est ad attractionem ipsius extra Sphæram in loco P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro IS, PS & dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illis P & I, ad centrum tendentium.
Ut si vires centripetæ particularum Sphæræ sint reciproce ut distantiæ corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a Sphæra tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiæ SI ad distantiam SP & ratione dimidiata vis centripetæ in loco I, a particula aliqua in centro oriundæ, ad vim centripetam in loco P ab eadem in centro particula oriundam, id est, ratione dimidiata distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hæ duæ rationes dimidiatæ componunt rationem æqualitatis, & propterea attractiones in I & P a Sphæra tota factæ æquantur. Simili computo, si vires particularum Sphæræ sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio in I sit ad attractionem in P, ut distantia SP ad Sphæræ semidiametrum SA: Si vires illæ sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad.; si in quadruplicata, ut SP cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut PScub.×PI, attractio in I erit reciproce ut SAcub.×PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.
Stantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P, ordinatim applicata DN inventa fuit ut . Ergo si agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mutatis mutandis, evadet ut . Pone vires centripetas, e Sphæræ puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PEn ad IEn, (ubi numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatæ illæ fient ut & , quarum ratio ad invicem est ut PS×IE×IEn ad IS×PE×PEn. Quoniam ob similia triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS adSE vel SA; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS×IEn ad SA×PEn. Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IEn ad PEn dimidiata est ratio virium in distantiis PS, IS. Ergo ordinatæ, & propterea areæ quas ordi natæ describunt, hisq; proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex dimidiatis illis rationibus. Q. E. D.
Prop. LXXXIII. Prob. XLII.
Invenire vim qua corpusculum in centro Sphæræ locatum ad ejus segmentum quodcunq; attrahitur.
Sit P corpus in centro Sphæræ, & RBSD segmentum ejus plano RDS & superficie Sphærica RBS contentum. Superficie Sphærica EFG centro P
