Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/153

$x=1$ finitam esse non posse, nisi coëfficientes saltem post certum terminum in infinitum decrescant, vel, ut secundum morem analystarum loquamur, nisi coëfficiens termini $x^{\mathrm{\infty }}$ sit $=0.$ Ostendemus autem, et quidem, in gratiam eorum, qui methodis rigorosis antiquorum geometrarum favent, omni rigore,

primo, coëfficientes (siquidem series non abrumpatur), in infinitum crescere, quoties fuerit $\alpha +\beta -\gamma -1$ quantitas positiva.

secundo, coëfficientes versus limitem finitum continuo convergere, quoties fuerit $\alpha +\beta -\gamma -1=0.$

tertio, coëfficientes in infinitum decrescere, quoties fuerit $\alpha +\beta -\gamma -1$ quantitas negativa.

quarto, summam seriei nostrae pro $x=1,$ non obstante convergentia in casu tertio, infinitam esse, quoties fuerit $\alpha +\beta -\gamma$ quantitas positiva vel $=0.$

quinto, summam vero finitam esse, quoties $\alpha +\beta -\gamma$ fuerit quantitas negativa.

16.

Hanc disquisitionem generalius adaptabimus seriei infinitae $M,$ $M^{\prime },$ $M^{\prime \prime },$ $M^{\prime \prime \prime }$ etc. ita formatae, ut quotientes $\frac{M^{\prime }}{M},$ $\frac{M^{\prime \prime }}{M^{\prime }},$ $\frac{M^{\prime \prime \prime }}{M^{\prime \prime }}$ etc. resp. sint valores fractionis

$\frac{t^{\lambda }+A{t}^{\lambda -1}+B{t}^{\lambda -2}+C{t}^{\lambda -3}+\text{etc.}}{t^{\lambda }+a{t}^{\lambda -1}+b{t}^{\lambda -2}+c{t}^{\lambda -3}+\text{etc.}}$

pro $t=m,$ $t=m+1,$ $t=m+2$ etc. Brevitatis caussa huius fractionis numeratorem per $P,$ denominatorem per $p$ denotabimus: praeterea supponemus, $P,$ $p$ non esse identicas, sive differentias $A-a,$ $B-b,$ $C-c$ etc. non omnes simul evanescere.

I. Quoties e differentiis $A-a,$ $B-b,$ $C-c$ etc. prima quae non evanescit est positiva, assignari poterit limes aliquis $l,$ quem simulac egressus est valor ipsius $t,$ valores functionum $P$ et $p$ certo semper evadent positivi, atque $P>p.$ Manifestum est, hoc evenire, si pro $l$ accipiatur radix maxima realis aequationis $p(P-p)=0;$ si vero haec aequatio nullas omnino radices reales habeat, proprietatem illam pro omnibus valoribus ipsius $t$ locum habere. Quapropter in serie $\frac{M^{\prime }}{M},$ $\frac{M^{\prime \prime }}{M^{\prime }},$ $\frac{M^{\prime \prime \prime }}{M^{\prime \prime }}$ etc. saltem post certum intervallum (si non ab initio) omnes termini erunt positivi atque maiores unitate; quodsi itaque nullus neque $=0$ neque infinite magnus evadit, perspicuum est,