Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/168

31.

Functio $\Psi z$ aeque fere memorabilis est atque functio $\Pi z,$ quapropter insigniores relationes ad illam spectantes hic colligemus. E differentiatione aequationis 44 fit

[63]	$\Psi (z+1)=\Psi z+{\frac {1}{z+1}}$

unde

[64]	$\Psi (z+n)=\Psi z+{\frac {1}{z+1}}+{\frac {1}{z+2}}+{\frac {1}{z+3}}+$etc.$+{\frac {1}{z+n}}$

Huius adiumento a valoribus minoribus ipsius $z$ ad maiores progredi, vel a maioribus ad minores regredi licet: pro valoribus maioribus positivis ipsius $z$ functionis valores numerici satis commode per formulas sequentes e differentiatione aequationum 58, 59 oriundas computantur, de quibus tamen eadem sunt tenenda, quae in art. 29 circa formulas 58 et 59 monuimus:

[65]	$\Psi z=\log z+{\frac {1}{2z}}-{\frac {\mathfrak {A}}{2zz}}+{\frac {\mathfrak {B}}{4z^{4}}}-{\frac {\mathfrak {E}}{6z^{\mathrm {6} }}}+$etc.
[66]	$\Psi (z-{\tfrac {1}{2}})=\log z+{\frac {\mathfrak {A}}{2.2zz}}-{\frac {7{\mathfrak {B}}}{4.8z^{4}}}+{\frac {31{\mathcal {E}}}{6.32z^{6}}}-$ etc.

Ita pro $z=10$ computavimus

$\Psi z=2{,}3517525890\;\;6672110764\;\;743$

unde regredimur ad

$\Psi 0=-0{,}5772156649\;\;0153286060\;\;653$^[1]

Pro valore integro positivo ipsius ${z}$ fit generaliter

[67]	$\Psi z=\Psi 0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+$ etc. $+{\tfrac {1}{z}}$

Pro valore integro negativo autem manifesto $\Psi z$ fit quantitas infinite magna.

1. Quum hic valor inde a figura vigesima discrepet ab eo quem computavit clar. Mascheroni in Adnotat. ad Euleri Calculum Integr., adhortatus sum Fridericum Bernhardum Gothofredum Nicolai, iuvenem in calculo indefessum, at computum illum repeteret ulteriusque extenderet. Invenit itaque per calculum duplicem, scilicet descendens tum a $z=50$ tum a $z=100,$
   $\Psi 0=-0,5772156649\;\;0153286060\;\;6512090082\;\;4024310421$
   Eidem calculatori exercitatissimo etiam debetur tabulae ad finem huius Sectionis annexae pars altera, exhibens valores functionis $\Psi z$ ad 18 figuras (quarum ultima haud certa), pro omnibus valoribus ipsius $z$ a $0$ usque ad $1$ per singulas partes centesimas. Ceterum methodi, per quas utraque tabula constructa est, innituntur partim theorematibus quae hic traduntur, partim calculi artificiis singularibus, quae alia occasione proferemus.