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Ceterum conclusiones, quas E. ex suppositione sua elicuit, per has obiectiones haudquaquam suspectas reddere volo; quin potius certus sum, illas per methodum neque difficilem neque ab Euleriana multum diversam ita comprobari posse, ut nemini vel minimus scrupulus superesse debeat. Solam formam reprehendo, quae quamvis in inveniendis novis veritatibus magnae utilitatis esse possit, tamen in demonstrando, coram publico, minime probanda videtur.

4. Pro demonstratione assertionis, productum $pqr$ etc. ex coëfficientibus in $X$ rationaliter determinari posse, ill. E. nihil omnino attulit. Omnia, quae hac de re in aequationibus quarti gradus explicat, haec sunt (ubi ${\mathfrak {a}},$ ${\mathfrak {b}},$ ${\mathfrak {c}},$ ${\mathfrak {d}}$ sunt radices aequationis propositae $x^{4}+Bxx+Cx+D=0$):

'On m'objectera sans doute, que j'ai supposé ici, que la quantité $pqr$ était une quantité réelle, et que son quarré $ppqqrr$ était affirmatif; ce qui était encore douteux, vu que les racines ${\mathfrak {a}},$ ${\mathfrak {b}},$ ${\mathfrak {c}},$ ${\mathfrak {d}}$ étant imaginaires, il pourrait bien arriver, que le quarré de la quantité $pqr,$ qui en est composée, fut négatif. Or je réponds à cela que ce cas ne saurait jamais avoir lieu; car quelque imaginaires que soient les racines ${\mathfrak {a}},$ ${\mathfrak {b}},$ ${\mathfrak {c}},$ ${\mathfrak {d}},$ on sait pourtant, qu'il doit y avoir ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {d}}=0;$ ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {d}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {d}}+{\mathfrak {c}}{\mathfrak {d}}=B$; ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}{\mathfrak {d}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}{\mathfrak {d}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}{\mathfrak {d}}=-C$ ^[1]; ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}{\mathfrak {d}}=D,$ ces quantités $B,$ $C,$ $D$ étant réelles. Mais puisque $p={\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}},$ $q={\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}},$ $r={\mathfrak {a}}+{\mathfrak {d}},$ leur produit $pqr=({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}})({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {d}})$ est déterminable comme on sait, par les quantités $B,$ $C,$ $D,$ et sera par conséquent réel, tout comme nous avons vu, qu'il est effectivement $pqr=-C,$ et $ppqqrr=CC$. On reconnaîtra aisément de même, que dans les plus hautes équations cette même circonstance doit avoir lieu, et qu'on ne saurait me faire des objections de ce côté.' Conditionem, productum $pqr$ etc. rationaliter per $B,$ $C$ etc. determinari posse, E. nullibi adiecit, attamen semper subintellexisse videtur, quum absque illa demonstratio nullam vim habere possit. Iam verum quidem est in aequationibus quarti gradus, si productum $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}})({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {d}})$ evoluatur, obtineri ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {a}}({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {d}}){\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}{\mathfrak {d}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}{\mathfrak {d}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}{\mathfrak {d}}=-C,$ attamen non satis perspicuum videtur, quomodo in omnibus aequationibus superioribus productum rationaliter

mento longe quidem diverso, nihilominus tamen analogo, licentiam similem prorsus eodem iure usurpare potuissem, ut hic in aequationibus ab omnibus analystis factum est. Quamquam vero plurium veritatum demonstrationes adiumento talium fictionum paucis verbis absolvere licuisset, quae absque bis perquam difficiles evadunt et subtilissima artificia requirunt, tamen illis omnino abstinere malui, speroque, paucis me satisfacturum fuisse, si analystarum methodum imitatus essem.

1. E. per errorem habet $C,$ unde etiam postea perperam statuit $pqr=C$.