Pagina:Principia newton la.djvu/157

sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica & similes. Has quantitates ut indeterminatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic considero, & eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur. Cave tamen intellexeris particulas finitas. Momenta, quam primum finitæ sunt magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Neq; enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nom inare licet) vel finitæ quævis quantitates velocitatibus hisce proportionales. Termini autem cujusq; Generantis coefficiens est quantitas, quæ oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.

Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcunq; perpetuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. Momenta, vel mutationum velocitates dicantur a, b, c, &c. momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit Ab + aB, & contenti ABC momentum fuerit ABc+AbC+aBC: & dignita tum A², A³, A⁴, A^1/2, A^3/2, A^1/3, A^2/3, ${\tfrac {1}{A}}$, ${\tfrac {1}{A^{2}}}$, & ${\tfrac {1}{A^{\tfrac {1}{2}}}}$ momenta 2Aa, 3aA², 4aA³, ${\tfrac {1}{2}}$aA^-1/2, ${\tfrac {3}{2}}$aA^1/2, ${\tfrac {1}{3}}$aA^-2/3, ${\tfrac {2}{3}}$aA^1/3, -aA^-2, -2aA^-3, & $-{\tfrac {1}{2}}$aA^-3/2 respective. Et generaliter ut dignitatis cujuscunq; A^n/m momentum fuerit ${\tfrac {n}{m}}$$aA^{\tfrac {n-m}{m}}$. Item ut Genitæ Aquad.×B momentum fuerit 2aAB+A²b; & Genitæ A³B⁴C² momentum 3aA²B⁴C²+4A³bB³C²+2A³B⁴Cc; & Genitæ A³B² sive A³B^-2 momentum 3aA²B^-2-2A³bB^-3: & sic in cæteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum.

Cas. 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia ${\tfrac {1}{2}}$a & ${\tfrac {1}{2}}$b, fuit A-${\tfrac {1}{2}}$a in B-${\tfrac {1}{2}}$b, seu AB-${\tfrac {1}{2}}$aB-${\tfrac {1}{2}}$Ab+${\tfrac {1}{4}}$ab; & quam primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A+${\tfrac {1}{2}}$a in B+${\tfrac {1}{2}}$b seu AB+${\tfrac {1}{2}}$aB+${\tfrac {1}{2}}$Ab+${\tfrac {1}{4}}$ab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessus aB+Ab. Igitur laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum aB+Ab. Q.E.D.

Cas. 2. Ponatur AB æquale G, & contenti ABC seu GC momentum (per Cas. 1.) erit gC+Gc, id est (si pro G & g scribantur AB & aB+Ab) aBC+ AbC+ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunq;. Q. E. D.

Cas. 3. Ponantur A, B, C æqualia; & ipsius A², id est rectanguli AB, momentum aB+Ab erit 2aA, ipsius autem A³, id est contenti ABC, momen tum aBC+AbC+ABc erit 3aA². Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscunq; Aⁿ est naAⁿ⁻¹. Q. E. D.

Cas. 4. Unde cum ${\tfrac {1}{A}}$ in A sit 1, momentum ipsius ${\tfrac {1}{A}}$ ductum in A, una cum ${\tfrac {1}{A}}$ ducto in a erit momentum ipsius 1, id est nihil. Proinde momentum ipsius ${\tfrac {1}{A}}$ seu A^-1 est ${\tfrac {-a}{A^{2}}}$. Et generaliter cum ${\tfrac {1}{A^{n}}}$ in Aⁿ sit 1, momentum ipsius ${\tfrac {1}{A^{n}}}$ ductum in An una cum ${\tfrac {1}{A^{n}}}$ in naA^n-1 erit nihil. Et propterea momentum ipsius ${\tfrac {1}{A^{n}}}$ seu A^-n erit ${\tfrac {-na}{A^{n+1}}}$. Q.E.D.