Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/23

est potestas binaria: ponatur potestas binaria proxime maior quam $n,$ $=2m,$ multipliceturque functio proposita per $2m-n$ factores simplices reales quoscunque. Ex resolubilitate producti in factores reales secundi gradus, nullo negotio derivatur, etiam functionem propositam in factores reales secundi vel primi gradus resolubilem esse debere.

8.

Contra hanc demonstrationem obiici potest

1. Regulam, secundum quam E. concludit, ex $2m-1$ aequationibus $2m-2$ incognitas $\alpha ,$ $\beta$ etc. $\lambda ,$ $\mu$ etc. omnes rationaliter determinari posse, neutiquam esse generalem, sed saepissime exceptionem pati. Si quis e.g. in art. 3, aliqua incognitarum tamquam cognita spectata, reliquas per hanc et coëfficientes datos rationaliter exprimere tentat, facile inveniet, hoc esse impossibile, nullamque quantitatum incognitarum aliter quam per aequationem $(m-1)^{ti}$ gradus determinari posse. Quamquam vero hic statim a priori perspici potest, illud necessario ita evenire debuisse: tamen merito dubitari posset, annon etiam in casu praesenti pro quibusdam valoribus m res eodem modo se habeat, ut incognitae $\alpha ,$ $\beta$ etc. $\lambda ,$ $\mu$ etc. ex $u,$ $B,$ $C$ etc. aliter quam per aequationem gradus forsan maioris quam $2m$ determineri nequeant. Pro eo casu, ubi aequatio $X=0$ est quarti gradus, E. valores rationales coëfficientium per $u$ et coëfficientes datos eruit; idem vero etiam in omnibus aequationibus altioribus fieri posse, utique explicatione ampliori egebat. Ceterum operae pretium esse videtur, in formulas illas, quae $\alpha ,$ $\beta$ etc. rationaliter per $u,B,C$ etc. exprimant, profundius et generalissime inquirere; de qua re aliisque ad eliminationis theoriam (argumentum haudquaquam exhaustum) pertinentibus alia occasione fusius agere suscipiam.

2. Etiamsi autem demonstratum fuerit, cuiusvis gradus sit aequatio $X=0,$ semper formulas inveniri posse, quae ipsas $\alpha ,$ $\beta ,$ etc. $\lambda ,$ $\mu$ etc. rationaliter per $u,$ $B,$ $C$ etc. exhibeant: tamen certum est, pro valoribus quibusdam determinatis coëfficientium $B,$ $C$ etc. formulas illas indeterminatas evadere posse, ita ut non solum impossibile sit, incognitas illas rationaliter ex $u,$ $B,$ $C$ etc. definire, sed adeo revera quibusdam in casibus valori alicui reali ipsius $u$ nulli valores reales ipsarum $\alpha ,$ $\beta$ etc. $\lambda ,$ $\mu$ etc. respondeant. Ad confirmationem huius rei brevitatis gratia ablego lectorem ad diss. ipsam E., ubi p. 236 aequatio quarti gradus fusius explicata est. Statim quisque videbit, formulas pro coëfficientibus $\alpha ,$ $\beta$ indeter-