Pagina:Werkecarlf03gausrich.djvu/50

in $\rho .$ Facile insuper ostenditur, hoc unico tantum modo fieri posse. Supponamus enim, e duabus functionibus diversis indeterminatarum $l',$ $l'',$ $l'''$ etc. puta tum ex $r,$ tum ex $r'$ post substitutiones $l'=\lambda ',$ $l''=\lambda '',$ $l'''=\lambda '''$ etc. resultare eandem functionem ipsarum $a$, $b$, $c$ etc. Tunc itaque $r-r'$ erit functio ipsarum $l',$ $l'',$ $l'''$ etc. per se non evanescens, sed quae identice destruitur post illas substitutiones. Hoc vero absurdum esse, facile perspiciemus, si perpendamus, $r-r'$ necessario compositam esse e certo numero partium formae $$M{l'}^{\alpha }{l''}^{\beta }{l'''}^{\gamma }.\dots .$$ quarum coëfficientes $M$ non evanescant, et quae singulae respectu exponentium inter se diversae sint, adeoque terminos altissimos e singulis istis partibus prodeuntes exhiberi per $$Ma^{\alpha +\beta +\gamma +{\text{etc.}}}b^{\beta +\gamma +{\textrm {etc.}}}c^{\gamma +{\textrm {etc.}}}.\dots .$$ et proin ad ordines diversos referendos esse, ita ut terminus absolute altissimus nuUo modo destrui possit.

Ceterum ipse calculus pro huiusmodi transformationibus pluribus compendiis insigniter abbreviari posset, quibus tamen hoc loco non immoramur, quum ad propositum nostrum sola transformationis possibilitas iam sufficiat.

6.

Consideremus productum ex $m(m-1)$ factoribus $${\begin{array}{rl}&(a-b)(a-c)(a-d).\dots .\\\times &(b-a)(b-c)(b-d).\dots .\\\times &(c-a)(c-b)(c-d).\dots .\\\times &(d-a)(d-b)(d-c).\dots .\\&{\textrm {etc.}}\end{array}}$$ quod per $\pi$ denotabimus, et, quum indeterminatas $a,$ $b,$ $c$ etc. symmetrice involvat, in formam functionis ipsarum $\lambda ',$ $\lambda '',$ $\lambda '''$ etc. redactum supponemus. Transeat haec functio in $p$, si loco ipsarum $\lambda ',$ $\lambda '',$ $\lambda '''$ etc. resp. substituuntur $l'$, $l''$, $l'''$ etc. His ita factis, ipsam $p$ vocabimus \textit{determinantem} functionis $$y=x^{m}-l'x^{m-1}+l''x^{m-2}-l'''x^{m-3}+{\text{etc.}}$$