SECT. II.
De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.
Prop. V. Theor. III.
Si corpori resistitur in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita per Medium similare movetur, tempora vero sumantur in progressione Geometrica a minoribus terminis ad majores pergente: dico quod velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem progressione Geometrica inverse, & quod spatia sunt æqualia quæ singulis temporibus describuntur.
Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia Medii, & resistentiæ proportionale est decrementum velocitatis; si tempus in particulas innumeras æquales dividatur, quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia. Sunto temporis particulæ illæ AK, KL, LM , &c. in recta CD sumptæ, & erigantur perpendicula AB, Kk, Ll, M m, &c. Hyperbolæ BklmG, centro C Asymptotis rectangulis CD, CH descriptæ occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divisim AB−Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicissim AB−Kk ad AK ut Kk ad CA, adeoq; ut AB×Kk ad AB×CA. Unde cum AK & AB×CA dentur, erit AB−Kk ut AB×Kk; & ultimo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq. Et simili argumento erunt Kk−Ll, Ll−Mm, &c. ut Kkq., Llq. &c. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differentiæ, & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiæ, similis erit ambarum progressio. Quo demonstrato, consequens est etiam ut areæ his lineis descriptæ sint in progressione consimili cum spatiis quæ velocitatibus describuntur. Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per arcam AKkB, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptæ per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum AM mB. Concipe jam tempus AM ita dividi in partes AK, KL, LM, &c. ut sint CA, CK, CL, CM, &c. in progressione Geometrica, & erunt partes illæ in eadem progressione, & velocitates AB, Kk, Ll, M m, &c. in progressione eadem inversa, atq; spatia descripta Ak, Kl, Lm, &c. æqualia. Q. E. D.
Corol. 1. Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam DG, & spatium totum descriptum per aream Hyperbolicam adjacentem ABGD; necnon spatium quod
