Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/83

SECTIO QUARTA

DE

CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.

---

Residua et non-residua quadratica.

94.

Theorema. Numero quocunque $m$ pro modulo accepto, ex numeris $0$, $1$, $2$, $3$ $\ldots$ $m-1$, plures quam $\textstyle {\frac {1}{2}}m+1$, quando $m$ est par, sive plures quam $\textstyle {\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}}$, quando $m$ est impar, quadrato congrui fieri non possunt.

Dem. Quoniam numerorum congruorum quadrata sunt congrua: quivis numerus, qui ulli quadrato congruus fieri potest, etiam quadrato alicui cuius radix $<m$ congruus erit. Sufficit itaque residua minima quadratorum $0$, $1$, $4$, $9$ $\ldots$ $(m-1)^{2}$ considerare. At facile perspicitur, esse $(m-1)^{2}\equiv 1$, $(m-2)^{2}\equiv 2^{2}\!$, $(m-3)^{2}\equiv 3^{2}\!$ etc. Hinc etiam, quando $m$ est par, quadratorum $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-1)^{2}\!$ et $\textstyle ({\frac {1}{2}}m+1)^{2}\!$, $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-2)^{2}\!$ et $\textstyle ({\frac {1}{2}}m+2)^{2}\!$ etc. residua minima eadem erunt: quando vero $m$ est impar, quadrata $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-{\frac {1}{2}})^{2}\!$ et $\textstyle ({\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}})^{2}\!$, $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-{\frac {3}{2}})^{2}\!$ et $\textstyle ({\frac {1}{2}}m+{\frac {3}{2}})^{2}\!$ etc. erunt congrua. Unde palam est, alios numeros, quam qui alicui ex quadratis $0$, $1$, $4$, $9$ $\ldots$ $\textstyle ({\frac {1}{2}}m)^{2}\!$ congrui sint, quadrato congruos fieri non posse, quando $m$ par; quando vero impar, quemvis numerum, qui ulli quadrato sit congruus, alicui ex his $0$, $1$, $4$, $9$ $\ldots$ $\textstyle ({\frac {1}{2}}m-{\frac {1}{2}})^{2}\!$ necessario congruum esse. Quare dabuntur ad summum in priori casu $\textstyle {\frac {1}{2}}m+1$ residua minima diversa, in posteriori $\textstyle {\frac {1}{2}}m+{\frac {1}{2}}$. Q. E. D.

Exemplum. Secundum modulum 13 quadratorum numerorum 0, 1, 2, 3 … 6 residua minima inveniuntur 0, 1, 4, 9, 3, 12, 10, post haec vero eadem

I- 10