Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/36

usque ad intervallum inter $(8m-1)$ et (1) incl., ita ut omnino in $2m$ punctis habeatur $T=0.$ Q.E.P.

II. Quod vero praeter haec $2m$ puncta, alia, hac proprietate praedita, non dantur, ita cognoscitur. Quum inter (1) et (3); inter (5) et (7) etc. nulla sint, aliter fieri non posset, ut plura talia puncta exstent, quam si in aliquo intervallo inter (3) et (5), vel inter (7) et (9) etc. ad minimum duo iacerent. Tum vero necessario in eodem intervallo $T$ alicubi esset \textit{maximum} vel \textit{minimum}, adeoque ${\tfrac {dT}{d\varphi }}=0.$ Sed ${\tfrac {dT}{d\varphi }}=mR^{m-2}(R\cos m\varphi +{\tfrac {m-1}{m}}A\cos(m-1)\varphi +{\text{etc.}}$) et $\cos m\varphi$ inter (3) et (5) semper est negativus et $>\surd {\tfrac {1}{2}}.$ Unde facile perspicitur, in toto hoc intervallo ${\tfrac {dT}{d\varphi }}$ esse quantitatem negativam; eodemque modo inter (7) et (9) ubique positivam; inter (11) et (13) negativam etc., ita ut in nullo herum intervallorum esse possit $0,$ adeoque suppositio consistere nequeat. Quare etc. Q.E.S.

III. Prorsus simili modo demonstratur, $U$ habere valorem negativum ubique inter (3) et (5), inter (11) et (13) etc. et generaliter inter $(8k+3)$ et $8k+5;$ positivum vero inter (7) et (9), inter (15) et (17) etc. et generaliter inter $(8k+7)$ et $(8k+9).$ Hinc statim sequitur, $U=0$ fieri debere alicubi inter (1) et (3), inter (5) et (7) etc., i.e. in $2m$ punctis. In nullo vero herum intervallorum fieri poterit ${\tfrac {dU}{d\varphi }}=0$ (quod facile simili modo ut supra probatur): quamobrem plura quam illa $2m$ puncta in circuli peripheria non dabuntur, in quibus fiat $U=0$ Q.E.T. et Q.

Ceterum ea theorematis pars, secundum quam plura quam $2m$ puncta non dantur, in quibus $T=0,$ neque plura quam $2m,$ in quibus $U=0,$ etiam inde demonstrari potest, quod per aequationes $T=0,$ $U=0$ exhibentur curvae $m^{ti}$ ordinis, quales a circulo tamquam curva secundi ordinis in pluribus quam $2m$ punctis secari non posse, ex geometria sublimiori constat.

20.

Si circulus alius radio maiori quam $R$ ex eodem centro describitur, eodemque modo dividitur: etiam in hoc inter puncta (3) et (5) iacebit punctum unum, in quo $T=0,$ itemque inter (7) et (9) etc., perspicieturque facile, quo minus radius huius circuli a radio $R$ differat, eo propius huiusmodi puncta inter (3) et (5) in utriusque circumferentia sita esse debere. Idem etiam locum habebit, si circulus radio aliquantum minori quam $R,$ attamen maiori quam $S\surd {2}$ et $1,$ describitur. Ex bis nullo negotio intelligitur, circuli radio $R$ descripti circumferen-