Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/15

sive $X=0$, revera habere $m$ radices, suscipiunt probare, $X$ in $m$ factores simplices resolvi posse. Ad hunc finem assumunt $m$ factores simplices $x-\alpha$, $x-\beta$, $x-\gamma$ etc. ubi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. adhuc sunt incognitae, productumque ex illis aequale ponunt functioni $X$. Tum ex comparatione coëfficientium deducunt $m$ aequationes, ex quibus incognitas $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ etc. determinari posse aiunt, quippe quarum multitudo etiam sit $m$. Scilicet $m-1$ incognitas eliminari posse, unde emergere aequationem, quae, quam placuerit, incognitam solam contineat.' Ut de reliquis, quae in tali argumentatione reprehendi possent, taceam, quaeram tantummodo, unde certi esse possimus, ultimam aequationem revera ullam radicem habere? Quidni fieri posset, ut neque huic ultimae aequationi neque propositae ulla magnitudo in toto quantitatum realium atque imaginariarum ambitu satisfaciat? Ceterum periti facile perspicient, hanc ultimam aequationem necessario cum proposita omnino identicam fore, siquidem calculus rite fuerit institutus; scilicet eliminatis incognitis $\beta$, $\gamma$ etc. aequationem $$\alpha ^{m}+A\alpha ^{m-1}+B\alpha ^{m-2}+{\text{etc.}}+M=0$$ prodire debere. Plura de isto ratiocinio exponere necesse non est.

Quidam auctores, qui debilitatem huius methodi percepisse videntur, tamquam axioma assumunt, quamvis aequationem revera habere radices, si non possibiles, impossibiles. Quid sub quantitatibus possibilibus et impossibilibus intelligi velint, haud satis distincte exposuisse videntur. Si quantitates possibiles idem denotare debent ut reales, impossibiles idem ut imaginariae: axioma illud neutiquam admitti potest, sed necessario demonstratione opus habet. Attamen in illo sensu expressiones accipiendae non videntur, sed axiomatis mens haec potius videtur esse: 'Quamquam nondum sumus certi, necessario dari $m$ quantitates reales vel imaginarias, quae alicui aequationi datae $m^{ti}$ gradus satisfaciant, tamen aliquantisper hoc supponemus; nam si forte contingeret, ut tot quantitates reales et imaginariae inveniri nequeant, certe effugium patebit, ut dicamus reliquas esse impossibiles.' Si quis hac phrasi uti mavult quam simpliciter dicere, aequationem in hoc casu tot radices non habituram, a me nihil obstat: at si tum his radicibus impossibilibus ita utitur tamquam aliquid veri sint, et e.g. dicit, summam omnium radicum aequationis $x^{m}+Ax^{m-1}+{\text{etc.}}=0$, esse $=-A$, etiamsi impossibiles inter illas sint (quae expressio proprio significat, etiamsi aliquae deficiant): hoc neutiquam probare possum. Nam radices impossi-