Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/166

tegrale per $-{\tfrac {\Pi {\frac {\beta +1}{\alpha }}}{\beta +1}}$ exprimetur). Ita e.g. pro $\beta =0,$ $\alpha =2,$ valor integralis $\int e^{-zz}\operatorname {d} z$ invenitur $=\Pi {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

29.

Ill. Euler pro summa logarithmorum

$\log 1+\log 2+\log 3+$ etc. $+\log z$

eruit seriem

$(z+{\tfrac {1}{2}})\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {\mathfrak {A}}{1.2z}}-{\frac {\mathfrak {B}}{3.4z^{3}}}+{\frac {\mathfrak {C}}{5.6z^{3}}}-$ etc.

ubi ${\mathfrak {A}}={\tfrac {1}{6}},$ ${\mathfrak {B}}={\tfrac {1}{30}},$ ${\mathfrak {C}}={\tfrac {1}{42}}$ etc. sunt numeri Bernoulliani. Per hanc itaque seriem exprimitur $\log \Pi z;$ etiamsi enim primo aspectu haec conclusio ad valores integros restricta videatur, tamen rem propius contemplando invenietur, evolutionem ab Eulero adhibitam (Instit. Calc. Diff. Cap. vi. 159) saltem ad valores positivos fractos eodem iure applicari posse, quo ad integros: supponit enim tantummodo, functionem ipsius ${z},$ in seriem evolvendam, esse talem, ut ipsius diminutio, si ${z}$ transeat in ${z}-1,$ exhiberi possit per theorema Taylori, simulque ut eadem diminutio sit $=\log z.$ Conditio prior innititur continuitati functionis, adeoque locum non habet pro valoribus negativis ipsius ${z},$ ad quos proin seriem illam extendere non licet: conditio posterior autem functioni $\log \Pi z$ generaliter competit sine restrictione ad valores integros ipsius ${z}.$ Statuemus itaque

[58]	$\log \Pi z=(z+{\tfrac {1}{2}})\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {\mathfrak {A}}{1.2z}}-{\frac {\mathfrak {B}}{3.4z^{3}}}+{\frac {\mathfrak {C}}{5.6z^{5}}}-{\frac {\mathfrak {D}}{7.8z^{7}}}+$etc.

Quum hinc quoque habeatur

$\log \Pi 2z=(2z+{\tfrac {1}{2}})\log 2z-2z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {\mathfrak {A}}{1.2.2z}}-{\frac {\mathfrak {B}}{3.4.8z^{3}}}+{\frac {\mathfrak {C}}{5.6.32z^{5}}}-{\frac {\mathfrak {D}}{7.8.128z^{7}}}+$ etc.

atque per formulam 57, statuendo $n=2,$

$\log \Pi (z-{\tfrac {1}{2}})=\log \Pi 2z-\log \Pi z-(2z+{\tfrac {1}{2}})\log 2+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi ,$

fit

[59]	$\log \Pi (z-{\tfrac {1}{2}})=z\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi -{\frac {\mathfrak {A}}{1.2.2z}}+{\frac {7{\mathfrak {B}}}{3.4.8z^{3}}}-{\frac {31{\mathfrak {C}}}{5.6.32z^{5}}}+{\frac {127{\mathfrak {D}}}{7.8.128z^{7}}}-$ etc.

Hae duae series pro valoribus magnis ipsius ${z}$ ab initio satis promte convergunt, ita ut summam approximatam commode satisque exacte colligere liceat: attamen probe notandum est, pro quovis valore dato ipsius $z,$ quantumvis magno, praecisionem limitatam tantummodo obtineri posse, quum numeri Bernoulliani seriem hypergeometricam constituant, adeoque series illae, si modo satis longe extendantur, certo e convergentibus divergentes evadant. Ceterum negari nequit, theoriam talium serierum divergentium adhuc quibusdam difficultatibus premi, de quibus forsan alia occasione pluribus commentabimur.