Scholia enchiriadis (Hucbaldus S. Amandi)

by Hucbaldus S. Amandi

Hucbaldus S. Amandi

Scholia enchiriadis

saeculo X

editio: J. P. Migne
fons: Corpus Corporum

Migne Patrologia Latina Tomus 132

Scholia enchiriadis

Scholia enchiriadis (Hucbaldus S. Amandi), J. P. Migne 132.1011C

DE ARTE MUSICA.

  132.0981D| Discipulus. Musica quid est?

  Magister. Bene modulandi scientia.

  M. Melos suavi sono moderari. Sed haec quantum

  D. Bene modulari quid est?

  ad artem. Caeterum non bene modulari video, si quis in vanis suavitate artis abutitur; quemadmodum nec ipse, qui, ubi oportet, arte uti non novit: quamvis quilibet devoto tantum corde Domino dulce canit.

  D. Ita puto.

  132.0982D| M. Recte putas, non nisi bono usu dulcia mela bene fieri: nec rursum sacris melis bene uti, si sine disciplina injucundius proferantur. Quocirca cum ecclesiasticis canticis haec disciplina vel maxime necessaria sit, ne incuria vel imperitia deturpentur, videamus, quibus rebus opus sit ad bene modulandi facultatem.

  D. Video plura esse, quae cantorem observare oporteat; quae si non noverit, peritus esse non poerit. 132.0983A| Sed tuum est, haec certius exponere.

  M. Alia sunt, quae sibi sonorum proprietas postulat; alia, quae numerositatis poscit ratio: alia, quibus extrinsecus occurrentibus disciplina canendi sese apte conformat.

  D. Hi soni qui sunt?

  M. Sonos hic phthongos dicimus, id est, voculas in canore concordes, quae sunt harmoniae elementa. Etenim sicut loquela litteris, ita constat phthongis harmonia.

  D. Quae sunt, quae sibi sonorum proprietas poscit!

  M. Ne quid in eis vitiata naturali qualitate absonum fiat.

  D. Quomodo fit haec absonia in phthongis?

  M. Si aut ignavius pronuntientur, aut acutius, 132.0983B| quam oportet. Primo namque hoc vitio in humanis vocibus et sonorum qualitas, et tota laeditur cantilena. Quod fit, ubi, quod canitur, aut segni remissione gravescit, aut non rite in sursum cogitur. Quod vitium in quibuslibet musicis instrumentis nequit fieri; eo quod, disposito semel phthongorum ordine, vox sua sonis singulis manet. Alia fit dissonantia, quando sonus a sono falso metitur, id est, alius pro alio. Tertia dissonantia fit, quando sonus non respondet sono, quoto loco oportet. Et haec duo vitia ex eadem quidem causa nascuntur; sed in hoc differunt, quod illud in eadem fit neuma, hoc vero in praecinendo et respondendo.

  D. Haec duo vitia quomodo eveniant, expone.

  M. Quatuor sonitibus competenter sibi diversis 132.0983C| dum constet harmonia, quisque in suo tantum ordine propriam retinet qualitatem, nec in sua sede alteri dat locum: quorum seriem puto jam notam tenes.

  D. Tuae potius insinuationi omnia committo: eos sonos te canente audiam.

  M. Ecce canam:

  Sic se in iusum habent.

  132.0983D| Sic se in sursum habent.

  Indita sunt eis antiquitus nomina, Primo, id est, gravissimo, Protos vel archoos: Secundo Deuteros, qui tono distat a Proto: Tertio Tritos, qui semitonio distat a Deutero: Quarto Tetrardos, qui rursus a Trito tono distinguitur. Signis quoque hujusmodi notantur, Primo est nota F dasian, inclinum S. ad caput, ita . Secundo c. versum ad caput, ita . Tertio iota simplex et inclinum, ita /. Quarto c. supinum ad caput, ita .

  D. Quomodo his quatuor tantum harmonia, ac non potius sonorum constat multitudine?

  132.0984A| M. Videlicet innumerabiles sunt cantilenarum soni. Sed quaternis et quaternis ejusdem conditionis in levando et deponendo sese consequentibus sonorum pluralitas accrescit; id quoque me canente proba: .

  Sic ergo in omni concordi sonorum serie per haec veluti tetrachorda et in sursum cantilena, et in iusum vadit, et quaternae socialiter sibi diversae voculae tamdiu competente sibi successione cohaerent, donec vel nimium attenuatae deficiant, vel gravatione conticescant. Praeterea soni singuli ex praedictis quatuor suis tetrachordis praesident suis item pentachordis. Tetrachordis scilicet, dum per unumquemque eorum quaterni in ordine deponuntur ita: 132.0984B|

  132.0984C| Pentachordis autem: dum uno ad superiorem partem addito, idem fit primus, qui et extremus ita: 132.0984D|

  Quod itaque sono archoo incipit ac finitur, Pentachordum primum vocamus, et constat duobus tonis, semitonio et tono. Quod sono deutero, pentachordum secundum; et constat tribus tonis et semitonio. Quod sono / trito, pentachordum tertium; et constat semitonio atque tribus tonis. Quod sono tetrardo, pentachordum quartum; et constat tono ac semitonio, et duobus tonis.

  D. Quid vero semitonium?

  132.0985A| M. Semitonia vel limmata dicimus non plena sonorum spatia: quae tamen suo loco posita et suam sonis proprietatem tribuunt, et in concordiae suavitate cantilenam continent; non suo autem loco posita, dissentire faciunt mela. Nam sciendum, in sonorum serie tunc naturalem ordinari qualitatem, dum naturali ad invicem spatio metiuntur. At si falso metiatur sonus a sono, in aliam mox qualitatem migrat, ceptumque transvertit ordinem. Et haec ex supradictis duobus vitiis prior dissonantia est.

  D. Lucida, quaeso, exemplificatione aperias, qualiter hujusmodi absonia sese habeat?

  M. Tentabo, prout possum, tu attentus adsis. Sonus deuterus cum semper intervallo semitonii subjugatur trito /; tritus vero a superiore sui parte 132.0985B| tetrardo, deuterus vero ab inferiore parte sui habeat (protum) ita: notabis in quolibet tetrachordo hos duos phthongos tetrardum et protum. Si enim ascendendo in sursum proxime post protum sonum metiatur tritus, veluti post deuterum, haec una erit absonia. Item si descendendo in jusum proxime post tetrardum sonum metiatur deuterus, veluti post / tritum, haec altera erit absonia.

  D. Qualiter?

  M. Dic recensendo in sursum pentachordum a tetrardo, ut eisdem descendas gradibus. 132.0985C|

  D. Dixi.

  M. Idem et ergo dicam: mox subjungens aliud, ubi aliquid a priori ordine transmutetur, videlicet loco tertio, quasi post deuterum, metiendo tritum, ita 132.0985D| Num quidnam sentis, haec gemina pentachorda ad invicem non consentire?

  132.0986A| D. Sentio plane, et deprehendo, non redire pentachordum secundum ordinem, quo coeptum est.

  M. Ita est: a tetrardo enim incipiens, in archoon devenit, quia in priori latere non pervenit ad mensuram deuteri ; sed breviori intervallo sonus / tritus loco deuteri mensuratur, quod linea non paginula interjecta designat. Dic etiam pentachordum a proto 132.0986B|

  D. Dixi.

  M. Dicam et ego hoc idem; dehinc paululum ab hoc ordine declinans in sequenti latere deuterum sonum tetrardo quasi trito / subjungam ita: 132.0986C|

  Sensisti, et hic pentachordum ab ordine declinasse, nec reverti, ut cepit?

  D. Sensi utique.

  M. Vides ne proto sono inchoatum tetrardo finiri?

  D. Prorsus video.

  M. Attente etiam, quomodo, si utrumque latus per haec non plena intervalla laesero, rursus ad sonum, a quo coepit, redeat? Sit pentachordum tetrardi 132.0986D|

  Hoccine sensui tuo patuit?

  D. Patet prorsus et describendo oculis, et sonando auribus, in neutro latere ordinem perstitisse.

  M. Limmata ergo haec non plena spatia vocari solent, et per ea interdum idem modus a modo 132.0987A| transfertur, vel per eadem restituitur. Sicut in cantibus satis observari poterit.

  D. Num pro vitiis ea reputabimus?

  M. Vitia nimirum sunt. Sed sicut barbarismi et soloecismi metris plerumque figuraliter intermiscentur, ita limmata interdum de industria cantibus inseruntur. Sed adhuc alia videamus. Tertia enim fit absonia primae contraria: utpote si in priore latere a deutero veluti a proto alius metiatur deuter abusivo spatio, id est, justo longiore. Sit itaque rursus pentachordum tetrardi, cui haec vitii species subjungatur. 132.0987B|

  D. Deprehendo et absoniam istam.

  M. Vide et quartam absoniae formam in hoc genere, quae est contraria secundae, id est, si in sequenti latere / a trito quasi a tetrardo tritus alius metiatur. Sit pentachordum a proto: 132.0987C|

  D. Et id dinosco, quia pro eo, quod a / trito sono deuterus metiretur, abusive tritus a / trito, quasi a tetrardo longiori, quam oportuit, spatio metiatur.

  M. Quod si etiam tale pentachordum subjungamus, 132.0987D| quod his vitiis utroque laedatur latere, hujus modi absonia erit. Sit pentachordum tetrardi:

  D. Absonum certe, nec suave quid resonas.

  132.0988A| M. Hoc ergo intellecto, qualiter sonus a sono falso metitur, videamus, quomodo et hoc eveniat ut si, quotis locis oportet, soni ad sonos non respondeant, concordantia ad invicem mela non resonent.

  D. Et id utique posco.

  M. Huc, inquam, ades, ac vide, quomodo in tetrachordis vel pentachordis quaternae varietatis ordo disponitur, ut quotus ab alio quolibet constet sonus, liquido contempleris. Nam sicut in coloribus, si sint quaterni et quaterni locati ex ordine, in lineaque dispositi, verbi gratia, rubeus, viridis, gilbus, niger, necesse est, ut quisque color tribus aliis interpositis per quintana loca reperiatur: ita et in sonis evenit, ut dum sese nova semper iteratione consequuntur, cuique in utramque partem quintis locis a suo compare 132.0988B| respondeatur.

  D. Quomodo, inquis, compares, qui acumine et gravitate dispares sunt?

  M. Acumine quidem sunt et gravitate differentes, quadam tamen sibi sunt naturali socialitate concordes, Deinde sonus quisque, quem in hoc aut illo latere secundum habet, in alio latere habet quartum: quem tertium in hoc latere, eumdem tertium in alio. Sed haec dixerim juxta quod in continuatione tetrachordorum quaternae varietatis ordo disponitur.

  D. Ad dignoscendum autem, quis sonus ille vel ille sit, velim cognoscere in singulis suae proprietatem qualitatis.

  132.0988C| M. Jure id poscis. Etenim luculenta prius sonorum proprietatis qualitate, minus erratur in caeteris. Sed haec posse dignoscere, facile exercitatione obtinebitur. Ergo sume aliquid canere, quod in sonum, verbi gratia, archum finiat. Aliud mox subjungendum, quod ab eodem sono incipiat, vel a suo compare superiore sive inferiore; sive inchoet a sono tetrardo, aut a sono deutero. Igitur nisi id, quod subjungendum est, et sono archoo incipit, aut aequale ponas cum finali sono praecedentis meli, eodem dumtaxat archoo aut quinto loco superius, seu quinto loco inferius. Id autem quod a sono tetrardo inchoat, aut secundo loco inferius, aut tertio loco superius. Porro id quod a sono / trito inchoat, aut tertio loco inferius, aut tertio loco 132.0988D| superius. At vero illud quod a sono deutero incipit, aut secundo superius, aut quarto loco inferius, ad subjectam sonorum descriptionem; minime id, quod subsequitur, concordare potest cum eo, quod praecedit.

  Et in omnibus sonis idem evenit, ut scilicet in uno concordiae corpore convenire nequeat, quod subinfertur, quodque praecinitur, si supra vel infra mutuo copulentur, qua finem hujus et initium illius mensura propria metitur. Quapropter ubi oportet, ut haec concordia observetur, necesse est, finientes et incipientes soni naturali ad invicem ordine metiantur, ubi vero id negligitur, vel opus non est observari, in semetipsis quidem, quae canuntur. sonis 132.0989A| concordibus ire possunt: sibimet vero subjuncta concordabiliter ad invicem uniri non possunt, sed cantoris peritiae esse debet ad sciendum, ubi aliud post aliud concorditer subjungi conveniat, vel ubi necesse non sit. Et de hac quoque discrepantia satis dictum. Sciendum tamen, quod prima concordatio haec est, quae fit praefato modo ad meli ductum. Altera est concordatio paulo minor, dum vel elationis difficultatem mitigare volentes, vel submissiorem gravitatem erigere, aut in sursum aut in jusum quintana transpositione subjungimus. Est et tertia concordatio, quae fit octava regione sonorum, id est, dum in novam vocem vel acutiorem melos mutamus. Atque his collationibus cantionum quaedam unanimitas servari potest, aliter autem non potest, 132.0989B| nisi forte ex integro melum quodlibet in modum alium transponendo mutetur. Si melum quodlibet in eadem sonorum serie unius aut duorum seu trium sonorum spatio acutius aut gravius transposueris, simul etiam tropi modus in aliam speciem migrat.

  D. Da exemplum hujus migrationis.

  M. Quomodo si tetrachorda vel pentachorda quina in ordine cecinero hoc modo: 132.0989C|

  Quemadmodum, inquam, ita canendo proti modi 132.0989D| pentachordum uno spatio acutius factum in deuteri pentachordum mutatur, a deutero in tritum transit, a trito in tetrardum, a tetrardo rursus redit in protum: ita quidquid uno vel duobus seu tribus tonis ex integro altius graviusque transposueris, simul in modum alium transmutabitur.

  Exempli gratia, usitata neuma regularis ad primum tonum haec est:

  Ergo hujus neumae regularis si totam constitutionem uno spatio altiorem fecero, mox ex proto tono deuterus fiet. Similiter a deutero transposita, in tritum modum deveniet. Rursus a trito tono si uno levetur spatio, tetrardus succedit. Adhuc unius spatii acumen si acceperit, protus denuo nascitur. Quid si descriptiunculis quoque haec eadem exemplificarentur, 132.0990A| nonne apertiora quaeque fierent, veluti posita sub aspectum?

  D. Ita nimirum est.

  M. Quinas ergo descriptiunculas linealiter disponamus, quae gradatim sibi cohaerentes hujusmodi tonorum transpositiones exprimant hoc modo: 132.0990B|

  132.0990D| Prima descriptiuncula proti modi , secunda deuteri , tertia triti / quarta retrardi ; quinta rursus ejusdem quae prima. Atque ad hunc modum, ut dictum est, quodcumque melum transposueris, in aliam modi speciem mox vertetur. Et si major sit tropi mutatio, major quoque tropus erit, in quemcumque fuerit transmutatus.

  Tropi autem vel modi sunt, quos abusive tonos dicunt. Quorum singulorum differentiam numerumque puto jam didiceris.

  D. Atqui didici.

  M. Dic mela quaelibet ad primum modum, ad secundum quoque et reliquos.

  D. Ecce modus primus. Ecce secundus. En tertius. En etiam quartus.

  M. Dic nunc, quomodo quadam diversitate ab 132.0991A| invicem differre auribus judicantur, quae sit causa diversitatis?

  D. Diversi quidem ab invicem discernibili quadam suae proprietatis specie sentiuntur. Sed qua ex causa eveniat, miror.

  M. Ut hoc aliquantulum patere incipiat, da tetrachordum, vel certe pentachordum primum.

  D. Ecce cecini.

  M. Huc adhibe proti, quos volueris, / modos, et videbis omnia, quae ad protum modum canuntur, sono proto finiri.

  D. Sic equidem video.

  M. Da nunc aliud pentachordum, quod sit uno spatio altius, incipiens a sono deutero, et in eo 132.0991B| consistens.

  D. Et hoc ita canitur:

  M. Cane et mela modi deuteri, et confer cum sono deutero, si in ipso forte finiantur.

  D. Faciunt utique. /

  M. Da nunc tertium pentachordum, bino altius spatio, quod scilicet a sono trito / incipiat, et in idipsum deponatur.

  D. Et hoc hujusmodi est. /

  M. Huc adhibe tritos modos, et trito sono / terminari invenies.

  D. Ita certe.

  M. Da nunc altius spatiis tribus, id est / a sono tetrardo pentachordum quartum.

  132.0991C| D. Id hoc modo fit:

  M. Vide nunc tetrardos modos, an eos sentias / in tetrardo sono consistere.

  D. Sentio verissime.

  M. Da nunc pentachordum quintum, et rursus novo tetrachordo idem sonorum ordo modorumque revertitur.

  D. Et hoc certe mirandum.

  M. Virtus ergo sonorum quaeque mela modificat. Quapropter nota nunc tibi in quatuor illis phthongis vim varietatis mirabilem et suam cuique faciem, qua singuli ad invicem diversitate differant, et secundum se modorum faciant differentias.

  D. Haec quidem utcumque videre me videor. Miror 132.0991D| autem, cum octo computari soleant, tu his sonis non magis quam quatuor procreari dixeris.

  M. Octo constat modos nos solere computare, ita tamen, ut bini modi, id est, major cum minore a singulis in tetrachordo sonitibus moderentur, et ob hoc uni deputentur modo, qui eodem reguntur sono, scilicet archoo vel proto, autentus protus et plagis: deutero deuterus autentus et plagis: / trito autentus tritus et plagis: tetrardo tetrardus autentus et plagis. Sane autentum dicimus auctoralem, 132.0992A| plagin subjugalem seu lateralem. Sic igitur singuli et suae proprietatis qualitate sunt dinoscibiles, et suis quique tetrachordis et pentachordis praesident, et, ut dictum est, tonos modosve discernunt.

  D. Ergone solius soni finalis virtus quemlibet modum efficit, ut ob id tropus vel modus illius aut illius soni dicendus sit, quod in eo finis meli constiterit?

  M. Praecipue quidem videtur vis cujuslibet tropi ob id in quolibet finali sono consistere, quod in eo tropus finiendo constiterit; additur hoc tamen, quod sonus idem finalis et sociales sui frequentiores in commatum vel colorum fine versantur. Sociales autem suos quisque sonus non solum quintis habet regionibus, sed et quartis locis alios sibi quaerit 132.0992B| compares, qui tertiae symphoniae locus est. Itaque in particulis, quae membra sunt cantionis, pene semper cola vel commata has in levando aut in deponendo sonorum socialitates petunt, et in eas vel arsis quaerit attingere, vel thesis. Exemplorum satis legitima mela adferunt, quae ne longius quaeramus, aspice quam in manibus tenemus neumam regularem, vel particulam, quam duo commata perficiunt.

  Ac vide, quomodo in quartos sonos utriusque commatis positio vergat, et particula a quo sono initium levat, in eumdem in fine deponat. Cola autem dicimus majores particulas, duo seu tria vel 132.0992C| plura commata continentes, quae etiam opportunas quasdam sui distinctiones praebent. Porro commata, sibi in levationibus ac positionibus cohaerentia, colon peragunt; tamen est interdum, ubi indifferenter colon sive comma dici potest.

  D. Quid inter se majores minoresve toni differunt, eodem quidem sono finiti, eodem gubernati?

  M. Quae super his dicenda sunt, commodius dicemus, si prius proprias sonorum notulas describamus. Decem et octo namque sonis notas ponimus, id est, tetrachordis quatuor, et dimidio tetrachordo. Primum quidem, quod est humilius, grave tetrachordum nuncupamus, secundum finale, tertium superius, quartum excellens. Sane illas voculas, 132.0992D| quas finales vocamus, eis notulis designamus, quas supra descripsimus, ita ; graves autem eisdem fere, sed retro spectantibus figuris, ita ; Superiores gyratis in jusum finalibus, ita ; Excellentes gyratis in jusum gravibus, ita . Tritus sonus excipitur, qui in gravibus habet N inclinum N; in superioribus N versum et inclinum ; in excellentibus iota transfixum X. Residuas binas voces jacentibus notis exprimimus qui in ordine disponantur ita: 132.0991|

  132.0991D| D. Unde possum dinoscere, qui sint finales, qui superiores, vel illius aut illius ordinis?

  M. Omne musicum ad aliquid esse constat: nam 132.0992D| nec sonus musicus esse potest sine adjunctione alterius soni, ad quem naturali spatio musicum sonat. Sicut ergo ad aliquid per se non intelligitur, ita 132.0993A| cum aliquot soni absolute numerantur, nec superiores jure possunt, nec finales dici, seu alterius cujusque ordinis. Sed cum necesse sit, ut, quidquid rite canitur, altius graviusque in uno ipsorum quatuor finiatur, in quolibet eorum finiendum est, ipse cum caeteris sui tetrachordi sonitibus finalis obtinet nomen. Et hinc alia tetrachorda sumunt ordinem. Ab eodem etiam sono, ut sit major tonus aut minor, mensuram accipit. Cum enim inferiorem quemque tonum non quinto loco valeamus altiorem ponere, et superiorem quinto loco graviorem, ut supra monstratum est, profecto non secundum id superior dicitur aut inferior, quod altius aut inferius alter canatur ab altero; sed secundum id, quo sese utrique toni ad sonum finalem habent; habent autem hoc 132.0993B| modo. A finali sono aequalis potestas est minori tono in superiora atque inferiora, id est, in utroque latere pertingendi usque ad sonos quintos. Non quod semper id eveniat, sed quod haec spatii ejus sit potestas. Jam vero si ad superiorem partem quintum sonum systemate transierit, majori tono deputari solet. Major autem systematis duplum habet spatium in superioribus, id est usque in nonum sonum.

  D. Systema quid est?

  M. In colis vel commatibus diastemata dicimus, systemata in particulis perfectioribus, seu tota periodo. Nam diastema est spatium quodlibet sonorum, quo particula complectitur, id est quo acuta et gravior vox includitur: systema totius spatium meli. Item systemata sunt species tetrachordorum, 132.0993C| pentachordorum, octochordorum, quae modis singulis suas dant species.

  D. Quare unum tetrachordum sub finalibus sonis constituitur, super finales duo?

  M. Quia sive altiore sive submissiore voce canatur quodlibet simplex ac legitimum melos, nonnisi ad quintum sonum a finali suo deponitur, nec nisi in nonum usque ascendit.

  Et hactenus de discrepantiarum generibus devitandis superius dicta terminata sunt: nunc deinde quae pro exornatione melodiae donante Deo dicenda sunt, prosequemur. Ac inprimis videndum, ut numerose quodlibet melum promatur.

  D. Quid est numerose canere?

  M. Ut attendatur, ubi productioribus, ubi brevioribus 132.0993D| morulis utendum sit. Quatenus uti quae syllabae breves, quae sunt longae, attenditur; ita qui soni producti quique correpti esse debeant, ut ea, quae diu, ad ea, quae non diu, legitime concurrant; et veluti metricis pedibus cantilena plaudatur. Age canamus exercitii usu; plaudam pedes ego in praecinendo, tu sequendo imitabere.

  Ego sum via veritas et vita Alleluia Alleluia.

  132.0994A| Solae in tribus membris ultimae longae, reliquae breves sunt. Sic itaque numerose est canere, longis brevibusque sonis ratas morulas metiri, nec per loca protrahere vel contrahere magis quam oportet, sed infra scandendi legem vocem continere, ut possit melum ea finiri mora, qua cepit. Verum si aliquotiens causa variationis mutare moram velle, id est, circa initium aut finem protensiorem vel incitatiorem cursum facere, duplo id feceris, id est, ut productam moram in duplo correptiore seu correptam immutes, duplo longiore.

  D. Puto, tentare horum quaeque expedit, et in usum vertere.

  M. Recte putas: ob hoc sumamus melum quod vis canere, nunc correptius, nunc productius; ita ut morulae, 132.0994B| quae nunc sunt productae correptis suis, nunc item fiant pro correptis ad eas, quae fuerint productiores se. Canamus modo: prima fit mora correptior, subjungatur producta, tunc correpta iterum.

  Ego sum via veritas et vita Alleluia Alleluia.

  Haec igitur numerositatis ratio doctam semper cantionem decet, et hac maxima sui dignitate ornatur, sive tractim sive cursim canatur, sive ab uno seu a pluribus. Fit quoque, ut dum numerose canendo alius alio nec plus nec minus protrahit aut contrahit, quasi ex uno ore vox multitudinis audiatur. Item in 132.0994C| alternando seu respondendo per eamdem numerositatem non minus morae concordia servanda est, quam sonorum.

  D. Quomodo per moras oportet, ut cantiones concordent?

  M. Concordabilis cantionum copulatio, qualiter per propriam quorumque sonorum sedem eveniat, supra monstratum est; morarum vero concordia fit, si id, quod subjungendum est, aut aequali mora respondeat, seu pro competenti causa duplo longiore mora, aut duplo breviore.

  D. Constat peritae cantioni accidere omnia, quae praedicta sunt. Prosequere, si qua adhuc bonae modulationi necessaria sunt.

  132.0994D| M. Observandam quoque dico distinctionum rationem, id est, ut scias, quid cohaerere conveniat, quid disjungi. Videndum etiam, quae mora illi aut illi melo conveniat. Nam hoc quidem melum celerius cantari convenit, illud vero morosius pronuntiatum fit suavius. Quod mox dinosci valet ex ipsa factura meli, utrum sit levibus gravibusve neumis composita. Ergo moram, quae cuique melo conveniat, aptam exhibebis duntaxat secundum temporis ac loci et causae cujuslibet extrinsecus occurrentis rationem: ipsam etiam altitudinem ad congruentiam morae cum apertis 132.0995A| et suavibus neumis. Atque hujusmodi observationibus honestam beneque moratam musicam moderabis. 132.0996A| Praeterea congrua symphoniarum commistio maximam suavitatem cantilenis adjiciet.

  132.0995| Finit pars prima.

INCIPIT SECUNDA PARS DE SYMPHONIIS.
132.0995|
  132.0995A| D. Symphonia quid est?

  M. Dulcis quarumdam vocum commixtio; quarum tres sunt simplices, Diapason, et Diapente, ac Diatessaron. Tres sunt compositae Disdiapason, Diapason et Diapente, Diapason ac Diatessaron.

  132.0995B| D. Quae est Diapason symphonia?

  M. Quae sex sonis interpositis per octavo loca canitur.

  D. Quae est Diapente, quaeque Diatessaron?

  M. Diapente per quinta loca fit, Diatessaron per quarta, sicut in pentachordis et tetrachordis extrema sibi conveniunt.

  D. Unde dicitur Diapason?

  M. Diapason Graece, Latine interpretatur ex omnibus, eo quod octo solas chordas antiqua cithara continebat.

  D. Quare Diapente vel Diatessaron vocatur?

  M. Diapente dicitur ex quinque, eo quod quinas voces continet. Diatessaron interpretatur ex quatuor, quia quaternas complectitur voces.

  132.0996A| D. Quomodo canitur diapason?

  M. Ubi talis vel in jusum vel in sursum vox a voce transmutatur, ut altior graviorque non tam consonae quam aequisonae sint, hoc adsensu concordantes, Diapason concinunt. Tanquam si ab H deponatur in A, 132.0996B| vel ab H levetur in P, ad subjectam descriptionem:

  Sive enim alia post aliam per octava loca sumatur, sive in unum binis aequisonis vocibus canatur, fit hac ratione cantio Diapason simplicis. At vero tres in unum trinis descriptis canamus vocibus, et fit hoc modo cantio Diapason duplicis. Si quoque dempta voce media per quindecima loca canatur, nihilominus Disdiapason erit. Canamus omnia ad supra scriptum modum:

  De Diapason ac Disdiapason. 132.0995|

  132.0995B| Haec igitur symphonia, quia facilior et apertior est, maxima et prima appellatur.

  DE DIAPENTE.

  Sequitur symphonia Diapente. Ea autem est, ubi 132.0996B| per quintanas regiones vel alia post aliam sumitur, vel in unum ambae ducuntur ad infrascriptum modum. 132.0995|

  132.0997A| Hoc ergo modo est simpliciter Diapente pangere. Prima vero compositio fit Diapente, si vox organalis ita per Diapason geminetur, ut sit media Principalis, veluti quinta inter primam et octavam. Principalem 132.0998A| enim vocem absolutam cantionem dico, organalem vero, quae huic subjungitur, symphoniae ratione. Canamus ad infrascriptum modum: 132.0997|

  132.0097A| Altera ejus est compositio, si vox, quam principalem diximus, ita per Diapason geminetur, ut sit 132.0998A| media organalis veluti octava inter quartam ac undecimam. Canamus ad infra scriptum modum: 132.0997|

  132.0997A| Tertia est Diapente compositio, si vox organalis ad inferiora per Diapason geminetur, ut sit celsissima principalis, veluti duodecima adversus octavam et primam. Haec quoque consonantia et per duodecima loca, dempta voce media, concordat. Item quarta est Diapente compositio, si vox principalis ad superiora per Diapason geminetur, ut sit gravissima organalis 132.0998A| veluti I contra quintam et duodecimam. Haec similiter et media voce dempta concordiam habet.

  Item quinta est Diapente compositio, si ambabus vocibus per Diapason geminatis quaterna vocum diversitate canatur, ut videlicet ad quintam et duodecimam organum prima et octava respondeant. Canantur omnia ad infrascriptum modum. 132.0997|

  132.0999A| Sexta est Diapente compositio, si sit vox celsissima organalis, veluti quindecima ad duodecimam atque 132.1000A| quintam, ad infra scriptum modum. 132.0999|

  132.0999B| Potest etiam vel altera vel utraque voce per Disdiapason triplicata, multiplici specie eadem symphonia variari.

  De Diatessaron symphonia.

  Sequitur Diatessaron symphonia. Ea est, ubi quaternis locis in unum pangitur. Sed sciendum, quia 132.1000B| non ita simpliciter, ut in caeteris, quae majores sunt; sed et alia quadam naturali lege organum exinde derivatur, unde et post dicetur. Verumtamen modesta morositate edita, quod suum est maxime proprium, et concordi diligentia procurata, honestissima erit cantionis suavitas. 132.0999|

  132.0999C| Componitur quoque Diatessaron symphonia eisdem modis, quibus et Diapente. Prima enim ejus compositio est, si vox organalis ita per Diapason geminetur, 132.1000C| ut sit media principalis, veluti quarta, inter primam et octavam, ad infra scriptum modum. 132.0999|

  132.0999D| Altera est ejus compositio, si e contrario vox prinpalis ita per Diapason geminetur, ut sit media organalis, 132.1000D| veluti octava inter quartam et undecimam. 132.0999|

  132.1001A| Tertia est Diatessaron compositio, si vox organalis ad inferiora per Diapason geminetur, ut sit celsissima principalis, veluti undecima adversus octavam et primam.

  Item quarta est Diatessaron compositio, si vox principalis ad superiora per Diapason geminetur, ut 132.1002A| sit gravissima organalis, veluti prima contra quartam et undecimam. Item quinta est Diatessaron compositio, si ambae voces, et principalis videlicet atque organalis, per Diapason geminentur, ut ad quartam et undecimam organum prima et octava respondeat. 132.1001|

  132.1001B| Sexta est Diatessaron compositio, si sit vox celsissima organalis, velut decima quinta ad undecimam 132.1002B| atque quartam. Canatur ad infra scriptum modum. 132.1001|

  132.1001C| Et notandum, quod sive principali sive organali sive utraque voce per Diapason geminata, semper altioris vocis locum vox puerilis supplere potest.

  D. Quid differt rogo inter primam Diapente compositionem, et Diatessaron secundam, cum hic et ibi aequali interstitio extremae voces a medio disjungantur? Similiter quid inter compositionem Diapente secundam, et Diatessaron primam?

  M. Si quaeris, cur in prima Diapente compositione sit potius vox media principalis, quam organalis, in secunda vero Diatessaron compositione sit potius vox media organalis quam principalis, cum hic et ibi iisdem intervallis vox media sese habeat ad extremas: et rursus in secundo Diapente composito quare dicatur vox media organalis, in primo 132.1001D| autem Diatessaron composito vox media principalis; scias, hanc quidem esse rationem, quod in 132.1002C| Diatessaron symphonia non ita simpliciter et absolute, sicut in Diapente vocem principalem organalis vox comitatur, verum sua quadam naturali lege certis locis subsistit, nec ulterius valet consonanter procedere, sicut et descriptionibus supradictis ostenditur, quomodo infra sonum tetrardum non descendat. Verum sciendum, in praedictis compositionibus et alia quadam proprietate diatessaron ac diapente differre; siquidem dum quintis et octavis locis semper sit troporum vel tonorum reversio, necesse est, ut dum vox inferior ad superiorem vocem eodem tropi modo Diapente respondet, utrique rursus voci ab octava sua eodem tropo respondeatur. Fitque ut organali voce per diapason geminata, et principali voce media vox organalis inferior quintis 132.1002D| locis a media separetur, et superior quartis; quod est compositum diapente primum: principali autem 132.1003A| voce per diapason geminata et organali media, vox principalis inferior quartis locis a voce media distinguatur, et superior quintis, quod est compositum Diapente secundum. Econtrario vero in diatessaron dum vox inferior ad superiorem vocem quartis locis non eodem respondeat tropo, necesse est, ut principali et organali voci non eodem, sed singulis a sua octava suo tropo respondeatur. Fitque, ut organali voce per diapason geminata, et voce principali media, vox organalis inferior quartis locis distet a media, et quintis superior; quod est compositum diatessaron primum. Principali autem voce per Diapason geminata, et voce organali media, vox principalis inferior quintis locis a voce media disjungatur, et superior quartis; quod est compositum 132.1003B| diatessaron secundum, quae omnia supradictae descriptiones ostendunt.

  D. Sed quid adhuc? quia disserebas, quod Diapente quidem symphonia eosdem tropos concinit, diatessaron vero non eosdem, ideoque in praedictis utrarumque symphoniarum compositionibus vox media quamvis simili ad extremas interstitio separata, dum non et hic et ibi ejusdem sit tropi, hic quidem sit principalis, ibi sit organalis. Quaero, quid sit inter principalem atque organalem vocem diapente symphoniae, cum tropi non sint dissimiles?

  M. Hoc nunc quoque dictum recole; namque organali voce in Diapente geminata, si voci mediae videlicet principali, simile intervallum esset ad extremas, 132.1003C| nihil interesse videretur inter principalem vocem et organalem. Nunc vero cum vox organalis quinto loco ad vocem principalem extet inferior, sed per diapason quarto loco superior, sicut versa vice in diatessaron vox organalis ad vocem principalem quarto loco extat inferior, sed per diapason quinto loco superior: similiter principali voce per diapason geminata, cum non sint eadem ad extremas voces voci mediae intervalla; patenter poteris intelligere, qualiter virtus diapason symphoniae, quae utrasque voces multiplicat, etiam quae principales, quaeque sint organales, per certa intervalla disponat.

  D. Quare in Diatessaron symphonia vox organalis sic absolute convenire cum voce principali non 132.1003D| potest, sicut in symphoniis aliis?

  M. Quoniam, ut dictum est, per quartanas regiones non iidem tropi reperiuntur, diversorumque troporum modi per totum ire simul ire nequeunt, ideo in diatessaron symphonia non per totum vox principalis voxque organalis quartana regione consentiunt.

  D. Vellem quoque dinoscere, quomodo per quartana loca troporum sit genus dissimile?

  M. Facile id senties; sive enim uno tono altius transponatur, seu quarto loco inferius, modus diversi tropi aperto auditu fit discernibilis. Canatur ad infra scriptum modum: 132.1004A|

  D. Discerno plane, tonum autentum protum in 132.1004B| autentum deuterum hanc transpositione transire. At vero dabis nunc rationem, quare per alias regiones voces ita consonae, per alias vero vel discrepantes sint, vel non adeo consentientes.

  M. Equidem pertentare licet, quas Dominus concesserit rationes, quo causas dulciter convenientium vocum atque discrepantium, naturam quoque diversorum troporum aliquantulum deprehendamus, et quare transponendo in alias species migrent, vel in suas denuo revertantur. Etenim sicut absolute computando simplex est series numerandi, et facilitate sui etiam pueris patens, ut I. II. III. IIII. et caetera: aliud vero alii inaequaliter collatum in varias inaequalitatis species cadit; ita phthongi in musica, cujus mater est Arithmetica, id est numeralis scientia, 132.1004C| facili quidem ordine recensentur. Ad aliquid autem prolati non modo suavium dant concinentiarum species, sed et earundem concinentiarum suavissimas rationes.

  D. Quomodo ex Arithmetica matre gignitur harmonia, et an eadem harmonia, quae et Musica?

  M. Harmonia putatur concordabilis inaequalium vocum commixtio. Musica ipsius concordationis ratio. Quae sicut per omnia numerorum rationi conjuncta est, atque caeterae Mathesis disciplinae, ita per numeros oportet ut intelligatur.

  D. Quae sunt Mathesis disciplinae?

  M. Arithmetica, Geometrica, Musica, Astronomia.

  D. Quid est Mathesis?

  132.1004D| M. Doctrinalis scientia.

  D. Quare doctrinalis scientia?

  M. Quia abstractas considerat quantitates.

  D. Quae sunt abstractae quantitates?

  M. Quae sine materia, id est, admixtione corporali, solo intellectu tractantur. In quantitatibus vero multitudines, magnitudines, paucitates, parvitates, formae, aequalitates, habitudines, et caetera, quae, ut Boetii verbis loquar, ipsa quidem natura incorporea sunt, et immutabiles substantiae, ratione vigentia, participatione vero corporis permutantur, et tactu variabilis rei in convertibilem inconstantiam transeunt. Porro hae quantitates aliter in Arithmetica, aliter in Geometrica, aliter in Astronomia considerantur. 132.1005A| Hae enim quatuor disciplinae non sunt humanae inventionis artes, sed divinorum operum aliquantae investigationes, et in creatura mundi intelligenda mirabilissimis rationibus ingenuas mentes ducunt, ita ut sint inexcusabiles, qui per haec cognoscentes Deum, et sempiternam ejus Divinitatem, non sicut Deum glorificaverunt, et gratias egerunt.

  D. Arithmetica quid est?

  M. Disciplina quantitatis numerabilis secundum se.

  D. Quid est Musica?

  M. Disciplina rationalis consentanearum vocum atque discrepantium juxta numeros, qui ad aliquid sunt his, qui inveniuntur in sonis.

  D. Quid est Geometrica?

  132.1005B| M. Disciplina magnitudinis immobilis, atque formarum.

  D. Astronomia quid est!

  M. Disciplina magnitudinis mobilis, quae cursus coelestium siderum, quae figuras contemplatur omnes, et habitudines stellarum circa se et circa terram indagabili ratione percurrit.

  D. Quomodo per numerabilem scientiam tres caeterae constant?

  M. Quia omnia, quae per has disciplinas comprehenduntur, numerorum constant ratione formata, nec sine numeris possunt vel intelligi aut pronuntiari. Qui enim insinuari potest, quid sit triangulus vel quadrangulus, et caetera, quae Geometrica sunt, nisi prius sciatur, quid sint tria vel quatuor?

  132.1005C| D. Nullo modo.

  M. Quid in Astronomica ratione sine numero sciri valet? unde ortus occasusque, tarditates, velocitates errantium siderum noscimus? unde aetatem lunae, et multiplices variationes ejus agnoscimus, quotam partem signiferi sol aut luna teneat, vel alia quaelibet ex planetis? Nonne sicut omnia certis numeri legibus aguntur, ita sine numero incognita sunt?

  D. Etiam.

  M. Quae causa in Musica facit, ut octavis locis aequisonae sint voces, quintis et quartis consonae? Itemque per quindecimas regiones aequisonanter 132.1006A| respondeant, per duodecimas et undecimas consonanter? Quae sunt vero mensurae istae, quae voces vocibus sic apte conjungunt, ut si paulo acutior aut laxior vox cum voce fuerit, ad invicem concordare non possit?

  D. Mirum certe, quae sint hujusmodi commensurabilitates vocum, quibus et symphoniae tam suavisonae sibi assentiunt, et soni reliqui tam competenter sibi in ordine copulantur. Sed tuum est, quae proposuisti, exponere.

  M. Dico, quoniam ideo per octava loca, id est, in diapason aequisonantia est, quia dupla habitudine voces hae conferuntur, ut VI. ad XII. ut XII. ad XXIIII. Similiter in quindecimis locis aequisonantia est, quod disdiapason dicitur, quia in quadrupla constat proportione, 132.1006B| ut VI. ad XXIIII. Ideo in quintis regionibus sibi consonanter respondent, quod est Diapente, quia sunt in ratione sesquialtera. Sesquialterum autem est, ubi minus partes duas continet, et majus tres, ut VI. adversus VIIII. ut octo contra XII. Ideo quartanae voces consonae sunt, quod est diatessaron, quia in epitrita sunt ratione. Epitritum vel sesquitertium est autem, ubi minus habet tres partes, et majus quatuor, ut sunt VI. contra VIII. ut VIIII. contra XII. ideo duodecima collatione concordant, quia ad diapason diapente respondet, id est, sesquialterum ad duplum. ut XVIII. contra XII. et VI. ut VIII. contra XII. et XXIIII. Vel quia per loca duodecima fiunt triplae, ut XVIII. contra VI. ut XXIIII. contra VIII. Ideo et undecima regione consonabiles 132.1006C| sunt, quoniam ad diapason resonat diatessaron, id est, epitritum ad duplum, ut XVI. contra XII. et VI. ut VIIII. contra XII. et XXIIII. Item voces, quae praefatas symphonias complent, utpote diatessaron quatuor, quinque peragunt diapente, hac habitudine concordant, quia diatessaron et diapente ad invicem connectuntur, videlicet epogdoo, id est, sesquioctavo: nam semper differentia sesquialteri et sesquitertii epogdous est. Qua enim proportione sunt VIII. ad VIIII. fiunt XVI. ad XVIII. fiunt XXXII. ad XXXVI. et sic in infinitum.

  Horum descriptio, quae dicuntur. 132.1005|

  132.1005D| Praeterea perfectiores sunt symphoniae in diapason ac disdiapason, quam in diatessaron et diapente, quia hae sunt multiplicis inaequalitatis, illae superparticulares. 132.1006D| Perfectior est autem multiplex inaequalitas superparticulari inaequalitate. Voces vero praedictarum proportionum, id est duplae, triplae, quadruplae 132.1007A| sesquialterae, sesquitertiae, sesquioctavae, constat idcirco consonas vel aequisonas, quia nimirum hi relativi numeri soli in omnibus disciplinis commensurati sunt et connumerati, et ob hoc symphoniis et reliquis musicis vocibus deputantur, imo voces modulatae his numeris procreantur. Sentis igitur, nonnisi arithmeticis rationibus posse musicam explicari?

  D. Sentio plane Arithmeticam musicae cognitioni necessariam.

  M. Necessaria prorsus, cum ad numerorum exemplar musica penitus deformata sit. Etenim si nervum a nervo aequae grossitudinis, sive fistulam a fistula, duplo feceris longiorem, ut XII. ad VI. ut XXIIII. ad XII. diapason ad invicem resonant. Si nervum aut 132.1007B| fistulam aequae concavitatis tertia minoris parte longiorem feceris, ut VIII. ad VI. ut XVI. ad XII. seu quarta parte majoris facias breviorem, ut VIIII. ad XII. ut XVIII. ad XXIIII. erit quidem diatessaron consonantia VIII. ad VI. et XVI. ad XII. Ac similiter VIIII. ad XII. XVIII. ad XXIIII. Porro VIIII. ad VI. et VIII. ad XII. similiterque XVIII. ad XII et XVI. ad XXIIII. diapente erit. Atque hoc fit modo, ut sicut in duplo sesquialter ac sesquitertius continetur, utpote inter VI. et XII. continentur XVI. et XVIII. alternatim videlicet, ut qui minori numero sesquialter est, veluti VIIII. ad VI. et XVIII. ad XII. fiat subsesquitertius majori, ut VIIII. ad XII. et XVIII. ad XXIIII. Ac rursus qui ad minorem sesquitertius est, ut VIII. ad VI. ut XVI. ad XII. sit ad majorem subsesquialter, 132.1007C| ut VIII. ad XII. ut XVI. ad XXIIII. Ita inter duos sonos diapason ad invicem resonantes, quarto semper et quinto loco symphonias natura disposuit, ut quae huic lateri quarto loco diatessaron est, sit quinto loco alteri lateri diapente; et quae ad illud quarto loco resonat diatessaron, huic diapente resonet. Porro ut sesquioctava proportione VIIII. superant VIII. ut XVIII. XVI. ut XXXVI. XXXII, ita si fistula 132.1008A| major aut fidicula parte octava minorem supergreditur, ad invicem resonant tonum. Igitur quidquid in modulatione suave est, numerus operatur per ratas dimensiones vocum: quidquid rhythmi delectabile praestant sive in modulationibus, seu in quibuslibet rhythmicis motibus, totum numerus efficit. Et voces quidem celeriter transeunt, numeri autem, qui corporea vocum et motuum materia decolorantur, manent. Quapropter, ut ait sanctus Augustinus, ratio, quae in rhythmis, qui latine dicuntur numeri, sive in ipsa modulatione, intellexit numeros regnare, totumque perficere, inspexit diligentissime, reperiebatque divinos et sempiternos. Deinde ratio eadem coelum terramque conlustrans, sensit nihil aliud, quam pulchritudinem sibi placere, et in pulchritudine 132.1008B| figuras, in figuris dimensiones, in dimensionibus numeros. Haec quoque distincta et disposita in disciplinam redegit, appellavitque Geometricam. Motus eum coeli multum movebat, et ad se considerandum diligenter admonebat, etiam ibi per constantissimas temporum vices, per astrorum ratos definitosque cursus, per intervallorum spatia moderata intellexit nihil aliud, quam illam dimensionem, numerosque dominari. Quae similiter diffiniendo ac secernendo in ordinem nectens, Astrologiam genuit. Hoc itaque modo in matheseos disciplinis occurrunt omnia numerosa, et immortalium numerorum, qui cogitando atque volvendo intuentur, hi qui sentiuntur, umbrae potius et imagines sunt. Quis ergo rationem numerorum mutabilem dixerit, aut artem 132.1008C| quamlibet non per hanc constare?

  D. Sufficienter nunc videtur insinuatum, non musicam solum, sed et alias tres disciplinas magisterio constare numerorum. Sed quaeso plenius incipias de numerorum natura tractare, repetasque singula, quae praemissa sunt, quo utcunque ad intuenda musicae rationis penetralia numerorum ducatu perveniam.

  132.1007| Finit pars secunda.

INCIPIT TERTIA [PARS].
  132.1007D| Disc. Rogo, imprimis edicas, quid sit quantitas?

  M. Quantitatem dicimus et in numeris, et in mobilibus. Nam quantitas numerabilis proprie dicitur multitudo, quae unitatibus congregatur. Quantitas specialis, quae in mobilibus fit, dicitur magnitudo, quae in unitates dividitur. Nam multitudo infinita pluralitate succrescit, magnitudo infinita partitione minuitur. Hoc est, multitudo ad unum ex pluralitatibus tendens augetur spatio; magnitudo ab uno in pluralitatem tendens unitatum spatiis minuitur: utpote lapis, arbor, quo minore dividitur numero, divisionum spatia majora fiunt; quo autem in plura partiuntur, eo ipsa minuuntur spatia: ut verbi gratia de viginti quatuor dimidium duodecim, pars tertia octo, pars quarta sex: item de duodecim medietas 132.1008D| sex, pars tertia quatuor, pars quarta tria. Utrarumque ergo similitudine quantitatum arithmetica ex sese musicam fundit, et miro modo per utrarumque contrarias passiones melodas voces suavi concordatione disponit. Quod enim vox ad vocem aut duplo crescit aut triplo aut quadruplo, quod sonat diapason, diapason ac diapente, bisque diapason, naturam servat numeralis quantitatis. Quod vero vel dimidio majoris superat, vel parte tertia, vel quarta, vel octava, quod sonat diapente, diates saron et tonum, continuae habet quantitatis imaginem. Cum ergo vocum varietates in quantitate consistant hoc modo, secundum contrarias bifariae quantitatis naturas dulci ad invicem commixtione assentiunt. 132.1009A|

  Quae si jam liqueant, restantia prosequamur.

  D. Liquet quidem, quod hoc genus ideo numerali deputatur quantitati, quia numerorum ordine ipsae auctiones crescunt. Hoc autem idcirco continuae quantitati convenit, quia numerorum aeque ordine diminutionibus decrescit. Nam sicut illud duplo superat, 132.1009B| ita istud simpli dimidio vincit; sicut illud triplo vel quadruplo majus fit, ita istud e regione tertia vel quarta fit parte propensius. Restat, ut quomodo et quo ordine per has bifarias quantitates sonorum disponatur concordia, prosequaris.

  M. Ad haec donante Domino explicanda, pauca, ut proposuimus, de numerorum natura praemittamus. Diximus, quantitatis duas esse species, multitudinem et magnitudinem. Rursus multitudinis vel magnitudinis alia sunt immobilia, alia mobilia; alia sunt per se, ut populus, chorus, mons, mille, duo millia, tria millia; alia per se ipsa non constant, sed ad aliud referuntur, ut duplum, triplum, quadruplum. Sed de immobilibus tractat Geometrica; mobilem vero quantitatem Astronomica speculatur. Illam itaque, 132.1009C| quae per se est, speculatur arithmetica; eam vero, quae ad aliquid est, quia per eam divinitus harmonica moderatur suavitas, contemplemur. Omnis numerus, et quodcunque secundum numerum dicitur, aut per se est, aut cum relatione aliqua dicitur. Per se numerus est, qui sine relatione dicitur, ut I. II. III. IIII. et caetera. Porro quodcunque relative dicitur, aut aequale est, aut inaequale. Et aequale quidem est, quod ad aliquid comparatum neque minore summa infra est, neque majore transgreditur, ut denarius denario, vel ternarius ternario, vel cubitus cubito, vel pes pedi, et his similia. Hanc autem partem relate ad aliquid quantitatis, id est, aequalitatem, constat naturaliter indivisam. Nullus enim dicere potest, quod aequalitatis hoc quidem tale est, illud vero hujusmodi.

  132.1009D| D. Certum est; quae ibi enim esse alia species potest, ubi unum tale est, quale et aliud?

  M. At inaequalis relationis quae sint divisiones, videto. Primum quidem secatur in majus atque minus; deinde majoris quinque sunt species. Est enim una, quae vocatur multiplex, alia superparticularis, tertia superpartiens, quarta multiplex superparticularis, quinta multiplex superpatiens. His vero quinque partibus majoris inaequalitatis oppositae sunt singulatim aliae quinque partes minoris, ita ut iisdem nominibus nuncupentur, sola sub praepositione distinctae. Dicitur enim submultiplex, subsuperparticularis, subsuperpartiens, multiplex subsuperparticularis, multiplex subsuperpartiens. Has nunc utriusque 132.1010A| inaequalitatis species, quae sint singulae, videamus.

De multiplici inaequalitate.
  Multiplex est inaequalitas, ubi major numerus habet in se minorem bis aut ter aut quater aut multipliciter: ut duo ad unum dum comparata fuerint, duplex est; tria ad unum triplex; quatuor ad unum quadruplex, et deinceps. Comitatur submultiplex, qui scilicet infra multiplicem continetur bis, aut ter, aut quater, aut multipliciter. Verbi gratia, unum a duobus continetur bis, et vocatur subduplus; a tribus ter, et vocatur subtriplus; a quatuor quater, et vocatur subquadruplus; et reliqua ad id genus; unde, ut cognoscis, paulo nobis superius sermo fuit.

  D. Recognosco equidem hanc inaequalitatem de illo esse quantitatis genere, cujus majorem partem 132.1010B| posse in infinitum crescere supra dictum est.

De superparticulari.
  M. Attende et aliam inaequalitatem de illo quantitatis genere, cujus e contrario majorem partem constat in infinitum decrescere. Haec est enim, quae superparticularis vocatur, in qua numerus ad numerum comparatus habet in se totum minorem, et ejus aliquam partem. Qui si minoris habeat medietatem, vocatur sesquialter; si partem tertiam, vocatur sesquitertius; si quartam, vocatur sesquiquartus: et si quintam, vocatur sesquiquintus: atque ita in infinitum superparticularium forma progrediente nomina in infinitum ducentur. Minores vero, qui comitantur et habentur toti, et eorum aliqua pars, unus subsesquialter dicitur, alter subsesquitertius, alius subsesquiquartus, 132.1010C| alius subsesquiquintus, atque secundum majorum normam multitudinemque progreditur. Hocque genus satis nunc a superiore differre dignoscis.

  D. Dignosco utique, quia non sicut in primo genere tota sui quantitate majorem numerum metitur minor: sed unaqualibet parte, vel dimidia, sicut duo, tria, sicut VI. VIIII. sicut XII. XVIII. seu tertia, sicut VI. VIII. sicut VIIII. XII. sicut XII. XVI. vel quarta, sicut IIII. V. sicut VIII. X. sicut XII. XV. Sed major est ad minorem suum pars media quam tertia, tertia quam quarta, quarta quam quinta, et sic in infinitum pars a majore numero denominata ipsa decrescit.

De superpartiente.
  M. Attende et tertiam inaequalitatis formam, quae superpartiens appellatur, quae fit, ubi numerus ad 132.1010D| alium comparatus inferiorem numerum totum in se continet, et super hoc alteras partes ejus, duas, aut tres, aut quatuor, aut quinque, aut quotlibet alias; ut verbi gratia, III. continentur a V. cum aliis duobus, et vocatur superbipartiens. IIII. continentur a VII. cum tribus partibus suis, et vocatur supertripartiens. V. continentur a VIIII. cum quatuor partibus suis, et vocatur superquadripartiens: et sic deinceps. Minor vero, qui a majore concluditur, subsuperpartiens appellatur. Et de hac quoque inaequalitatis forma, si videtur, ista sufficiant.

  D. Puto sufficere.

De mutiplici superparticulari.
  M. Post tres simplices habitudines sequuntur 132.1011A| duae, quae ex superioribus componuntur, quarum prior multiplex superparticularis dicitur, quae ex utrisque consistit, ut II. ad V. et III. ad VII. et IIII. ad VIIII. et V. ad XI. quod enim comparatum numerum plus quam semel habet, multiplicis est, quod minorem in habenda parte transcendit, superparticularis. Dicitur autem, qui duplicem habuerit alium numerum, et ejus mediam partem, duplex sesquialter; qui tertiam, duplex sesquitertius, qui quartam, duplex sesquiquartus; et deinceps. Si ter habuerit, et ejus mediam partem, vel tertiam, vel quartam, dicitur triplus sesquialter, triplus sesquitertius, triplus sesquiquartus, et deinceps. Et de hac etiam inaequalitate satis sit.

  D. Utique satis.

De multiplici superpartiente.
132.1011B|
  M. Quinta est inaequalitas, quae multiplex superpartiens appellatur. Ea fit, quotiens numerus ad numerum comparatus habet in se alium numerum totum plusquam semel, et ejus duas vel tres vel quotlibet plures particulas, secundum numeri superpartientis figuram, vocabunturque hi secundum proprias partes duplus superbipartiens, ut VIII. ad III. comparati; continent enim bis ternos cum duabus partibus suis: similiter XVI. ad VII. collati. Item duplus supertripartiens, duplus superquadripartiens; ac rursus triplus superbipartiens, et triplus supertripartiens, triplus superquadripartiens.

  Igitur quidquid in mundo impariter confertur ad aliquid, quaecunque quantitas inaequaliter comparata 132.1011C| quantitati, secundum unamquamlibet harum inaequalitatum sese habet in invicem. Et multiplicem quidem inaequalitatem constat, ut dictum est, ad numeralem pertinere quantitatem; quantitas vero in spatiis quatuor reliquis imparitatibus deputatur. Item voces musicae, id est, concordi suavitate convenientes, mixtim secundum multiplex superparticulare genus exprimuntur: discrepantes autem voces reliquas imitantur imparitates. Imparitatum vero hujusmodi dum sit innumerabilis et infinita confusio, discrepantiarum quoque infinitas sequitur inaequalitatem infinite confusam; solae, inquam, duae, quod imprimis diximus, ad musicam pertinent, tres reliquae secernuntur.

  D. Quo ergo modo hae solae musicae adjacent?

  132.1011D| M. Quia omnis phthongorum convenientia secundum hos numeros formatur: quia aut multiplices sunt, aut superparticulares. Quaeque vero voces inconsonae secundum reliquas inaequalitates fiunt.

  D. Qua ratione voces consonae vel inconsonae hos aut illos numeros imitantur?

  M. Quoniam eo pacto diversi soni sibi consentiunt, et secundum eas imparitates differunt.

  D. In quo fit haec differentia?

  M. In acumine et gravitate, in elatione ac submissione.

  D. Quomodo secundum praefatos numeros inter se differunt, et differendo consentiunt?

  M. Omnes phthongi, id est, voculae sibi convenientes, 132.1012A| aut duplo ab invicem distant, aut triplo, aut quadruplo intervallo, quae species sunt multiplicis imparitatis: sive sesquialtero, sive sesquitertio, sive sesquioctavo; quae species sunt superparticularis imparitatis. Intervallum vero est non silentii inter phthongos, sed spatii, quo alterum alteri praestat.

  D. Qui phthongi duplo distant?

  M. Quiqui semper per octavas regiones, quod Diapason dicitur.

  D. Qui distant triplo?

  M. Quiqui semper per duodecimas regiones, quod dicitur Diapason et diapente.

  D. Qui distant quadruplo?

  M. Quiqui semper per quindecimas regiones, 132.1012B| quod disdiapason dicitur.

  D. Qui phthongi sunt sescupli?

  M. Quiqui semper per quintana loca sunt distantes; quod dicitur Diapente.

  D. Qui sunt sesquitertii?

  M. Qui quartana distant regione, quod diatessaron appellatur.

  D. Qui phthongi sesquioctavum habent intervallum?

  M. Unusquisque in alterutrum, ut chorda ad chordam, quod dicitur tonus. His quoque distantiis et semitonium additur, quod est non plenum toni intervallum. His ergo distantiarum temperamentis concordabilem sonorum diversitatem divinitas ordinavit, his harmonica suavitas moderatur. Quidquid 132.1012C| ultra aut infra sonat, quam harum proportionum mensurae poscunt, cadit in quaslibet reliquarum inaequalitatum formas, fitque dissonum, et cantilenae inconveniens.

  D. Unde cognoscuntur phthongi musicorum praedictas habere mensuras, nec sub oculis nec sub tactu positi?

  M. Primum ex eo cognoscitur, quod hae solae habitudines, id est, multiplices et superparticulares connumeratae ad invicem sunt et commensuratae suaque commensuralitate quodammodo cognatae. Nec sunt aliqua in mundo in mobilibus, in potentiis, quae sibi concorditer copulantur, si non ea haec germana proportionum habitudo connectat. Hae quoque solae sunt proportiones, quibus per diversos pedes 132.1012D| metra concorditer currunt. Intantum enim jugabilis earum natura valet, ut ipsae contrariae quatuor elementorum potentiae harum proportionum socientur consortio; sicut in Timaeo et aliis philosophis revelatur. Hinc et illud est:
Tu numeris elementa ligas, ut frigora flammis,
Arida conveniant liquidis.

  Quapropter nec soni musici in unum modulamen tam dulce coirent, si non eos per congrua et consona intervalla praefata proportionum commensuralitas sociaret.

  D. Quid est commensurale vel connumerale?

  M. Ubi majoris minorisque communis quaedam mensura est, utpote II. ad IIII. II. ad VI. II. ad VIII. 132.1013A| Nonne binarius quaternarium bis metitur, senarium ter, octonarium quater?

  D. Etiam.

  M. Ad hunc ergo modum in multiplicibus quotienslibet simplum duxeris, totiens idem simplum majorem summam metitur: ut tria duplicata dant senarium, triplicata novenarium, quadruplicata duodenarium, et deinceps. Quid vero in superparticularibus, ut sunt IIII. ad VI? nonne binarius minorem bis metitur, majorem ter, quod sescuplare est? Item VI. ad VIII. binarius minorem ter metitur, majorem quater, quod epitritum est. Item VIII. ad X. binarius minorem quater metitur, majorem quinquies, quod sesquiquartum est. Sic itaque in infinitum, quota parte major praecedit numerus, tota parte utrique 132.1013B| ad invicem metiuntur: veluti VIII. octava sui parte praeitur a novenario, id est, unitate, et eadem unitas, qua ad invicem differunt, utrosque metitur. Jamque intelligis, ut hae inaequalitates, communi qualibet dimensione tam augmentationem capiant, quam solutionem.

  D. Intelligo quidem, quare istae commensurales vel connumerales dicantur. Sed insinua, qualiter caeteris inaequalitatibus eadem connumeratio vel commensuratio desit.

  M. Et hoc, ut postulas, contemplemur. Pone III. ad V. quae est superbipartiens comparatio, ac vide, quota parte ternarii quinarius praecedat.

  D. Non invenio, quomodo dicam, tota vel tota parte praecedere.

  132.1013C| M. Non certe invenitur. Non enim in hujusmodi genere vel quantitate minoris major pars metitur, ut in multiplicibus: aut una qualibet parte, quae sit utrorumque differentia, ut in superparticularibus. Cum enim in sesquialtera proportione, ut sunt IIII. ad VI. binarius, qui eorum differentia est, utrosque metiatur, in sesquitertia quoque proportione, ut sunt VI. ad VIII. binarius qui eorum est differentia, utrosque metiatur: in superpatiente proportione, ut sunt III. ad V. binarius, qui differentia est, neutrum metitur. Idem fit et in multiplici superparticulari, ut sunt II. ad V. qui est duplus sesquialter: ut sunt II. ad VII. qui est triplex sesquialter: ut sunt III. ad X. qui est triplex sesquitertius. Idem fit et in multiplici superpartiente: ut sunt III. ad VIII. qui 132.1013D| est duplus superbipartiens: ut sunt III. ad XI. qui est triplus superbipartiens: ut sunt IIII. ad XI. qui est duplus supertripartiens. Vides igitur, ut hujusmodi proportiones nec simpla quantitate, nec suis differentiis metiuntur, nec partibus, quibus differunt, augmentantur, nec in eas resolvuntur: atque idcirco incommensurati et inconnumerati jure nominantur. Porro autem sicut oculis torta ac recta discernimus, et quaelibet visui subjacentia, ut cum praefatis natura nostra partibus compacta constet, voces commensurabilibus intervallis convenientes auditum oblectant; caeterae sunt dissonae. Sed visne ampliora de hac commensuralitate cognoscere?

  D. Tuum est, de hoc judicare.

  132.1014A| M. Diximus, qualiter multiplices sua ipsorum quantitas, superparticulares qualiter sua metiatur differentia; nunc ipsi multiplices cum superparticularibus quam habeant cognationem, videamus. Pone ratum multiplicis ordinem, ac simul superparticularis ordo texatur: sive sint principales, quorum est unitas differentia; qui radices sunt multiplicium ac superparticularium numerorum: sive sint majores ab hac complicatione derivati. Principales sunt I. II. III. IIII. Quaternarius enim numerus omnes symphonias perfecte absolvit. Duo enim ad unum duplum est, quod est diapason: tria ad unum triplum, quod est diapason ac diapente: quatuor ad unum quadruplum, quod est disdiapason: tria ad duo sesquialterum, quod est diapente: quatuor ad tria 132.1014B| sesquitertium, quod est diatessaron. Derivales sunt VI. XII. XVIII. XXIIII. et deinceps. Nam XII. ad VI. duplum, XVIII. triplum, XXIIII. quadruplum. Triplum autem ad duplum sesquialterum, quadruplum ad triplum sesquitertium. Similiter quincuplum ad quadruplum sesquiquartum: sescuplum ad quincuplum sesquiquintum: septuplum ad sescuplum sesquisextum: et sic in infinitum. Superparticulares cum multiplicibus comitantur, ut non immerito ex utrisque simul musica procreari dicatur.

  D. Apparet proculdubio et connumeratio et cognatio hujusmodi numerorum.

  M. Quia ergo patuit, qualiter multiplices in ordine digesti ad seipsos superparticulares sint: ita etiam tibi pateat, qualiter superparticularibus ex 132.1014C| sesquialteris et sesquitertiis multiplices dupli vel quadrupli componantur. Ut enim a senario incipiamus: ad VI. numerum adcrescat sesquialter, et fit VIIII. Ad novem accrescat sesquitertius, et fit XII. Duodenarius itaque ad senarium duplus, sesquialtero et sesquitertio completur. Item XII. numero adcrescat sesquialter, et fit XVIII. XVIII. numero adcrescat sesquitertius, et fit XXIIII. At XXIIII. ad duodenarium duplus, sesquialtero et sesquitertio completur. Et alternatim VI. numero accedat sesquitertius, qui est VIII. Sesquitertio accedat sesquialter, qui est XII. Duodecim itaque ad senarium duplus, sesquitertio et sesquialtero completur. Similiter XII. numero accedat sesquitertius, qui est XVIII. sesquitertio accedat sesquialter, qui est XXIIII. Viginti 132.1014D| quatuor itaque ad XII. duplus, sesquitertio et sesquialtero completur. Et sic deinceps semper unum duplum sesquialtero et sesquitertio incremento perficitur. Porro sesquialter ac sesquitertius ita communi epogdoi mensura connectuntur, ut sesquialtero epogdoum auferas, sesquitertius fiat, sesquitertio rursus additus restituat sescuplarem. Constat igitur, convenientes sibi sonos ex convenientibus sibi numeris concordiam sumere.

  D. Id manifesta panditur ratione.

  M. Attende vero, quia convenientes sunt non uniquilibet ad seipsos, sed sicut verbi gratia XXIIII. numerus constat ad XII. duplus, ad VIII. triplus, ad VI. quadruplus; ad XVI. sesquialter, ad XVIII. epitritus, 132.1015A| ad XLVIII. subduplus, ad XXXII. subepitritus, ad XXXVI. subsescuplaris: ita quilibet phthongus ad alium quidem diapason sonat, ad alium diapason et diapente, ad alium disdiapason, ad alium diapente, ad alium diatessaron, ad alium subdiapason, ad alium subdiatessaron, ad alium subdiapente; quod non fieret, nisi ad rationem multiplicis et superparticularis habitudinis sua essent commensuralitate cognati, unde sciatur, secundum quam proportionem quaelibet formetur symphonia.

  D. Cum satis monstratum sit, quod commensuralitatis ratio musicas voces adinvicem associet, unde tamen sciri valet, cui proportioni quaeque symphonia deputanda sit? Ex quo enim cognoscitur, diapason duplae habitudini deputanda, diapente sescupiae, 132.1015B| diatessaron epitritae, diapente ac diapason triplae, disdiapason quadruplae?

  M. Est prima hujus rei probatio, quod quemadmodum semper unum duplum sesquialtero et sesquitrito completur, ut modo dictum est, ita unum diapason, quod octo voculas continet, duae minores symphoniae, id est, diapente atque diatessaron complent. Sive enim a graviore, sive ab acutiore parte, vel quartam voculam metiaris, a quarta metiaris quintam, vel quinta metiatur cum quarta, ita completur semper duabus symphoniis una.

  Quod non fieret, si essent vel aliae quae complerent, 132.1015C| vel aliae quae complerentur. De his quoque Boetius, inter omnes, inquit, quas retulimus, consonantias habendum judicium est, et in aure, et in ratione, quam harum meliorem oporteat arbitrari. Eo namque modo auris afficitur sonis, vel oculus aspectu, quo animi judicium numero, vel continua quantitate. Proposito enim numero vel linea, nihil est facilius, quam ejus duplum oculo vel animo intueri: veluti XII. contra VI. Item post dupli judicium sequitur dimidii, post dimidium tripli, post triplum partis tertiae; atque ideo quoniam facilior est dupli descriptio, illi consonantiae merito deputatur, quae facilior est, quamque sensus apertior comprehendit. Ea ergo est prima, suavisque consonantia, quae octava fit regione, et diapason dicitur: post duplum inquam exstat, 132.1015D| quod vincit medietate subdupli, id est, sescuplum; veluti VIIII. contra VI. et illud, quod bina superat quantitate, hoc est, triplum, veluti XVIII. contra VI. Ergo cum hae duae proportiones proximae post duplum, contraria licet divisione, sequantur, recte illis symphoniae ascribuntur, quas aure sentimus post diapason esse secundas, id est, diapente, itemque diapason et diapente. Dum minimum vero consonantes sint soni, quia diatessaron spatium tenent, ei proportioni hanc rite concinentiam damus, ubi major numerus tertia minoris parte transcendit, quae est epitrita; veluti VIII. contra VI. Quia maxime vero distant soni, qui disdiapason concinentiam resonant, ei merito proportioni assignamus, quae quadrupla 132.1016A| intervalli dimensione discedit: veluti XXIIII. contra VI. Ac stat deinceps concinentiarum modus, qui neque ultra quadruplum possit extendi, neque infra partem tertiam coarctari. Sicque hunc ordinem consonantiae sumpserunt, quem dant in numeris multiplicatis augmenta, et e regione superparticularitatis detrimenta. Datur quoque et aliud idoneae probationis argumentum, quod non auditu modo, sed et visu fidem praedictae astruat rationi.

  Fidiculae sive fistulae, si aequalis grossitudinis fuerint, et major minorem in sua longitudine bis habuerit, diapason, ut supra dictum est, ad invicem consonabunt: si ter habuerit, diapason et diapente respondent: si quater habuerit, disdiapason consonantiam facient. Si major dimidia minoris parte super 132.1016B| habuerit, diapente fit consonantia. Si tertia minoris parte praecelluerit, diatessaron erit. Si octava minoris parte supergreditur, tomo concordant.

  D. Quare non plures multiplicitatis species ad musicam pertineant, quam tres: non plures superparticularitatis, quam tres, patet jam uberi assertione probatum: non solum ut ex connumeratis vel commensuratis numeris musica gignatur: sed etiam quibus quaeque symphoniae connumeratorum numerorum speciebus adjaceant. Mirum vero, quid causae sit, quod non nisi tres multiplicitatis, nec nisi tres superparticularitatis formae ad musicam admittantur, sed sola dupla, tripla, et quadrupla habitudo, sola sesquialtera et sesquitertia cum sesquioctava consonantias modulentur?

  132.1016C| M. Ideo ultra disdiapason, id est, ultra quadruplum non extenditur, quia hunc modum sonis natura tribuit: ut si per singula septenarium in diapason vocum discrimina singulae disdiapason consonantiae disponantur, jam ultra progredi duplae symphoniae non possint. Ideo vero infra partem tertiam, hoc est, infra epitritum intervalla non coarctantur, quoniam cum minor sit pars tertia quam dimidia, quarta quam tertia, quinta quam quarta, sexta quam quinta, et deinceps; cumque sesquialterum, quod medietatis est intervallum, tres tonos capiat cum semitonio, epitritum vero, quod partis tertiae intervallum est, duos tonos cum semitonio capiat; evenit, ut minora deinceps intervalla nec duorum tonorum ac semitonii possint esse capacia, nec cum duobus 132.1016D| tonis sive uno ac dimidio commensurabilia. Solum sesquioctavum intervallum, quia tonum metitur, admittitur.

  D. Quare tota mensura in hanc solam proportionem cadit?

  M. Quia haec proportio solius sesquialteri ac sesquitertii comparatione procreatur.

  D. Quomodo ex comparatis sesquialteris ac sesquitertiis nascitur?

  M. Nonne facile intelligitur, ut numerus verbi gratia senarius sui medietate in suum crescat sesquialterum, id est, novenarium? sui parte tertia in suum concrescat epitritum, id est, octonarium? Sed novenarius sicut sesquialter est senario, ita sesquioctavus 132.1017A| est epitrito. Item duodenarius sui medietate suum metitur sesquialterum, qui est octavus decimus; sui tertia parte suum metitur epitritum, qui est sextus decimus. Sed XVIII. numerus sicut ad duodecimum sesquialter est, sic ad epitritum sesquioctavus efficitur.

  D. Intelligo.

  M. Quapropter simul intellige, quod inter sonum et sonum nec minus nec majus toni integri poterit esse intervallum, quam quod semel fuerat sesquialteri ac sesquitertii differentia permensum. Igitur solis sesquioctavis intervallis cum sesquialteris ac sesquitertiis commensuralitas est: quorum scilicet intervalla toni cum semitonio, ut dictum est, commensurabiliter complent. Sola rursus sesquialtera ac 132.1017B| sesquitertia intervalla cum duplis et quadruplis commensurata sunt, quibus similiter eorum intervalla complentur. Sesquiquartis vero ac sesquiquintis et reliquis decrescentibus intervallis nec cum duplo, nec cum triplo, nec cum quadruplo, nec cum sescuplo quidquam commensurationis est, et idcirco propter musicam seponuntur. Quodsi etiam chordarum et fistularum dimensionibus praefatarum proportionum, quae ad musicam admittuntur, cognatam commensurabilitatem comprobare libet, facies chordam ad chordam, seu fistulam ad fistulam sescuplo majorem; sescuplari appones epitritam, et sic effecisti duplam. Nam quae ad secundam epitrita est, duplo exstat ad primam longior. Rursus conversim chordam ad chordam, fistulam ad fistulam metiaris epitritam, 132.1017C| epitritae appones sesquialteram, et dupla effecta est. Has pones in ordine, veluti VI. VIII. VIIII. XII. inveniesque inter duas medias epogdoum rite dimensum, id est, longiorem chordam aut fistulam octava minoris parte praecellere. Item alio modo. Metieris fistulam ad fistulam duplo longiorem. Ad brevem fistulam metieris epitritam, ad longam fistulam metieris subepitritam, ponesque in ordine subduplam epitritam, subepitritam duplam.

  Sicque inter duas medias epogdous naturaliter cadit. Cujus intervallo utraque fit ulteriori suo lateri 132.1017D| sescuplaris, utraque proximiori sibi lateri epitrita. Et amplius, si epitritam et sescuplam duplamque duplices, simul aliud diapason spatium eodem quo prius ordine effecisti.

  D. Quo pacto caeterae superparticulares habitudines cum duplo et quadruplo commensuralitatem non habent?

  M. Ut et hoc tibi patefiat, a duodenario, quo minimo numero potest exemplificari, incipiam. Is numerus enim XXIIII. numerum sui quantitate metitur, parte sui dimidia, XVIII. parte sui tertia, XVI. parte sui quarta XV. Sed XVIII. numerus, qui est ad XII. sesquialter, fit ad XXIIII. epitrita ratione commensurabilis. Porro XVI. numerus, qui est ad XII. epitritus, 132.1018A| fit ad XXIIII. sescupla ratione commensuratus. XV. vero numerus, qui est ad XII. sesquiquartus, cum XXIIII. commensuratus non est, sed supertripartiente figura inconsonus. Item XXIIII. numerus sui quantitate XLVIII. metitur, parte sui dimidia XXXVI. numerum, parte sui tertia XXXII. numerum, parte sui quarta XXX. numerum. Sed XXXVI. numerus, qui est ad XXIIII. sescuplaris, fit ad XLVIII. epitrita ratione commensurabilis. Porro XXXII. numerus, qui est ad XXIIII. epitritus, fit ad XLVIII. sescupla ratione commensuratus. XXX. vero numerus, qui est ad XXIIII. sesquiquartus, commensurari cum XLVIII. non potest. Vides ergo, quia mox ut intra sesquitertium intervalla coarctari incipiunt, connumerationem superparticulares cum duplis non habent, et idcirco 132.1018B| nec consonam commistionem.

  D. Qua ratione evenit, ut in sonorum serie per quarta loca voces sint epitritae, per quinta sesquialterae, per octava duplae, et aliae suis locis?

  M. Cum constet, vel epitrito vel sesquialtero vel duobus epitritis medio epogdoo intervallum duplum compleri, epogdois rursus ipsa epitritorum intervalla complentur. Siquidem duae mediae in diapason intervallo voculae, id est, quarta et quinta, dum singulae ad aliud latus diatessaron, ad aliud resonent diapente, utraeque ad suum latus epitrito distant. Sed utrumque rursus epitritum ea ratione epogdoi stipant, ut in quatuor scindantur voculas intervalla tria: ut scilicet singula duo intervalla singulos capiant epogdoos, id est, tonos, tertium compleatur 132.1018C| limmate, quod est semitonium. Sic contingit, ut quartis locis voces sesquitertiae, quintis inveniantur sesquialterae, octavos locos sortiantur duplae, quindecimos bis duplae capiant, duodecimos triplae.

  D. Quaeso qua ratione vel ordine in sonorum serie toni cum semitoniis contexantur?

  M. Id apertius contueri poteris, si prius, quae arithmetica medietas, quae geometrica, quaeque harmonica sit, pandam.

  D. Pande rogo.

  M. Post proportiones proportionalitates considerantur. Nam proportio est duorum terminorum habitudo, proportionalitas vero non minus quam trium. Ergo proportionalitas aut arithmetica medietate conjungitur, aut geometrica, aut harmonica. Medietatem 132.1018D| autem dicimus, ubi duae extremitates duorum vel minus limitis nexu in concordiam vinciuntur. Limites autem seu terminos dicimus numerorum summas. Igitur arithmetica medietas est, ubi aequales erunt distantiae inter terminos, sed non sunt ejusdem proportionis ipsi termini, sicut cernis. I. II. III.

  D. Cerno equidem, I. ad II. duplum, II. ad III. sesquialterum.

  M. Item geometrica medietas est, in qua non aequales differentiae, sed aequales proportiones considerantur, uti vides I. II. IIII.

  D. Video utique sicut ad I. II. duplum, sic ad II. IIII.

  132.1019A| M. At harmonica medietas est, in qua nec eaedem proportiones quaeruntur, nec eaedem differentiae, sed sicut ab invicem sunt extremi limites, ita eorumdem limitum differentiae, sicut cernis III. IIII. VI.

  D. Cerno scilicet et extremos limites, eorumque differentias duplo distantes.

  M. Haec itaque praemitti oportuit ad videndum, secundum quam medietatem sese habeant tonorum mensurae; dum singulae enim medietates singulis sint propriae, tamen ex omnibus musica videtur intexta. Namque geometrica medietas omnes ad invicem duplorum terminos nectit, ut sicut ad VI. sunt XII. sic ad XII. sint XXIIII. Et rursus sicut ad XII. XXIIII. sic ad XXIIII. sint XLVIII. Haec deinde duplorum intervalla duobus dum compleantur terminis, 132.1019B| alius ex his arithmetica, alius medietate harmonica duas sibi extremitates copulat. Quo enim numero VIIII. praecellit VI. limitem, eo praecellitur a XII. limile. Quoque item numero XVIII. limes praecellit XII. limitem, eo praecellitur a XXIIII. limite, arithmetica duntaxat medietate. Rursus quota parte VI. limes VIII. praecellit, tota parte sui a XII. praecellitur. Vides enim, quia tertia parte VI. numeri major est numerus VIII. et tertia parte sui major est ab VIII. numerus XII. Similiter se habet XII. ad XVI. et XVI. rursus ad XXIIII. harmonica videlicet medietate.

  D. Etiam video, quia dum quota parte VI. numeri differt VIII. tota parte sui XII. ab VIII. differt, evenit, ut in ea proportione differentiae sint, qua ipsi ad invicem extremi sunt termini. Ut enim VI. ad XII. 132.1019C| ita II. ad IIII. Inter VI. enim et VIII. binarius differentia est, inter VIII. vero et XII. quaternarius.

  M. Recte prorsus intelligis. At nunc attende, qualiter ipsi toni, qui praedictorum terminorum intervalla complent, non arithmetica medietate, velut dies ad dies aequis ad invicem partibus minuuntur et crescunt: nec ad harmonicam medietatem dissimilium proportionum sunt, sed geometrica permensi medietate epitrita et sesquialtera intervalla complent. Sicut enim secundus sesquioctavus est ad priorem se, sic exstat tertius ad secundum. Sicut ad LXIIII. sesquioctavus est numerus LXXII. sic ad LXXII. sesquioctavus est numerus LXXXI.

  D. Cognosco quidem nunc, qualiter horum numerorum modo toni metiantur a tonis. Sed dic, qua 132.1019D| causa hos numeros pro exemplo elegeris.

  M. Quoniam id minori numero monstrari non potuit, quam octonario octies ducto. Is autem est LXIIII. hic enim quia secundus est octuplus, sesquioctavos duos ex se producit. Nam octava LXIIII. numeri eidem addita LXXII. numerum reddit. Porro octava pars LXXII. eidem addita reddit LXXXI. Et ita fiunt sesquioctavi duo, LXIIII. LXXII. LXXXI. Verum quoniam propositum fuit, plenius explicare, qualiter et in epitrito intervallo duo toni cum semitonio, nec non in tota sonorum serie cum tonis semitonia 132.1020A| disponantur, deberet quartus limes apponi, qui esset epitritus ad primum. Inter quem ac tertium limitem semitonium collocaretur. Sed cum LXIIII. numerus non possit in tria aequa partiri, epitritus ei non adjungitur. Ducatur ergo per tria, et mox ei epitritus accedit. Ter itaque LXIIII. quem numerum reddunt?

  D. CXCII.

  M. Etiam. Ab hoc ergo numero principium sumamus, ad ea, quae cepimus, explicanda. Dabis itaque mihi duplum ejusdem.

  D. Bis CXCII. fiunt CCCLXXXIIII.

  M. Utique: habes ecce duos hos numeros in duplici intervallo CXCII. CCCLXXXIIII. Hoc nunc duplum intervallum duobus oportet epitritis impleamus. 132.1020B| Da ergo CXCII. numeri epitritum.

  D. CXCII. numeri pars tertia, id est, LXIIII. eidem addita CCLVI. reddit. Qui numerus cum sit ad subduplum terminum epitritus, exstat ad duplum sesquialter.

  M. Da ejusdem CXCII. numerum sescuplarem.

  D. CXCII. pars dimidia, id est XCVI. eidem addita CCLXXXVIIII. perficiunt. Qui numerus cum sit ad subduplum terminum sescuplaris, exstat epitritus ad duplum.

  M. Ita profecto est. Sint nunc in ordine dispositi quatuor hi termini CXCII. CCLVI. CCLXXXVII. CCCLXXXIIII. Cum sit igitur inter primum ac secundum terminum intervallum epitritum, similiter inter tertium quartumque intervallum epitritum: ipsa 132.1020C| nunc epitritorum intervalla tonis ac semitoniis compleamus. Sumam octavam partem CXCII. numeri, quae est XXIIII. et fit per hanc toni additionem CCXVI. numerus, secundus tonus. Sumam CCXVI. numeri partem octavam, quae est XXVII. et fit per hanc toni additionem CCXLIII. numerus, sonus tertius. Sumere non possum CCXLIII. numeri partem octavam, quia inter hunc et quartum terminum, qui est CCLVI. quique est epitritus ad primum, tredecim tantum unitates inveniuntur, quae distantia est in semitonii ratione. Et finita est diatessaron modulatio duobus tonis ac semitonio supputata. Rursus quoniam sescuplus est epogdoa ratione major, tollam de sono quarto, id est, CCLVI. numero octavam suam, quae est XXXII. et fit per hujus toni adjectionem 132.1020D| CCLXXXVIII. numerus, sonus quintus. De sono quinto auferam octavam suam, quae est XXXVI. et fit per hujusmodi adjectionem CCCXXIIII. numerus, sonus sextus. De sono sexto auferam octavam suam, quae est XL. et semis, fitque per hanc toni adjectionem CCCLXIIII. numerus, sonus septimus. A sono autem septimo adversus CCCLXXXIIII. et semis numerum, qui octavus est sonus, restant in semitonii ratione XVIII. unitates, et finita est modulatio diapente tribus tonis ac semitonio supputata.

  Horum descriptio.

  132.1021A| Atsi mensionum quoque probationem desideras, facies chordam ad chordam, sive fistulam ad fistulam epitrito majorem, quae quarto loco ponenda sit. Facies et sequialtero longiorem, quae loco quinto locetur. Facies duplo longiorem, quam octavam pones. Item primae chordae seu fistulae octavam partem sumens appones secundae. Octavam secundae sumens appones tertiae; octavam tertiae sumere non poteris ad emetiendam quartam, quae jam mensuram accepit a prima, contra quam scilicet facta est epitrita. Similiter non opus est, quintam iterato metiri per quartam, quia dum sit sescuplaris primae, sesquioctava efficitur epitritae. Quintae rursus octavam tollens metieris sextam, sextae octavam tollens metieris septimam. Per septimam octavam metiri 132.1021B| non poteris, quia dum octava contra quintam facta sit epitrita, septimae et octavae distantia semitonium erit. Atque hoc intervallorum modo voces diversae suavi junctura conveniunt.

  D. Mirum certe, non posse aliter voces concordare, nisi nunc intra epitritum, nunc intra sesquialterum spatium semitoniorum intervalla coarctentur; ita ut nec ad medietatem praecedentis toni perveniant.

  M. Vere mira et deifica hoc evenit ratione. Sed ut ad liquidum cuncta dignoscas, tentemus et monochordi divisionem per easdem regulas sumere. Hoc ergo prius cognito, quod productiores chordae seu fistulae sonos graviores edunt, et eo acutiores quo fuerint breviores; ut contrario modo medietas 132.1021C| duplum sonet, quarta pars quadruplum. Sit ergo chorda intensa, veluti ab a. in z. tollam hujus dimidium spatii, veluti ab h. in z. et pulsa medietas diapason resonat ad totum. Tollam medietatem dimidii, veluti ab h. in p. et resonat disdiapason. Item in utroque diapason spatio minores symphoniae disponantur, id est, ab a. z. in a. h. et rursus ab h. z. in h. p. Tollam quartam partem a z. spatii, et respondet d. z. diatessaron. Tollam tertiam partem a. z. et respondet e. z. diapente. Similiter in h. p. spatio sublata quarta parte diatessaron sonat; sublata parte tertia diapente erit.

  Nunc diatessaron et diapente spatia epogdois 132.1022A| disponamus. Enim vero nona parte demta a. z. spatii, erit b. z. tonus. Demta nona parte b. z. spatii, erit c. z. tonus, et d. z. semitonium. Cum vero diatessaron et diapente differentia sit tonus, erit quoque d. z. ad e. z. tonus, demta nona parte e. z. spatii, erit f. z. tonus; demta nona parte f. z. spatii, erit g. z. tonus, et h. z. semitonium, et finitum est diapason intervallum. Eodem modo in alia diapason, id est, ab h. z. in h. p. spatium per diatessaron et diapente intervalla tonos cum semitoniis ordinabis diaconici modulaminis ratione. 132.1022B|

  D. Cum sint quatuor tetrachordorum species sibimet succedentes, quomodo possunt singulae eadem tonorum ac semitoniorum positione constare?

  M. Minime possunt. Nam cum unum sit tetrachordum, quod per duos tonos et semitonium constat, quod proximum et uno tono fit altius, evenit constare tono, semitonio, atque tono. Quod huic tertio loco sequitur, et semitonio altius est, constat necessario semitonio atque duobus tonis. Deinde 132.1022C| quod quarta vice succedit, et uno tono a priore distat, contingit esse sonorum trium. Rursus quod quinto loco fuerit, primo ordine redeunte duorum tonorum erit atque semitonii.

  D. Numquidnam hae singulae positiones singulis tetrachordorum speciebus sunt propriae?

  M. Sunt certe. Idcirco namque per quinta loca eadem redit cantionis qualitas, quia positionis ejusdem ordo circumagitur.

  D. Qua ergo ratione semitonium inter quos sonos cadit?

  M. Superiori formam da triti, inferiori formam deuteri, reliquis vero, prout quis a semitonio tonus 132.1023A| abfuerit. Nam a quo sono tonus unus ad superiorem partem usque ad semitonium fuerit, ad inferiorem vero partem duo toni, erit is sonus, quem vocamus archoum vel protum. Qui vero ad superiorem partem tonos duos habuerit, ad inferiorem partem tonum unum, fit ille, quem tetrardum nominamus. Jamque facile inter tetrachorda discernis, quia quod duobus tonis ac semitonio in sursum disponitur, constat his sonis, tetrardo, proto, deutero, trito. Quod disponitur tono, semitonio atque tono, constat sono proto, deutoro, trito, tetrardo. Quod disponitur semitonio atque duobus tonis, constat deutero, trito, tetrardo, proto. Quod disponitur tribus tonis, constat trito, tetrardo, proto, deutero. Idque ut manifestius fiat, sit hoc modo singulorum descriptio. 132.1023B|

  132.1023C| In hac igitur quatuor tetrachordorum descriptione cum interjectis paginulis tonorum distantiae designentur, interpositae vero sonis lineae semitoniis eos differre pronuntient, in aperto est proprietas singulorum.

  D. Utique in promptu patens. Sed unum tetrachordum quare fit tonorum trium?

  M. Sed et hoc ex praedictis datur intelligi. Cum etenim tetrachorda duo unum diapason compleant, singula vero tetrachorda binis tonis ac semitonio 132.1023D| compleantur, medius vero tonus integer duo dividat 132.1023| 132.1024A| tetrachorda, evenit, ut quarti tetrachordi species, quando jam diatessaron excessit spatium, id est, duos tonos cum semitonio, tribus tonis integris compleatur. Quod etiam praesenti descriptione manifeste apparet.

  D. Id jam patenter intelligo et descriptione et ratione, et, ut video, ipsa semitonii transpositio fit troporum mutatio.

  M. Haud equidem dubie. Nam hinc sua cuique phthongo discernibilis qualitas et tetrachordis et pentachordis suae sunt species, et, ut fatebris, troporum omnium formae, ipsumque idem semitonium, quodammodo cor atque animus efficitur cantilenae. In tantum ergo semitonii vis valet ad phthongorum speciem deformandam, ut, si infra duos eosdem 132.1024B| phthongos sesquitertio differentes diversum semitonii ordinem ponas, ipsi simul in diversam transeant formam. Exempli gratia: feceris chordam ad chordam longiorem epitrito, quae scilicet ad invicem diatessaron resonent. Haec consonantia cum alios duos inter se tonos contineat, sumatur a graviore parte, id est, a longiore chorda sive fistula, et inter primam ac secundam tonus ponatur; similiter inter secundam ac tertiam. Tertiam vero a quarto semitonio disjungamus, eritque tetrachordum his sonis dispositum, tetrardo, proto, deutero, trito. Rursum si ab acutiore parte incipiatur, primamque ac secundam tonus discernat similiter secundam ac tertiam; inter tertiam vero et quartam semitonii mensura sit, alia tunc tetrachordi species erit, sicut tonorum 132.1024C| positione, ita etiam sonorum proprietate, fitque primus, qui est acutior, protus, deinde tetrardus, tunc tritus, quarto loco deuterus; ut haec descriptio monet:

  Praeterea sciendum est, quia tritus sonus et deuterus discernibilem inter se habent suae proprietatis qualitatem, quibus solis videlicet semitonium differentia est, reliquis vero tono distantibus sonis non adeo per se fit discreta proprietas, sed magis colligitur ex ordine; ex circumstantia quippe facile dinosci valet quotus ille vel ille sit. Inde est, quod pro artis introductione ipsa graeca phthongorum vocabula modulatur in usque tertios levantes ac deponentes, quo videlicet sonorum proprietas dinoscatur ex ordine ad 132.1024D| hunc modum.

  132.1025A| D. Ubertim omnia constant exposita, vel quibus causis vel quot modis positiones tetrachordorum varientur: vel quomodo singulis positionum varietatibus modorum sive troporum species generentur. Locus tamen adhuc inquisitioni vacat. Dixisti siquidem, idcirco per quintas regiones eumdem tropi modum redire, quoniam idem positionis ordo revertitur.

  M. Dixi plane et propter sesquialteram habitudinem per quintas regiones consonare symphoniam, et ejusdem modi tropum ob ejusdem ordinis positionem reverti. Atque idcirco dum in alieno loco quid sumitur, aut tropi qualitatem retinens discrepat ab eo quod praecedit, dum sui ordinis positionem non invenit; aut alieno cedens ordini tropi qualitatem 132.1025B| transpositione convertit. Sed quod inquirere potueris, pande.

  D. Quaero equidem, cum non aliud videatur ejusdem tropi modus, quam in eodem melo tonorum cum semitoniis idem ordo; cumque ejusdem ordinis positio per octavas non redeat regiones, quare voces octava regione distantes eodem tropo concordent?

  M. Verum quidem est, quod quemadmodum quintae, ita nonae sit regionis potius quam octavae, in eadem sonorum constitutione eamdem positionem referre: ut sicut primus ac secundus tono distinguitur ita tonus sit inter nonum ac decimum sonum: sicut inter secundum ac tertium, ita inter decimum atque undecimum, semitonium 132.1025C| autem sicut tertium et quartum, ita undecimum 132.1026A| dividit atque duodecimum. Sed sciendum; quod in hac maxima symphonia vox, quae ad vocem superior graviorque octavis locis accesserit, non sequitur sui loci ordinem, sed ejus, cui consonanter responderit. Nec enim consonantiam praestaret, si vel tonus in semitonium, vel semitonium e regione offenderet in tonum.

  D. Quomodo toni in semitonia offenderent?

  M. Si phthongos octava regione distantes, illos semitonium distingueret, hos tonus, exempli gratia, si dum sit tonus inter primum ac secundum contra octavum atque nonum sonum, sit tonus inter secundum ac tertium contra nonum atque decimum, sit vero semitonium inter tertium et quartum sonum, tonus e contrario inter decimum atque undecimum; 132.1026B| tonus item inter quartum et quintum, e contrario semitonium inter undecimum atque duodecimum sonum: Sic profecto semitoniis contra tonos dissentientibus nec inter quartum sonum atque undecimum, nec inter quintum atque duodecimum vel dupli habitudo esse posset, vel consonantia aut tropus idem. Nunc vero cum sit tonus inter octavum et nonum sonum contra primum ac secundum, tonus inter nonum ac decimum contra secundum ac tertium, semitonium vero inter decimum et undecimum, quomodo inter tertium et quartum: per hujusmodi tonorum et semitoniorum e regione concordiam dupla proportio et symphoniam servat, tropique retinet modum.

  132.1026C| Scholica Enchiriadis finit.