Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/348

rentiam circuli pro radio $1.$ Statuendo itaque distantiam puncti attracti a puncto orbitae $=\rho ,$ attractio ab orbitae elemento producta erit

$$={\frac {(1-e\cos E)\operatorname {d} E}{2\pi \rho \rho }}$$

Designabimus semiaxem maiorem per $a,$ semiaxem minorem per $b,$ atque illum tamquam lineam abscissarum, centrumque ellipsis tamquam initium adoptabimus. Hinc erit $aa-bb=aaee,$ abscissa puncti orbitae $=a\cos E,$ ordinata $=b\sin E.$ Denique distantiam puncti attracti a plano orbitae denotabimus per $C,$ atque coordinatas reliquas axi maiori et minori parallelas per $A$ et $B.$ His ita praeparatis, attractio elementi orbitae decomponetur in duas axi maiori et minori parallelas atque tertiam plano orbitae normalem, puta

${\begin{aligned}{\frac {(A-a\cos E)(1-e\cos E)\operatorname {d} E}{2\pi \rho ^{3}}}&=\operatorname {d} \xi \\{\frac {(B-b\sin E)(1-e\cos E)\operatorname {d} E}{2\pi \rho ^{3}}}&=\operatorname {d} \eta \\{\frac {C(1-e\cos E)\operatorname {d} E}{2\pi \rho ^{3}}}&=\operatorname {d} \zeta \end{aligned}}$

ubi ${\textstyle \rho ={\sqrt {(A-a\cos E)^{2}+(B-b\sin E)^{2}+CC}}.}$

Integratis hisce differentialibus ab $E=0$ usque ad $E=360^{\circ },$ prodibunt attractiones partiales $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ secundum directiones, directionibus coordinatarum oppositas, e quibus attractio integra composita erit, et quas per methodum notam ad quaslibet alias directiones referre licebit.

3.

Rei summa iam in eo versatur, ut introducta loco ipsius $E$ alia variabili, quantitas radicalis in formam simpliciorem redigatur. Ad hunc finem statuemus

$\cos E={\frac {\alpha +\alpha ^{\prime }\cos T+\alpha ^{\prime \prime }\sin T}{\gamma +\gamma ^{\prime }\cos T+\gamma ^{\prime \prime }\sin T}},\quad \sin E={\frac {\beta +\beta ^{\prime }\cos T+\beta ^{\prime \prime }\sin T}{\gamma +\gamma ^{\prime }\cos T+\gamma ^{\prime \prime }\sin T}}$

ubi autem novem coëfficientes $\alpha ,$ $\alpha ^{\prime },$ $\alpha ^{\prime \prime }$ etc. manifesto non sunt penitus arbitrarii, sed certis conditionibus satisfacere debent, quas ante omnia perscrutari oportet. Primo observamus, substitutionem eandem manere, si omnes coëfficientes per eundem factorem multiplicentur, ita ut absque generalitatis detrimento uni ex ipsis valorem determinatum tribuere, e.g. statuere liceret $\gamma =1{:}$ attamen concinnitatis caussa omnes novem aliquantisper indefiniti maneant. Porro monemus, ex-