Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/356

IV. Quoties itaque $0$ non est inter radices aequationis nostrae, aderunt necessario radix una positiva cum duabus negativis. Quoties vero $C=0,$ adeoque $0$ una radicum, reliquas complectetur aequatio

$xx-(AA+BB-aa-bb)x+aabb-aaBB-bbAA=0$

unde hae radices exprimentur per

${\tfrac {1}{2}}(AA+BB-aa-bb)\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(AA-BB-aa+bb)^{2}+4AABB}}$

Tres casus hic iterum distinguere oportebit.

Primo si terminus ultimus $aabb-aaBB-bbAA$ est positivus (i.e. si punctum attractum in plano ellipsis attrahentis intra curvam iacet), ambae radices, quum reales esse debeant, eodem signo affectae erunt, adeoque quum simul positivae esse nequeant, necessario erunt negativae. Ceterum hoc etiam independenter ab iis, quae iam demonstrata sunt, inde concludi potest, quod coëfficiens medius, quem ita exhibere licet

$(aabb-aaBB-bbAA)\left({\frac {1}{aa}}+{\frac {1}{bb}}\right)+{\frac {bbAA}{aa}}+{\frac {aabB}{bb}}$

manifesto in hoc casu sit positivus.

Secundo, si terminus ultimus est negativus, sive punctum attractum in plano ellipsis extra curvam situm, necessario altera radix positiva erit, altera negativa.

Tertio autem, si terminus ultimus ipse evanesceret, sive punctum attractum in ipsa ellipsis circumferentia iaceret, etiam radix secunda fieret $=0,$ atque tertia

$=-{\frac {bbAA}{aa}}-{\frac {aaBB}{bb}}$

i.e. negativa. Ceterum hunc casum, physice impossibilem, et in quo attractio ipsa infinite magna evaderet, a disquisitione nostra, hocce saltem loco, excludemus.

7.

Ad determinandos coëfficientes $\gamma ,$ $\gamma ^{\prime },$ $\gamma ^{\prime \prime },$ ex aequationibus 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10 invenimus