae $4n+1$, theorema fundamentale duobus modis falsum esse posset, scilicet si simul esset, vel$\pm pR(T+1)\,$ et $\pm (T+1)Np$ vel simul$\pm pN(T+1)$ et $\pm (T+1)Rp$

Quando tum $T+1$ tum $p$ sunt formae $4n+3$, theor. fund. falsum erit, si simul fuerit vel$+pR(T+1)$ et $-(T+1)Np\$ (sive quod eodem redit$-pN(T+1)$ et $+(T+1)Rp$) vel$+pN(T+1)$ et $-(T+1)Rp\$ (sive$-pR(T+1)$ et $+(T+1)Np$)

Quando $T+1$ est formae $4n+1$, $p$ vero formae $4n+3$, theor. fund. falsum erit, si fuerit vel$\pm pR(T+1)$ et $+(T+1)Np$ (sive $-(T+1)Rp$) vel$\pm pN(T+1)$ et $-(T+1)Np$ (sive $+(T+1)Rp$)

I. 14