Theorema praecedens plerumque adiumento quantitatum imaginariarum demonstratur, vid. Euler Introd. in Anal. Inf. T. I. p.110; operae pretium esse duxi, ostendere, quomodo aeque facile absque illarum auxilio erui possit. Manifestum iam est, ad demonstrationem theorematis nostri nihil aliud requiri quam ut ostendatur: Proposita functione quacunque formae et ita determinari posse, ut aequationes [1] et [2] locum habeant. Hinc enim sequetur, habere factorem realem primi vel secundi gradus; divisio autem necessario producet quotientem realem inferioris gradus, qui ex eadem ratione quoque factorem primi vel secundi gradus habebit. Per continuationem huius operationis tandem in factores reales simplices vel duplices resolvetur. Illud itaque theorema demonstrare, propositum est sequentium disquisitionum.
Concipiatur planum fixum infinitum (planum tabulae, fig. 1), et in hoc recta fixa infinita per punctum fixum transiens. Assumta aliqua longitudine pro unitate ut omnes rectae per numeros exprimi possint, erigatur in quovis puncto plani cuius distantia a centro est angulusque perpendiculum aequale valori expressionis quem brevitatis gratia in sequentibus semper per designabo. Distantiam semper tamquam positivam considero, et pro punctis, quae axi ab altera parte iacent, angulus aut tamquam duobus rectis maior, aut tamquam negativus (quod hic eodem redit) spectari debet. Extremitates horum perpendiculorum (quae pro valore positive ipsius supra planum accipiendae sunt, pro negativo infra, pro evanescente in plano ipso) erunt ad superficiem curvam continuam quaquaversum infinitam, quam brevitatis gratia in sequentibus superficiem primam vocabo. Prorsus simili modo ad idem planum et centrum eundemque axem referatur alia superficies, cuius altitudo supra quodvis plani punctum sit quam expressionem brevitatis gratia semper per denotabo. Superficiem vero hanc, quae etiam continua et quaquaversum infinita erit, per denominationem
