Theoremata circa centrum gravitatis solidorum

E Wikisource

Jump to navigation Jump to search
Theoremata circa centrum gravitatis solidorum
1890





THEOREMATA


CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM




AVVERTIMENTO. « Queste sono alcune Proposizioni attenenti al centro di gravità de i solidi, > le quali in sua gioventù andò ritrovando il nostro Accademico, parendogli che » quello che in tal materia haveva scritto Federigo Comandino non mancasse di » qualche imperfezzione. Credette dunque con queste Proposizioni, che qui vedete » scritte, poter supplire a quello che si desiderava nel libro del Comandino ; » & applicossi a questa contemplazione ad instanza dell'Illustrissimo Sig. marchese » Guid' Ubaldo dal Monte grandissimo matematico de' suoi tempi, come le diverse » sue opere publicate ne mostrano; & a quel Sig. ne dette copia, con pensiero » di andar seguitando cotal materia anco ne gli altri solidi non tocchi dal Co- » mandino. Ma incontratosi dopo alcun tempo nel libro del Sig. Luca Valerio, » massimo geometra, e veduto come egli risolve tutta questa materia senza niente » lasciar in dietro, non seguitò più avanti, ben che le aggressioni sue siano per » strade molto diverse da quelle del Sig. Valerio. > Ai teoremi che seguono, nessuna introduzione migliore di queste parole che Galileo mette in bocca al Salviati in sulla fine del Dialogo Quarto delle < Nuove Scienze >,^^^ e che precedono la « Appendix, in qua continentur Theoremata, » eorumque demonstrationes, quae ab eodem Autore circa centrum gravitatis » solidorum olim conscripta fuerunt ». Né altro avremmo voluto aggiungere dal canto nostro, se per più rispetti non ci fosse sembrato opportuno di suffragare con prove l' asserto di Gahleo, e di determinare un po' meglio il posto che a questi teoremi deve essere assegnato tra le Opere di lui, giustificando in pari tempo il luogo che, seguendo l'ordine cronologico, ad essi qui diamo. (') Discorai e dimoatrazioni matematiche intorno a una Appendice del Centro di gravità d^ alcuni Solidi, due nuove scienze attenenti alla Mecanica et % Movi- In Leida, appresso gli Elsevirìi. M.D.C. XXXVIII, menti Locali, del signor GALILEO Galilei, ecc. Con pag. 288. 182 AVVERTIMENTO. Afferma per verità il Viviani che s' applicò Galileo « alla contemplazione del » centro di gravità de' solidi, per supplire a quel che ne aveva già scritto il Co- » mandino ; e di ventiquattro anni di sua età inventò quello che in tal materia » si vede scritto nell' Appendice impressa alla fine de' suoi Dialoghi delle due > nuove scienze > ; ^^^ secondo la quale asserzione, dovrebbero tali studi assegnarsi all' anno 1588. Ma questa data viene contraddetta da altre circostanze, principa- lissima fra tutte la dichiarazione fatta da Galileo stesso nella lettera ad Elia Diodati, del 6 dicembre 1636, nella quale scrive : « Manderò quanto prima una » appendice d' alcune dimostrazioni di certe conclusioni de centro gravitatis soli- > dorum, trovate da me essendo d' età di 21 anno e di 2 di studio di geometria ».^ Notando, per incidenza, che rimane per tal modo confermato quanto narra il Viviani stesso, vale a dire che Galileo sarebbe stato introdotto nello studio della geometria quando < già aveva compiti i diciannove anni »,^^^ ci pare di non poter rifiutar fede all'affermazione così esplicita del nostro Autore, e di dover quindi assegnare questi suoi studi all' anno 1585, per quanto in tal modo venga ad alterarsi quelF ordine cronologico dei lavori galileiani, il quale finora era stato universalmente accettato per vero. Oltre che al marchese Guidobaldo Del Monte, come afferma Galileo, aveva egli ancora, ed anzi prima che ad esso, data comunicazione di questi teoremi al P. Cristoforo Clavio, al quale ne lasciò altresì una parte in occasione del primo viaggio da lui compiuto a Roma nella seconda metà dell' anno 1587. Questa cir- costanza, ed il carteggio da Galileo tenuto intorno a cosiffatti argomenti, oltre che con i due sunnominati, anche con Michele Coignet di Anversa nei primi mesi del successivo anno 1588, determinano con tutta la esattezza desiderabile il tempo al quale questi studi devono farsi risalire, e che rimane confermato da altro docu- mento del quale diremo fra poco. Di questi teoremi, alcuni dei quali ebbero adunque una certa diffusione, manca l'autografo; e dei parecchi esemplari, che n'andarono attorno mano- scritti, giunse sino a noi soltanto uno, conservatoci, tra le carte di Giovanni Vincenzio Pinelli, nel cod. miscellaneo A. 71 Inf. della Biblioteca Ambrosiana, intitolato < Pinelli CoUectanea ». Questo esemplare contiene soltanto l'ultimo dei teoremi col lemma ad esso relativo, e in capo ad essi F attribuzione < di Vinc.° Galilei » ; nell' indice, però, premesso al codice, e in cui la erronea attri- buzione era ripetuta, già una mano del tempo corresse < Galilei de Galileis » (') Fasti Consolari deìV Accademia Fiorentina di viani: « che già aveva compiiti i 22 anni » {Fasti Salvino Salvint, ecc. In Firenze, MDGGXVII, nella Consolari delV Accademia Fiorentina di Salvino Sal- stamperìa di S. A. K. per Gio. Gaetano Tartini e Santi vini, ecc. pag. 401); ma fa parte di alcune poste- Franchi, pag. 403. riorì correzioni (assai probabilmente suggerite dalla i^ì Biblioteca Nazionale di^ Firenze. - Mss. Gali- lettera surriferita, che fu nota al Viviani, poiché ci leiani, Par. V, Tomo VI, car. 73 v. venne conservata in copia di sua mano), il cambia- ci) In una prima stesura del suo racconto isto- mento del " 22 ^, in " 19 ,. Cfr. Mss. Gal., P. I, T. I, rico della vita dì Galileo, scrisse per verità il Vi- car. 31 r. AVVERTIMENTO. 183 in luogo di « Vincentii de Galileis >. — Dopo il teorema sono trascritte le seguenti attestazioni : « Fassi fede per me Giovanni Bardi de' Conti di Vernio, come le presenti con- » clusioni e dimostrationi sono state ritrovate da M. Galileo Galilei ; e in fede ò » fatto la presente questo dì dodici di Decembre 1587, manu propria. > Io Gio. Batta Strozzi affermo il medesimo ; e in fede mi sono sottoscritto » di mia mano. » Io Luigi di Piero Alamanni affermo il medesimo; et in fede ho soscritto di > mia propria mano questo dì 12 Decembre 1587. » Io Gio. Batta da Kicasoli Baroni confermando il medesimo mi sottoscrivo > di man propria il dì 12 detto 1587. » Adì 29 di Decembre del 1587. > Io Gioseppe Moleto, Lettor publico delle Mathematiche nello Studio di Pa- » dova, dico haver letto i presenti Lemma et Theorema, i quali mi son parsi » buoni, e stimo 1' autor d' essi esser buono et esercitato Geometra. » Il medesimo Gioseppe ha scritto di man propria. » Questi documenti, e 1' essere la copia Ambrosiana tra le carte del Pinelli, man- cato a' vivi nel 1601, ci tolgono ogni dubbio eh' essa non rappresenti la forma pri- mitiva di tali studi giovanili del Nostro. Pur troppo però essa contiene soltanto, come si disse, l' ultima parte dell' opera ; così che per il rimanente fummo costretti ad attenerci unicamente alla edizione dei Dialoghi delle « Nuove Scienze >, nei quali per la prima volta Galileo dava alla luce nel 1638 questi teoremi, sebbene, come è assai verosimile, egli dovesse allora ritoccarne alquanto il primo getto, che risaliva a cinquanta e più anni addietro. L' edizione Leidense volemmo però riprodotta fedelmente, anche in certe incostanze della grafia, salvo bensì il cor- reggere gli errori di stampa, i quali notammo a pie di pagina. Né tenemmo conto delle correzioni ed aggiunte con cui, di mano di Vincenzio Viviani, è postillato un esemplare di tale edizione che fa parte della Collezione Galileiana nella Bi- blioteca Nazionale di Firenze (Par. V, T. IX) ; poiché queste non possono rappre- sentare che ulteriori modificazioni, suggerite dall'Autore negli ultimi anni della sua vita ; e profittandone noi ci saremmo anche di più allontanati da quella forma primitiva del 1585, la quale sarebbe stato nostro desiderio poter qui riprodurre. Facendo, invece, tesoro del testo Ambrosiano, ci parve opportuno presentarlo al lettore in maniera che agevolmente potesse farsi il confronto col testo posteriore, dandogli luogo, nella medesima pagina, sotto a questo, ormai dovuto seguire per tutto quanto precede. Nei Manoscritti Galileiani della Biblioteca Nazionale di Firenze, ad una copia I. 22 184 AVVERTIMENTO. dell' esemplare Ambrosiano, fatta da G. B. Venturi, è allegata una lettera senza firma né data (P. V. T. II, car. 6), che, conforme si legge, di mano di Galileo, sul tergo del foglio, contiene un « Giudizio sopra una mia Prop.""" fatto in Bo- logna >, la quale proposizione è appunto quella del surriferito esemplare. Anche questo documento ^*^ stimiamo di dover qui appresso pubblicare : « Molto 111.^" Sig.^ » Il mio amico loda infinitamente lo inventore di questa speculatione, et insieme » col sig. Meleto lo judica molto versato nelle matematiche. Et solo per mostrar > eh' egli r habbia veduta, quanto al Lemma, egli dice che pare che gì' antecedenti > et consequenti nella construttione si varijno da quello che erano nella proposta.

> Et ben che questo lemma non sia il medesimo con la nona d'Archimede, nel 2"* trat-

> tato del Tartaglia, par non di meno nato di là et sotto la forma di quella pro- » positione constretto, et simile ad una propositione che egli già molti anni fece, > nella quale, sì come Archimede toglie i due quinti della massima et l'amico di V. S. » un quarto, egli toglieva un ottavo, seguendo, ne l' altre, consimili proportionalità, » nel lor genere. Et dice non esser molta fatica, seguendo la forma d' Archimede, » formarsene assaissimo. > Quanto al Teorema, egli dubita se il centro del pezzo della piramide sia il » punto : per ciò che, stando la deffinitione del centro delle gravità [dei] corpi posta » da Pappo et adoprata dal marchese Del Monte nelle Mecaniche, non segue che

> se per lo centro o supposto passerà un piano, quel pezzo si divida in due parti

> ugualmente pesanti, come dovria quando fosse veramente il centro. Et il Coman- » dine, che la medesima materia tratta nel libro De centro gravium alla XXVI pro- » positione, molto più s' accosta a trovar il centro, che non par che faccia questa > demonstratione, quantunque da quella del Comandino non sia molto differente^ > Et questo è quanto egli a bocca mi riferisce; et io le bacio la mano ». Circa l'autore di questa lettera, non siamo in grado di formare alcuna ipo- tesi attendibile. ^^^ Neil' indice premesso al volume dei Manoscritti Galileiani che la contiene è scritto bensì « Lettera autografa del Marsili, nella quale si dà raggua- glio del giudizio fatto in Bologna sopra questa proposizione di Galileo » ; ma tale indicazione è evidentemente erronea : infatti questa lettera non è di certo posteriore all' anno 1588; ed il solo Marsili di Bologna, col quale Galileo sia stato in relazione, fu Cesare, nato il P febbraio 1592. (*) Edito in Galileo Galilei e lo Studio di Bologna era stata raccomandata la istanza con cui Galilko per Antonio Fa varo: negli Atti del B. Istituto Veneto aspirò alla lettura matematica nello Studio di Bolo- di Scienze, Lettere ed Arti; Ser. V, T. VII, pag. 765. gna nell'anno 1587. Cfr. Galileo Galilei e lo Studio (-) Forse potrebbe essere di quel Giovanni Dal- di Padova per Antonio Fa varo. Voi. I. Firenze, Suc- l'Armi, sonatore bolognese, al quale, come sappiamo, cessori Le Monnier, 1883, pag. 22-23. AVVERTIMENTO. 185 Quanto poi all'autore del giudizio riferito in detta lettera, crediamo proba- bilissimo essere egli stato Pietro Antonio Cataldi, lettore di matematica nello Studio di Bologna fin dall' anno 1582 e che occupò quella cattedra senza alcuna interruzione fino al 1626. Da tutto ciò noi siamo indotti a pensare che quello stesso documento conte- nente il giudizio del Moleto sia stato mandato al Cataldi, e che Galileo nel sot- toporre quella sua dimostrazione ai lettori di matematica dei due principali Archiginnasi italiani d' allora, non mirasse soltanto ad avere il loro parere, ma ancora cercasse di farsi conoscere in quei celebratissimi centri di studio, con lo scopo di ottenervi una cattedra. THEOEEMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. POSTULATUM. Petimus, aequalium ponderum similiter in diversis libris disposi- torum, si horum quidem compositorum centrum gravitatis libram se- cundum aliquam rationem diviserit, et illorum etiam gravitatis cen- trum libram secundum eandem rationem dividere. Lemma. Sit linea ah bifariam in e secta, cuius medietas ac divisa sit in e; 10 ita ut quam rationem habet he ad ea^ e e h hanc habeat ae ad ec. Dico, he ipsius ea * ' * ~~' duplam esse. Quia enim ut he ad ea^ ita ea ad ee^ erit, componendo et permutando, ut ha ad ac^ ita ae ad ec; est autem ut ae ad ee, nempe ut ha ad ac, ita he ad ea: quare he ipsius ea dupla est. His positis demonstratur : Si magnitudines quoteunque sese aequaliter excedenteSy et quarum excessus earum minimae sint aequales, ita in libra disponantuTy ut ex distantiis aequalibus pendeanf, centrum gravitatis omnium libram ita dividere^ ut pars versus minores reliquae sit dupla. In libra itaque ah ex distantiis aequalibus pendeant quoteunque 20 numero magnitudines f] g, li, h, n, quales dictum est, quarum mi- . quocunque — 188 THEOREMATA CIECA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.

nima sit n ; sintque puncta suspensionum a, e, d, e, 5, sitque omnium magnitudinmn sic dispositarum gravitatis centrmn x, Ostendendum est, partem librae hx, versus minores magnitudines, reliquae xa du- plam esse. Dividatur libra bifariam in puncto d, quod vel in aliquo puncto suspensionum, vel in duarum suspensionum medio cadet necessario; re- liquae vero suspensionum distantiae, quae inter a et d intercipiuntur, omnes bi- fariam dividantur punctis io m, i; magnitudines deinde omnes in partes ipsi n ae- quales dividantur : erunt iam partes ipsius f tot numero, quot sunt quae ex libra pendent magni- tudines; partes vero ipsius g erunt una pauciores; et sic de reliquis. Sint itaque ipsius f partes n^ o, r, s, t; ipsius g vero, n, o, r, s; ipsius h quo- que, n, 0, r ; ipsius denique h sint n, o : eruntque magnitudines omnes in quibus n^ ipsi f aequales ; magnitudines vero omnes in quibus o, ipsi g aequales ; et magnitudines in quibus r^ ipsi h ; illae autem in quibus s, ipsi h; et magnitudo t ipsi n aequalis est. Quia igitur 20 magnitudines omnes, in quibus n, inter se sunt aequales, aeque pon- derabunt in signo d, quod libram ah bifariam dividit; et eandem ob causani omnes magnitudines, in quibus 0, aeque ponderant in i; illae autem in quibus r, in e ; et in quibus s^ in ììi aeque ponde- rant ; t autem in a suspenditur. Sunt igitur in libra ad, ex distantiis aequalibus d, i, e, m, a, suspensae magnitudines sese aequaliter ex- cedentes, et quarum excessus minimae aequatur : maxima autem, quae est composita ex omnibus n, pendet ex d; minima, quae est t, pen- det ex a; et reliquae ordinate dispositae sunt. Estque rursus alia libra ab ; in qua magnitudines aliae, praedictis numero et magnitu- 30 dine aequales, eodem ordine dispositae sunt : quare librae ab, ad a centris omnium magnitudinum secundum eandem rationem dividen- tur. Est autem centrum gravitatis dictarum magnitudinum x : quare x dividit libras ha, ad sub eadem ratione, ita ut sicut hx ad xa, ita xa ad xd ; quare hx dupla est ipsius xa^ ex lemmate supra posito. Quod erat probandum. . f aequatur — 19. g aequatur — 27. minime — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. 189 Si conoidi paraholico figura inscrihatur^ et altera circumscrihatur ex cylindris aequalem altitudinem haheniihus, et axis dicti conoidis dividitur ita ut pars ad verticem partis ad hasin sit dupla ; centrum gravitatis inscriptae figurae basi portionis, dicto pundo divisionis, erìt propinquius ; centrum autem gravitatis circumscriptae a basi conoidis eodem puncto erit remotius ; eritque utrorumque centrorum a tali puncto distantia aequalis lineaCj quae sit pars sexta altitudinis unius cylindri ex quihus figurae Constant, Sit itaque conoidale parabolicum, et figurae quales dictae sunt :

altera sit inscripta, altera circumscripta ; et axis conoidis, qui sit ae, 

dividatur in n, ita ut an ipsius'7?<3 sit dupla. Ostendendum est, cen- trum gravitatis inscriptae figurae esse in linea ne, circumscriptae autem centrum esse in an, Secentur figurae ita dispositae plano per axem, et sit sectio parabolae hac ; plani autem secantis, et basis co- noidis, sectio sit ì)C linea ; cylin- drorum autem sectiones sint rec- tangulae figurae: ut in descrip- tione apparet. Primus itaque cy- lindrus inscriptorum cuius axis

est dCy ad cylindrum cuius axis 

est dy, eandem habet rationem quam quadratum id ad quadra- tum sy, hoc est quam da ad ay; cylindrus autem cuius axis est dy ad cylindrum y^ est ut sy ad r^ potentia, hoc est ut ya ad as; et eadem ratione cylindrus cuius axis est zy; ad eum, cuius axis est zu, est ut za ad au. Dicti itaque cylindri sunt inter se ut lineae da, ay^

za, au : istae autem sunt sese aequaliter excedentes, et est excessus 

aequalis minimae, ita ut az dupla sit ad au; ay autem eiusdem est tripla, et da quadrupla. Sunt igitur dicti cylindri magnitudines quae- dam sese ad invicem aequaliter excedentes, quarum excessus aequan- tur earum minimae; et est linea xm, in qua ex distantiis aequalibus suspensae sunt (unumquodque enim cylindrorum centrum gravitatis habet in medio axis) : quare, per ea quae superius demonstrata sunt, centrum gravitatis magnitudinis ex omnibus compositae dividet li190 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. neam xm, ita ut pars ad x reliquae sit dupla. Dividatur itaque, et sit xoL ipsius am dupla ; est ergo a centrum gravitatis inscriptae figu- rae. Dividatur au bifariam in s ; erit ^x dupla ipsius me : est autem xa dupla ipsius olm; quare ze tripla erit ea. Est autem ae tripla ipsius en; constat ergo, en maiorem esse quam ea^ et ideo a, quod est centrum figurae inscriptae, magis accedere ad basin conoidis quam n. Et quia est ut ae ad en ita ablatum se ad ablatum ecc^ erit et reliquum ad reliquum, idest ae ad na^ ut ae ad en. Est ergo an tertia pars ipsius a^^ et sexta ipsius au. Eodem autem pacto cylindri circumscriptae figurae demonstrabuntur esse sese aequaliter excedentes, et esse excessus aequa- io les minimo, et habere in linea em centra gravitatum in distantiis aequalibus. Si itaque dividatur em in tu, ita ut stu reliquae 7zm sit du- pla, erit r. centrum gravitatis totius circumscriptae magnitudinis : et, cum en dupla sit ad rim^ ae autem minor sit quam dupla ad em (cum ei sit aequalis), erit tota ae minor quam tripla ipsius en; quare ev: maior erit ipsa en. Et cum ein tripla sit ad m^r, et me cum duabus ea similiter tripla sit ad me^ erit tota ae cum ae tripla ad en. Est au- tem ae tripla ad en ; quare reliqua a^ reliquae nn tripla erit. Est igitur nn sexta pars ipsius au. Haec autem sunt, quae demonstranda fuerunt. 20 Ex his manifestum est, posse conoidi parabolico figuram inscribi, et alterali! circumscribi, ita ut centra gravitatum earum a puncto n minus quacunque proposita linea distent. Si enim sumatiir linea pro- positae lineae sexcupla, fiantque cylindrorum axes, ex quibus figurae componuntur, liac sumpta linea minores ; erunt, quae inter liarum figurarum centra gravitatum et signum n cadunt lineae, proposita linea minores. Aliter idem. Axis conoidis, qui sit ed, dividatur in 0, ita ut co ipsius od sit du- pla. Ostendendum est, centrum gravitatis inscriptae figurae esse in so linea od; circumscriptae vero centrum esse in co. Secentur figurae plano per axem et e, ut dictum est. Quia igitur cylindri sn, tm, v% xe sunt inter se ut quadrata linearum sd, in, vm, xi; haec autem sunt inter se ut lineae ne, cm, ci, ce ; liae autein sunt sese aequaliter exce- . est autem «e — 5. c[uaw ex — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. 191 dentes, et excessus aequantur minimae, nempe ce; estque cylindrus tm cylindro qn aequalis; cylindrus autem vi iipsi pn, et xe ipsi In aequa- tur ; ergo cylindri sn, qn, jpn, In sunt sese aequaliter excedentes, et excessus aequantur minimo eorum, nempe cylindro In. Est autem ex- cessus cylindri sn super cylindrum qn anulus, cuius altitudo est qt, hoc est nd^ latitudo autem sq; excessus autem cylindri qn super pn est anu- lus, cuius latitudo est qp; excessus 10 autem cylindri pn super In est anu- lus, cuius latitudo pi. Quare dicti anuli sq, qp, pi sunt inter se aequa- les et cylindro In. Anulus igitur st aequatur cylindro xe; anulus qv, qui ipsius st est dupluSj aequatur cylin- dro vi, qui similiter cylindri xe du- plus est ; et eamdem ob causam anulus px cylindro tm, et cylindrus le cylindro sn aequalis erit. In libra ita- 20 que kf, puncta media rectarum ei, dn connectente, et in partes aequales punctis h, g secta, sunt magnitudines quaedam, nempe cylindri sn, tm, vi, xe; et gravitatis centrum primi cylindri est k, secundi vero est h, tertii g, quarti f. Habemus autem et aliam libram mie, quae est ipsius fk di- midia, totidemque punctis in partes aequas distributa, nempe mh, hi, nk; et in ea aliae magnitudines, illis quae sunt in libra fk numero et ma- gnitudine aequales, et centra gravitatum in signis m, h, n, k haben- tes, et eodem ordine dispositae, sunt. Cylindrus enim le centrum gra- 30 vitatis habet in m, et aequatur cylindro sn centrum habenti in k ; anulus vero px centrum habet ìi, et aequatur cylindro tm cuius cen- trum est ìi; et anulus qv, centrum habens n, aequatur cylindro vi, cuius centrum est g ; et denique anulus st, centrum habens k, aequatur cylindro xe, cuius centrum est f. Igitur centrum gravitatis dictarum magnitudinum libram dividet in eadem ratione : earumdem vero unum est centrum, ac propterea punctum aliquod utrique librae commune, quod sit y. Itaque fy ad yk erit ut ky ad ym; est ergo fy dupla 192 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. ipsius yU ; et, divisa ce bifariam in z, erit zf dupla ipsius M, ac pro- pterea zd tripla ipsius dy. Rectae vero do tripla est ed: maior est ergo recta do, quam dy ; ac propterea y centrum inscriptae magis ad basin accedit, quam punctum o. Et, quia ut ed ad do, ita est abla- tum zd ad ablatum dy, erit et reliquum cz ad reliquum yo, ut ed ad do : nempe yo tertia pars erit ipsius ez, hoc est pars sexta ipsius ee. Eadem prorsus ratione demonstrabimus, cylindros circumscriptae fìgurae sese aequaliter excedere, et esse excessus aequales minimo, et ipsorum centra gravitatum in distantiis aequalibus librae hz con- stituta ; et, pariter, anulos iisdem cylindris aequales similiter disponi in io altera libra hg^ ipsius 'kz dimidia ; ac propterea circumscriptae gravi- tatis centrum, quod sit r, libras ita dividere, ut zr ad rk sit ut kr ad rg, Erit ergo zr dupla ipsius rk; ez vero rectae kd aequalis est, et non dupla : erit tota ed minor quam tripla ipsius dr ; quare recta dr maior est quam do : scilicet centrum circumscriptae a basi magis re- cedit, quam punctum o. Et quia zk tripla est ad kr, et kd cum dna- bus ze tripla ad kd. erit tota ed cum ez tripla ipsius dr. Est autem ed tripla ad do: quare reliqua ez reliquae ro tripla erit; scilicet or sexta pars est ipsius ce. Quod est propositum. His autem praedemonstratis, demonstratur, centrum gravitatis pa- 20 rabolici conoidis axem ita dividere, ut pars ad verticem reliquae ad basin sit dupla. Esto parabolicum conoidale, cuius axis sit ab, divisus in n ita ut an ipsius nh sit dupla. Ostendendum est, centrum gravitatis conoidis esse n punctum. Si enim non est n, aut infra ipsum, aut supra ipsum, erit. Sit, primum, infra, sitque x; et exponatur linea lo ipsi nx aequa- lis, et lo contingenter dividatur in s; et quam rationem liabet utra- que sinml hx, os ad os, liane liabeat conoidale ad solidum r; et inscri- batur conoidi figura ex cylindris aequalem altitudinem lial^entibus, ita ut quae inter iUius centrum gravitatis et punctum n intercipitur, so minor sit quam Is; excessus autem, quo a conoide superatur, minor sit solido r. Hoc autem fieri posse, clarum est. Sit itaque inscripta, cuius gravitatis centrum sit i: erit iam ix maior so; et quia est, ut xb cum so ad so, ita conoidale ad r (est autem r maius excessu quo conoidale figuram inscriptam superat), erit conoidalis ad dictum ex- cessum proportio, maior quam utriusque bx, os ad so; et, dividendo, figura inscripta ad dictum excessum maiorem rationem habebit quam bx ad so, Habet autem hx ad xi proportionem adhuc minorem quam ad so : inscripta igitur figura ad reliquas portiones multo maiorem proportionem habebit quam hx ad xi. Quam igitur proportionem ha- bet inscripta figura ad reliquas portiones, alia quaedam linea ha- bebit ad xi: quae necessario maior erit quam l)x. Sit igitur mx, Ha- bemus itaque centrum gravitatis

conoidis X ; figurae autem in ipso 

inscriptae centrum gravitatis est i: reliquarum ergo portionum, quibus conoidale inscriptam figuram exce- dit, gravitatis centrum erit in linea xm^ atque in eo ipsius puncto in quo sic terminata fuerit ut, quam pro- portionem habet inscripta figura ad excessum quo a conoide supe- ratur, eandem ipsam habeat ad xi. Ostensum autem est, hanc pro- portionem esse illam quam habet mx ad xi; erit ergo m gravitatis

centrum earum portionum quibus conoidale excedit inscriptam figu- 

ram : quod certe esse non potest ; nani, si per m ducatur planum basi conoidis aequidistans, erunt omnes dictae portiones versus eandem partem, nec ab eo dividentur. Non est igitur gravitatis centrum ipsius conoidis infra punctum n. Sed ncque supra. Sit enim, si fieri potest, li ; et rursus, ut supra, exponatur linea lo aequalis ipsi hn, et contin- genter divisa in s; et quam proportionem habet utraque simul hn, so ad sl^ hanc habeat conoidale ad r; et conoidali circumscribatur figura ex cylindris, ut dictum est, a qua minori quantitate exceda- tur, quam sit solidum r; et linea Inter centrum gravitatis circum-

scriptae et signum n sit minor quam so: erit residua uh maior quam Is; 

et quia est, ut utraque hn, os ad sl^ ita conoidale ad r (est autem r maius excessu quo conoidale a circumscripta superatur), ergo hn^ so ad si minorem rationem habet quam conoidale ad dictum excessum. Est autem hu minor quam utraque 6% so ; uh autem, maior quam si : multo igitur maiorem rationem habet conoidale ad dictas portiones. . mx ac xi — 20. earum proportionum — 22. dictae proportiones — 27. conoidale circum scrihatur — 35. dictas proportiones — 194 THEOREMATA CIKCA CENTRUM GRAVITATI8 SOLIDOEUM. I quam hu ad uh. Quam igitur rationem habet conoidale ad easdeiii portioneSj hanc habebit ad uh linea maior ipsa hu. Habeat, sitque ea mu; et, quia centrum gravitatis circumscriptae figurae est ti, centrum vero conoidis est h, atque est ut conoidale ad residuas por- tiones ita mu ad uh, erit m centrum gravitatis residuarum portionuni : quod similiter est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis co- noidis supra punctum n: sed demonstratum est, quod ncque infra: restat ergo ut in ipso n sit necessario. Et eadem ratione demonstra- bitur de conoide plano super axe non erecto secto. Aliter, idem, ut constat in sequenti, centrum gravitatis conoidis parabolici Inter cen- io trum circumscriptae figurae et centrum inscriptae cadit. Sit conoidale, cuius axis ab; et centrum circumscriptae sit e, in- scriptae vero sit 0. Dico, centrum conoidis inter e, o puncta esse. Nani, si non, infra vel supra vel in altero eorum erit. Sit infra, ut in r: et, quia r est centrum gravitatis totius conoidis, inscriptae autem figurae est gravitatis centrum o, reliquarum ergo portionum, quibus inscripta figura a conoide superatur, centrum gravitatis erit in linea or ad partes r extensa, atque in eo puncto in quo sic terminatur, ut quam rationem liabent dictae portiones ad inscriptam, eandem liabeat or ad lineam 20 inter r et punctum illud cadentem. Sit liaoc ratio illa quam liabet or ad rx. Aut igitur x cadet extra conoidem, aut intra, aut in ijjsa basi. Si vel extra, vel in basi cadat, iam ma- nifestum est absurdum. Cadat intra: et, quia xr ad ro est ut inscripta figura ad excessum quo a conoide superatur, rationem illam quam liabet hr ad ro^ eandem liabeat inscripta figura ad solidum k, quod necessario minus erit dicto excessu ; et iiiscribatur alia figura, quae a conoide superetur minori quaiititate quam sit k, cuius 30 gravitatis centrum cadet intra oc. Sit u: et, quia prima figura ad k est ut hr ad ro, secunda autem figura, cuius centrum ti, maior est prima, et a conoide exceditur minori quantitate quam sit k, quam rationem liabet secunda figura ad excessum quo a conoide superatur, liane ha- bebit ad ru linea maior ipsa hr. Est autem r centrum gravitatis co- -2. easdem proportiones — 4:^-^. residuas proportiones — IG. ergo proportiomim — 19. dictae proportiones — 31. infra oc — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. 195 iioidis ; inscriptae autem secundae, u : centrum ergo reliquarum por- tionum erit extra conoidem, infra h; quod est impossibile. Et eodem pacto demonstrabitur, centrum gravitatis eiusdem conoidis non esse in linea ca, Quod autem non sit alterum punctorum e, o, manifestum est. Si enim dicas esse, descriptis aliis figuris, inscripta quidem maiori illa cuius centrum o, circumscripta vero minore ea cuius centrum e, centrum conoidis extra harum figurarum centrum caderet; quod nuper, impossibile esse, conclusum est. Restat ergo ut inter centrum circum- scriptae et inscriptae figurae sit. Quod si ita est, necessario erit in 10 signo ilio, quod axem dividit ut pars ad verticem reliquae sit dupla. Cum enim circumscribi et inscribi possint figurae, ita ut quae inter ipsarum centrum et dictum signum cadunt lineae, quacunque linea sint minores, aliter dicentem ad impossibile deduceremus: quod, sci- licet, centrum conoidis non intra inscriptae et circumscriptae centra caderet. Si fuerint tres lineae proportionales^ et qiiam proportionem habet mi- nima ad excessum quo maxima minimam superai^ eandem liabeat linea quaedam sumpta ad duas tertias excessus quo maxima mediam super at ; et, item, quam proportionem habet composita ex maxima et dupla mediae ad 20 compositam ex tripla maximae et mediae, eandem habuerit alia linea sumpta ad excessum quo maxima mediam excedit ; erunt ambae lineae sumptae simtd, tertia pars maximae proportionalium, Sint tres lineae proportionales ab, bc, bf : et quam proportionem habet bf ad af, liane liabeat ms ad duas tertias ipsius ca ; quam vero proportionem habet composita ex ab et dupla bc ad compositam ex tripla utriusque ab, bc, eandem liabeat alia, nempe sn, ad ac. Demon- strandum est, mn tertiam esse partem ipsius ab. Quia itaque ab, bc, bf sunt proportionales, erunt etiam ac, cf in eadem ratione : est igitur ut ab ad &c, ita ac ad cf ; et ut tripla ab ad triplam bc, ita ac ad cf. 30 Quam itaque rationem habet tripla ab cum tripla bc ad triplam c6, liane habebit ac ad lineam ^^ e o f h minorem ipsa cf. Sit illa co. Quare, componendo et per ' • conversionem proportionis, oa ad ac eandem habebit rationem, quam tripla ab cum sexcupla bc ad triplam ab cum tripla bc : habet autem ac -2. proportionum — 2. conoides — 11 cum n circumscribi — 196 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATI^ SOLIDORUM, ad sn eandem rationem quam tripla ah cum tripla he ad ah cum dupla he : ex aequali igitur oa ad ns eandem habebit rationem, quam tripla ah cum sexcupla he ad ah cum dupla he. Veruni tripla ah cum sexcupla he triplae sunt ad ah cum dupla he ; ergo ao tripla est ad sn, Rursus : quia oe ad ea est ut tripla eh ad triplani ah cum tripla eh ; est auteni sicut ea ad ef^ ita tripla ah ad triplani he; ex aequali, ergo, in proportione perturbata, ut oe ad cf, ita erit tripla ah ad triplam ah cum tripla he^ et, per conversionem rationis, ut of ad fé, sic tripla he ad triplam a& cum tripla he. Est auteni, sicut ef ad ft^ ita ae ad c&^ et tripla ae ad triplam &c; ex aequali igitur, in propor- io tione perturbata, ut of ad fh ita tripla ae ad triplam utriusque si- mul ah, he. Tota igitur oh ad hf erit ut sexcupla aZ> ad triplam utriusque ah, he; et, quia fé, ea in eadem sunt ratione et eh, ha, erit sicut fé ad ea, ita oc ad ?^(^; et, componendo, ut fa ad ae, ita utra- que &a^ he ad k^, et sic tripla ad triplani : ergo ut fa ad ae, ita com- posita ex tripla ha et tripla he ad triplam ah ; quare, sicut fa ad duas tertias ipsius ae, sic composita ex tripla ha et tripla he ad duas ter- tias triplae ha, hoc est ad duplani ha. Sed sicut fa ad duas tertias ipsius ae, ita jfi ad ms ; sicut ergo fò ad ms, ita composita ex tripla ha et tripla ?>c ad duplani ha. Veruni sicut oh ad fh, ita erat sexcupla ah 20 ad triplani utriusque ah, he: ergo, ex aequali, oh ad ms eandem liabebit rationem quani sexcupla ah ad duplam ha ; quare ms erit tertia |)ars ipsius oh. Et demonstratum est, s;ì tertiam esse ])artem ipsius ao: constat ergo, mn ipsius ah tertiam similiter esse partem. Et lioc est quod demonstrandum fiiit. CuiusUbet frusti a eonoide paraholieo ahseissi eentrum (jravitatis est in linea reeta quae frusti est axis ; qua in tres aequas partes divisa, eentrum gravitatis in media existit, eamque sie dividit, ut pars versus minorem hasim ad partem versus maiorem hasim, eandem ìiaheat rationem qtiam maior hasis ad hasim minorem. no A conoide, cuius axis rh, abscissuin sit solidum, cuius axis he, et planum abscindens sit basi aequidistans ; secetur auteni altero plano per axem super basin erectum, sitque sectio parabolae ure ; liuius auteni et plani secantis et basis sectiones sint lineae rectae Im, tic: erit rh diameter proportionis, vel diametro aequidistans ; Im, uè erunt . utriusque ab, ac — ordinatim applicatae. Dividatur itaque eh in tres partes aequales, quarum media sit qy; haec autem signo i ita dividatur, ut, quam rationem habet basis cuius diameter uc, ad basin cuius diameter Im, hoc est quam habet quadratum uc ad quadratum Im^ eandem habeat qi ad iy. Demonstrandum est, i centrum gravitatis esse frusti Ime. Expo- natur linea ns aequalis ipsi hr, et sx aequalis ^. sit er; ipsarum autem ns, sx sumatur tertia proportionalis sg; et quam proportionem habet ng ad gs^ hanc habeat linea hq ad io.

Nihil autem refert, si punctus o supra vel 

infra Im cadat. Et quia in sectione urc lineae Im^ uc ordinatim sunt applicatae, erit ut quadratum uc ad quadratum hn, ita linea hr ad re: est autem ut quadratum uc ad qua- dratum Irn^ ita qi ad iy^ et ut hr ad re^ ita ns ad sx: ergo qi ad iy est ut ns ad sx. Quare ut qy ad yi, ita erit utraque ns, sx ad sx, et ut eh ad yi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad sx: est autem ut eh ad hy, ita composita ex tripla utriusque simul ns, sx ad compositam ex ns, sx : ergo ut eh

ad hi, ita composita ex tripla ns et tripla sx ad compositam ex ns 

et dupla sx. Sunt igitur tres lineae proportionales, ns, sx, gs; et quam proportionem habet sg ad gn, hanc habet quaedam sumpta oì ad duas tertias ipsius eh, hoc est ipsius nx; quam autem proportionem com- posita ex ns et dupla sx, ad compositam ex tripla ns et tripla s^, eandem habet alia quaedam sumpta ih ad he, hoc est ad nx. Per ea igitur, quae supra demonstrata sunt, erunt lineae illae simul sumptae tertia pars ipsius ns, hoc est ipsius rh ; est ergo rh tripla ipsius ho: quare o erit centrum gravitatis conoidis urc. Sit autem a centrum gravitatis conoidis Irm; frusti ergo ulmc centrum gravitatis est in

linea oh, atque in eo puncto qui illam sic terminat, ut quam rationem 

ha])et ulmc frustum ad Irm portionem, eam habeat linea ao ad eam quae inter o et dictum punctum intercedit. Et quia ro est duae tertiae ipsius rh, ra vero duae tertiae ipsius re ; erit reliqua ao duae tertiae reliquae eh. Et quia est, ut frustum ulmc ad portionem Irm, ita ng ad gs ; ut autem ng ad gs, ita duae tertiae eh ad oi; duabus . ut rs ad — ut gy — 28. autem centrum — 30. qiiae rationem, — 31. frusti ad Irm 'proportionem — 34. proportionem Irm — 198 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. autem tertiis ipsius eh aequalis est linea ao ; erit ut frustum ulmc ad portionem Irm, ita cto ad oi, Constat igitur, frusti ulmc gravitatis centrum esse punctum % et axem ita dividere, ut pars versus mi- norem basin ad partem versus maiorem sit ut dupla maioris basis una cum minori ad duplam minoris una cum malori. Quod est proposi- tum elegantius explicatum. Si magnitudines quotcunque ita inter se dispositae, ut secunda addai super primam duplum primae, tertia addai super secundam iriplum primae, quarta vero addai super iertiam quadruplum primae, et sic unaquaeque sequen- tium super sili proximam addai magnitudinem primae muUiplicem secun- io dum numerum quem ipsa in ordine reiinuerit ; si, inquam, liae magnitu- dines ordinatim in libra ex distaniiis aequalihus siispendaniur ; centrum aequilibrii omnium compositarum libram ita dividet, ut pars versus minores magnitudines reliquae sit tripla. Esto libra LT ; et magnitudines, quales dictum est, in ea pendeant, et sint A, F, G, H, K, quarum A ex T suspensa sit prima. Dico, centrum aequilibrii libram TL ita secare, ut pars versus T reliquae sit tripla. Sit TL tripla ad LI, et SL tripla LP, et QL ipsius LN, et LP ipsius LO ; erunt IP, PN, NO, OL aequales. Et accipiatur in F magnitudo ipsius A dupla, in G vero alia eiusdem tripla, in H eiusdem 20 quadrupla, et sic deinceps ; et sint sumptae magnitudines illae in quibus a. Et idem fiat in magnitudinibus F, G, H, K : quum enim in F reliqua magnitudo, nempe h^ sit aequalis A, sumatur in G ipsius dupla, in H tripla etc; et sint liae magnitudines sumptae, in quibus h : et eodem pacto sumantur illae, in qui- -j bus Cy et in quibus d, et e. Erunt iam omnes in quibus a, aequales ipsi K ; composita vero ex omnibus h aequa- bitur ipsi H ; composita ex e, ipsi G ; ex omnibus d vero composita aequa- 30 bitur F ; et e, ipsi A. Et, quia TI dupla est IL, erit I punctum aequilibrii ma- gnitudinis compositae ex omnibus a; et, similiter, cum SP ipsius PL sit dupla, erit P punctum aequilibrii compositae ex omnibus h ; et, eamdem ob causam, N erit punctum . proportionem Inii — I -N X I Q S a a a a a n "^ a a a "a "1 ^ h a a " (1 h J b F ^ " ' b b Q b ^ e b J1 e e d e e ff ri '""B e K THEOEEMATA CIRCA CENTEUM GEAVITATIS SOLIDOEUM.

aequilibrii compositae ex omnibus e ; 0, vero, compositae ex d ; et L, ipsius e. Est igitur libra quaedam TL, in qua ex distantiis aequalibus pendent magnitudines quaedam K, H, Gr, F, A ; et, rursus, est alia libra LI, in qua ex distantiis similiter aequalibus pendent totidem numero magnitudines, et eodem ordine praedictis aequales : est eiiim composita ex omnibus a, quae pendet ex I, aequalis K pendenti ex L ; et composita ex omnibus 1), quae pendet ex P, aequatur H pendenti ex P ; et, similiter, composita ex e, quae pendet ex N, aequatur G ; et composita ex d, quae pendet ex 0, aequatur F ; et e, pendens ex L, 10 aequalis est A. Quare librae eadem ratione a centro compositarum ma- gnitudinum dividentur : unum est autem centrum compositae ex dictis magnitudinibus : erit ergo punctum commune rectae TL et rectae LI, centrum; quod sit X. Itaque ut TX ad XL, ita erit LX ad XI, et tota TL ad LI : est autem TL ipsius LI tripla : quare et TX ipsius XL tripla erit. Si magnitudines quotcumque ita sumantur, ut secunda addat super pri- man triplum primae, tertia vero super secundam addat quintuplum primae, quarta autem super tertiam addat septuplum primae, et sic deinceps unius- cuiusque augmentum super sibi proximam procedat multiplex primae ma- gnitudinis secundum numeros consequenter impares, sicuti procedunt qua-

drata linearum sese aequaliter excedentium, quarum excessus minimae sit 

aequalis; et in libra ex distantiis aequalibus suspendantur ; omnium com- positarum centrum aequilibrii libram di- videte ut pars versus minor es magnitudines reliquae sit maior quam tripla, eadem vero, dempta una distantia, eiusdem minor sit qiiam tripla. Sint in libra BE magnitudines, qua- les dictum est, a quibus auferantur ma- gnitudines aliquae inter se ut quae in

praecedenti dispositae fuerunt; et sint 

compositae ex omnibus a: erunt re- liquae, in quibus e, eodem ordine di- stributae, sed deficientes maxima. Sit ED tripla DB, et GF tripla FB; erit D centrum aequilibrii compositae ex omnibus a ; F vero, compositae ex omnibus e : quare compositae ex omnibus a, e, centrum cadet inter D 200 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. et F. Sit 0. Manifestum itaque est, EO ipsius OB maiorem esse quam triplani ; GO vero eiusdem OB minorem esse quam triplani. Quod de- monstrandum erat. Si micumque cono, vel coni portioni, ex cylindris aequalem altitudinem hahentibus figura una inscrihatur, et altera circumscribatur ; itemque axis eius ita dividatur, ut pars quae inter punctum divisionis et verticem in- tercipitur, reliquae sit tripla ; erit inscriptae figurae gravitatis centrum prò- pinquius basi coni quam punctum illud divisionis; circumscriptae vero centrum gravitatis eodem' puncto erit vertici propinquius. Sit itaque conus, cuius axis nm dividatur in s ita ut ns reliquae sm io sit tripla. Dico, cuiuscumque figurae cono, ut dictum est, inscriptae centrum gravitatis in axe nm consistere, et ad basin coni magis ac- cedere quam s p,unctum; circumscriptae vero gravitatis centrum si- militer in axe nm esse, et vertici propinquius quam sit s. Intelligatur itaque inscripta figura ex cylindris, quorum axes mCy eh, he, ea aequales sint. Primus itaque cylindrus, cuius axis me, ad cylindrum, cuius axis eh, eamdem habet rationem quam sua basis ad basin alterius (sunt enim eorum altitudines aequales) ; haec autem ratio eadem est ei quam 20 habet quadratum cn ad quadratum nh. Et si- militer ostendetur, cylindrum, cuius axis eh, ad cylindrum, cuius axis he, eandem habere rationem quam quadratum hn ad quadra- tum ne; cylindrum vero, cuius axis he, ad cy- lindrum circa axem ea, eam quam habet qua- dratum en ad quadratum na, Sunt autem lineae ne, nh, en, na sese aequaliter excedentes, et earum excessus aequantur minimae, nempe ipsi na, Sunt igitur magnitudines quaedam, nempe in- 30 scripti cylindri, eam inter se consequenter ratio- nem habentes, quam quadrata linearum sese aequaliter excedentium et quarum excessus minimae aequantur : suntque ita dispositi in libra ti, ut singulorun centra gravitatum in ea, et in distantiis aequalibus, consistant. Per ea igitur quae supra demonstrata sunt, constat, gravitatis centrum omnium ita composiTHEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.

torum libram ti ita dividere, ut pars versus t sit maior quam tripla reliquae. Sit hoc centrum o ; est ergo to maior quam tripla ipsius oi, Verum tn tripla est ad im ; ergo tota mo minor erit quam pars quarta totius mìiy cuius ms pars quarta posita est. Constat ergo, signum o basi coni magis accedere quam s. Verum sit iam circumscripta figura constans ex cylindris, quorum axes me, eh, he, ea, an inter se sint aequales. Similiter, ut de inscriptis, ostendetur, esse inter se sicut quadrata linearum mn, ne, hn, ne, an, quae sese aequaliter excedunt, excessusque aequatur minimae an ; quare, per praemissam, centrum 10 gravitatis omnium cylindrorum ita dispositorum, quod sit ti, libram ri sic dividet, ut pars versus r, nempe ru, reliquae ni sit maior quam tripla ; tu vero eiusdem minor erit quam tripla. Sed nt tripla est ipsius im; igitur tota iim maior est quam pars quarta totius mn, cuius ms pars quarta posita est. Itaque punctum u vertici propin- quius est quam punctum 5. Quod ostendendum erat. Cono dato potest figura eireumserihi et altera inserihi, ex eylindris aequalem alti- tudinem hahentihus, ita ut linea quae inter centrum gravitatis circmnscriptae et centrum 20 gravitatis inseriptae intercipitur, minor sit quacumque linea proposita. Sit datus conus, cuius axis ah; data autem recta sit k. Dico: exponatur cylin- drus l aequalis ei qui in cono inscribitur, altitudinem habens dimidium axis ah, et ah dividatur in e, ita ut ac ipsius eh tripla sit, et quam rationem habet ae ad h, hanc ba- beat cylindrus l ad solidum x: cono autem circumscribatur figura ex eylindris aequa- 30 lem altitudinem habentibus, et altera in- scribatur, ita ut circumscripta excedat inscriptam minori quantitate quam sit so- lidum x; sitque circumscriptae gravitatis centrum e, quod cadet supra e; inseriptae vero centrum sit s, cadens sub e. Dico iam, es lineam ipsa h minorem esse. Nani, si non, ponatur ipsi ea aequalis eo : quia igitur oe ad h 202 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. eandem habet rationem quam l ad x, inscripta vero figura minor non est cylindro ?, excessus autem, quo dieta figura a circumscripta su- peratur, minor est solido x; inscripta igitur figura ad dictum exces- sum maiorem rationem habebit quam oe ad h. Ratio autem oe ad l non est minor ea quam habet oe ad es, cum es non ponatur minor h; igitur inscripta figura ad excessum, quo a circumscripta superatur, maiorem habet rationem quam oe ad es. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad Hneam es linea quae- dam maior ipsa eo, Sit illa er ; est autem inscriptae figurae centrum gravitatis s ; circumscriptae vero centrum est e : constat ergo, reli- io quarum portionum, quibus circumscripta excedit inscriptam, centrum gravitatis esse in linea re, atque in eo puncto, a quo sic terminatur, ut quam rationem habet inscripta ad dictas portiones, eandem habeat linea inter e et punctum illud intercepta, ad hneam es, Hanc vero rationem habet re ad es ; ergo reliquarum portionum, quibus circum- scripta superat inscriptam figuram, gravitatis centrum erit r: quod est impossibile; planum enim ductum per r basi coni aequidistans dictas portiones non secat. Falsum igitur est, lineam es non esse mi- norem ipsa h; erit ergo minor. Haec autem, non dissimili modo, in pyramide fieri posse, demonstrabuntur. 20 Ex his manifestum est, cono dato posse figuram unam circumscribi et alteram inscribi, ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, ita ut lineae, quae inter earum centra gravitatum, et punctum quod axem coni ita dividit ut pars ad verticem rehquae sit tripla, inter- cipiuntur, quacunque data Hnea sint minores. Cum enim, ut demon- stratum est, dictum punctum axem dividens, ut dictum est, semper inter circumscriptae et inscriptae gravitatum centra reperiatur ; fie- rique possit, ut quae inter eadem centra mediat linea, minor sit qua- cumque hnea proposita ; multo minor eadem proposita linea sit, quae inter alterum centrorum et dictum punctum axem dividens inter cipitur. ao CuiusUhet coni vel pyramidis centrimi gravitatis axem dividit, ut pars ad verticem reliquae ad hasin sit tripla. Esto conus, cuius axis ah, et in e dividatur, ita ut ac reliquae eh sit tripla : ostendendum est, e esse gravitatis centrum coni. Nani si . ad es cum es. Non — 8. lineam es. Linea — 10-11, 15. reliquarum proportionum — 13, 18. dictas proportiones — 28. media — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM.

non est, erit coni centrimi aut supra, aut infra punctum e. Sit prius infra, et sit e; et exponatur linea Ip aequalis cCy quae contingenter dividatur in n; et quam rationem habet utraque simul le, pn adpnj hanc habeat conus ad solidum x; et inscribatur cono solida figura ex cylindris aequalem altitudinem habentibus, cuius centrum gravitatis a puncto e minus distet quam sit linea In; et excessus, quo a cono superatur, minor sit solido x, Haec enim fieri posse, ex demonstratis manifestum est.

Sit iam inscripta figura, qualis petitur, cuius 

centrum gravitatis sit i. Erit igitur ie linea maior quam np, cum Ip sit aequalis ce; et ic, minor In: et, quia utraque simul be, np ad np est ut conus ad x, excessus autem, quo conus inscriptam figuram superat, minor est solido x, ergo conus ad dictum excessum maiorem ra- tionem habebit quam utraque he, np ad np ; et, dividendo, inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, maiorem rationem habebit quam le ad np. Habet autem le ad ei minorem adhuc rationem quam

ad np, cum ie maior sit np; ergo inscripta figura ad excessum quo 

a cono superatur, multo maiorem rationem habet quam le ad eì. Quam igitur rationem habet inscripta ad dictum excessum, hanc habebit ad ei linea quaedam maior ipsa le, Sit illa me : quia igitur me ad ei est ut inscripta figura ad excessum quo a cono superatur, et est e centrum gravitatis coni, i vero est gravitatis centrum inscriptae, ergo m erit centrum gravitatis reliquarum portionum, quibus conus inscriptam sibi figuram excedit; quod est impossibile. Non est ergo centrum gravitatis coni infra e punctum. Sed ncque supra. Nam, si potest, sit r ; et rursus sumatur linea Ip, contingenter in n secta ; et

quam rationem habet utraque simul le, np ad ni, hanc habeat conus 

ad x ; et circumscribatur similiter cono figura, a qua minori quan- titate superetur, quam sit solidum x ; et linea, quae inter illius cen- trum gravitatis et e intercipitur, minor sit ipsa np. Sit iam circum- scripta, cuius centrum sit o : erit reliqua or maior ipsa ni. Et quia, ut utraque simul le, pn ad ni, ita conus ad x, excessus vero, quo conus a circumscripta superatur, minor est quam x, ipsa vero lo . np cum Ip. Sit — 20. np cum ie. Maior. — 26. reliquarum proportionum — 204 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATI^ SOLIDORUM. minor est quam utraque simul he, pi, ipsa autem or maior quam In; conus igitur ad reliquas portiones, quibus a circumscripta superatur, multo maiorem rationem habebit quam lo ad or. Habeat rationem illam mo ad or: erit mo maior ipsa he; et m erit centrmii gravitatis por- tionum, quibus conus a circumscripta superatur figura ; quod est in- conveniens. Non est ergo gravitatis centrum ipsius coni supra pun- ctum e : sed neque infra, ut ostensum est : ergo erit ipsum e. Et idem, eodem prorsus modo, in pyramide quacumque demonstrabitur. Si fuerint quatuor lineae continue proportionales ; et quam rationem habet minima earum ad excessum quo maxima minimam superai, eandem io hahuerit linea quaedam sumpta ad ^U exeessus quo maxima secundam su- perai ; quam autem rationem habet linea ìiis aequalis, maximae, duplae seeundae, et triplae tertiae, ad lineam aequalem qiiadruplae maximae, qua- druplae secundae, et quadruplae tertiae, eandem hahuerit alia quaedam sumpta ad excessum quo maxima secundam super at ; erunt istae duae lineae, simul sumptae, quarta pars maximae proportìonalium. Sint enim quatuor lineae proportionales ah, he, hd, he; et quam rationem habet he ad ea, eandem liabeat fg ad ^4 ipsius ac ; quam autem rationem habet linea aequalis ah et du2)lae he et trij)Iae hd, ad aequalem quadruplae ipsarum ah, he, hd, liane liabeat hg ad ae, 20 Lemma, Si fuerint quatuor lineae proportionales; et quam rationem hahet minima earum ad excessum quo maxima minimam superai, eandem hahiierii linea quaedam sumpta ad ires quartas exeessus quo maxima secundam superai; quam autem rationem hahet linea his aequalis, maximae, duplae secundae, et triplae tertiae, ad lineam aequalem quadruplae maximae, quadruplae secundae, et quadruplae tertiae, eandem hahuerit alia quaedam sumpta ad excessum quo maxima secundam superai; eruni istae duae lineae, simul sumptae quarta pars maximae proporiionalium. Sint enim quatuor lineae proportionales ah, he, hd, he; et quam ra- 30 tionem habet he ad ea, eandem habeat fg ad ^U ipsius ac; quam autem rationem habet linea aequalis ah, duplae he, et triplae hd, ad aequalem quadruplae ipsarum ah, he, hd, liane liabeat hg ad ac. Ostendendum . reìiquas proportiones — 4-5. gravitatis proportioniim — 26. tertio — 29. maxime — 30. linee — 32. duple — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. 205 Ostendendum est, hf quartam esse partem ipsius ah. Quia igitur ah, he, hd, he sunt proportionales, in eadem ratione erunt etiam ac, ed, de; et ut quadrupla ipsa- rum ah, he, hd ad ab cum dupla &c et tri- pia hd, ita quadrupla ipsarum ae, ed, de, hoc est quadrupla ipsius ae, ad ae cum dupla ed et tripla de ; et sic est ae ad hg : ergo ut tripla ipsius ae ad ae cum dupla ed et tripla de, ita ^U ipsius «^c ad ìig. Est autem ut tripla ae ad triplam eS^ ita ^U ac ad ^f; ergo, per conversam vige- 10 simam quartam quinti, ut tripla ae ad ae cum dupla ed et tripla dh, ita •% ipsius ae ad /^f ; et ut quadrupla ae ad ac cum dupla ed et tripla ^6; hoc est ad ah cum eh et ft^^ ita ac ad ìif; et, permutando, ut quadrupla ae ad ac^ ita ah cum c& et &(i ad hf; ut autem ac ad ae, ita a?> ad ah cum c& et &6?; ergo, ex acquali, in proportione pertur- bata, ut quadrupla ae ad ae, ita ah ad hf. Quare constat, hf quartam esse partem ipsius ah, Cuiuseumque frusti pyramidis, seu eoni, plano hasi aequidistante seeti, eentrum gravitatis in axe eonsistit; eumque ita dividit, ut pars versus mi- est, hf quartam esse partem ipsius ah. Quia igitur ah, he, hd, he sunt 20 proportionales, in eadem ratione erunt etiam ae, ed, de; et ut qua- drupla ipsarum ah, he, hd ad ah cum dupla he et tripla hd, ita quadru- pla ipsarum ae, ed, de, hoc est quadrupla ipsius ae, ad ae cum dupla ed et tripla de; et sic est ae ad hg: ergo ut tripla ipsius ae ad ae cum dupla ed et tripla de, ita ^U ipsius ae ad hg. Est autem ut tripla ae ad triplam eh, ita % ae ad ^f : ergo, per conversam 24'^5', ut tripla ae ad ae cum dupla ce? et tripla dh, ita ^/4 ipsius ae ad /if ; et ut quadrupla ae ad ac cum dupla ed et tripla dh, hoc est ad a/; cum eh et M, ita ae ad /^f; et, permutando, ut quadrupla ae ad ac, ita ah cum c& et hd ad /^f; ut autem ae ad aC; ita a& ad ah cum c& et hd: ergo, ex acquali 30 in proportione perturbata, ut quadrupla ae ad ae, ita a& ad hf. Quare constat, /?/ quartam esse partem ipsius ah. Ciiiuseunque frustri pyramidis, seu eoni, plano hasi aequidistante ahseissi, eentrum gravitatis in axe eonsistit, ita ut, prius ah eo utrinque quarta sui -24. ergo ut tripla de, ita—2ò. ,?4'"5' — 26-27. quadrupla ac — 31. quarta — 32. aequi- dixtante — 206 THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATI» SOLIDORUM. norem basin ad reliquam sit ut tripla maioris hasis cum spacio duplo medii Inter hasin maiorem et minorem una cum basi minori^ ad triplam minoris hasis cum eodem duplo spatii medii et cum basi malori A cono vel pyramide, cuius axis ad, secetur plano basi aequidi- stante frustum, cuius axis ud; et quam rationem habet tripla maximae basis cum dupla mediae et minima ad triplam minimae cum dupla mediae et maxima, liane habeat uo ad od. Ostendendum est, o cen- trum gravitatis frusti existere. Sit um quarta pars ipsius ud, Exponatur linea hx ipsi ad aequalis, sitque kx aequalis au; ipsarum vero io hXy kx tertia proportionalis sit xl, et quarta xs : et quam rationem habet hs ad sx, hanc habeat me? ad lineam sumptam ab o versus a; quae sit on. Et quia maior basis ad eam quae inter maiorem et minorem est media pro- portionalis, est ut da ad atiy hoc est ut hx ad xky dieta autem media ad minorem est ut kx ad xl; erunt maior, media, et minor basis in eadem ratione et lineae hx^ xk, xl. Quare ut tripla maioris basis cum dupla mediae et minima, ad triplam minimae cum dupla mediae 20 parte dempta, centrum gravitatis in reliqua consista ; eamqiie sic divìditi ut pars versus minorem basem ad reliquam eandem habeat rationem, quam spacium quod basium sit medium proportionale cum duplo maioris basis habet ad idem spacium inter bases proportionale cum duplo minoris basis. A cono vel pyramide, cuius axis ad, secetur plano basi aequi- distante frustrum, cuius axis ud ; ab ud autem utrinque quarta sui pars auferatur, et reliqua intermedia sit mr, quae in signo dividatur ita ut mo ad or eandem habeat rationem, quam dupla maioris basis, cum ea quae inter maiorem et minorem basem est intermedia in ra- tione, habet ad eandem mediani una cum dupla minoris basis. Osteii- so denduni est, centrum gravitatis frustri existere. Exponatur linea hx 11 et 12, 6. ipsi ad aequalis, sitque kx aequalis au; ipsarum vero hx, xk tertia proportionalis sit xl, et quarta xs: et quam rationem habet hs ad sx, veiperfconil ^^^^ habcat md ad lineam sumptam ab versus a; quae sit on. Et duna Archìm. . medii etiam òasi — 10-11. vero hxk tertia — 13. sumptam al)o — 23. hassium — 25-26. aequi- distancte — 27. dividat — 31. fruxtri — THEOREMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. 207 et maxima, hoc est ut uo ad od, ita tripla hx cum dupla xh et xl^ ad triplam xl cum dupla xh et xh ; et, componendo et convertendo, erit od ad du, ut hx cum dupla xh et tripla xl ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl, Sunt igitur 4 lineae proportionales, /^ir^ ìtA;; xl, xs; et quam rationem habet xs ad s^^ hanc habet linea quaedam sumpta no ad ^U ipsius cZ^^, neiripe ad dm, hoc est ad ^U ipsius M; quam autem rationem habet hx cum dupla xk et tripla ìt? ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl, eandem habet alia quaedam sumpta od ad dii, hoc est ad hk : ergo (per ea quae demonstrata sunt) dn erit quarta pars ipsius hx, hoc est ipsius ad ; 10 quare punctum n erit gravitatis centrum coni, vel pyramidis, cuius axis ad, Sit pyramidis, vel coni, cuius axis au, centrum gravitatis i, Constat igitur, centrum gravitatis frusti esse in linea in ad partes n extensa, in coque eius puncto qui cum puncto n lineam intercipiat, ad quam in eam habeat rationem quam abscissum frustum habet ad quia maior basis ad eam quae inter maiorem et minorem est media proportionalis, est ut da ad au, hoc est ut hx ad xk, dieta autem media ad minorem est ut kx ad xl; erunt maior, media et minor bases in eadem ratione et lineae hx, xk, xl, Quare ut dupla maioris basis cum media, ad mediam cum dupla minoris, hoc est ut mo ad or,

ita erit dupla hx cum xk, ad kx cum dupla xs: et, componendo, ut mr 

ad ro, ita dupla ipsarum hx, xk, xl ad kx cum dupla xl; et ut ud, quae est dupla ipsius mr ad or, ita quadrupla ipsarum hx^ xk, xl ad kx cum dupla xl. Est autem ut ud ad dr, ita quadrupla ipsarum hx, xk, xl ad aequalem ipsis hx, xk, xl; ergo ut ud ad do, ita quadrupla ipsarum hx, xk, xl, ad hx cum dupla xk et tripla xl, Sunt itaque quatuor lineae proportionales hx, xk, xl, xs ; et quam rationem habet xs ad sh, hanc habet linea quaedam sumpta no ad ^4 ipsius du, nempe ad dm, hoc est ad ^/4 ipsius hk ; quam autem rationem habet hx cum dupla xk et tripla xl ad quadruplam ipsarum hx, xk, xl, eandem habet alia

quaedam sumpta od ad du, hoc est ad hk: ero:© dn erit quarta pars p^^ lemma 

^ ± X superius. ipsius hx, hoc est ipsius ad; quare punctum n erit gravitatis centrum coni, vel pyramidis, cuius axis ad, Sit pyramidis, vel coni, cuius axis au, centrum gravitatis i, Constat igitur, centrum gravitatis frustri esse in linea in ad partes n extensa, in coque eius puncto qui cum puncto n lineam intercipiat, ad quam in eam habeat rationem quam abscissum . ut da au — 17. wi hx — I. 25 208 THEOEEMATA CIRCA CENTRUM GRAVITATIS SOLIDORUM. pyramidem vel conum, cuius axis au. Ostendendum itaque restata in ad no eandem habere rationem quam frustum ad conum cuius axis au. Est autem ut conus cuius axis da ad conum cujus axis au, ita cubus da ad cubum au^ boc est cubus hx ad cubum xk : haec autem eadem est proportio quam habet ìix ad xs: quare, dividendo, ut lis ad sXy ita erit frustum cuius axis du, ad conum vel pyramidem cuius axis uà. Est autem ut lis ad sx, ita etiam md ad on; quare frustum ad pyramidem cuius axis a^l, est ut md ad no. Et quia an est ^4 ipsius ad; ai autem est % ipsius au; erit reliqua m ^/4 reliquae tid; quare in aequalis erit ipsi md. Et demonstratum est, md ad no esse ut frustum io ad conum au : constat ergo, Lane eandem rationem habere etiam in ad no. Quare patet propositum. frustrum habet ad pyramidem vel conum cuius axis au. Est autem dictum centrum o ; ostendendum itaque restat, in ad no eandem habere rationem quam frustrum ad conum cuius axis au. Est autem ut conus cuius axis da ad conum cuius axis au, ita cubus da ad cubum au^ lioc est cubus hx ad cubum xk: haec autem eadem est proportio quam habet lix ad xs: quare, dividendo, ut ìis ad sx, ita erit frustrum cuius axis du, ad conum vel pyramidem cuius axis uà. Est autem ut lis ad sXy ita md ad on ; quare frustrum ad pyramidem cuius axis a^l, est 20 ut md ad no. Et quia an est % ipsius ad; ai autem est '74 ipsius au; erit reliqua in ^U reliquae ud; quare in aequalis erit ipsi md. Et de- monstratum est, md ad no esse ut frustrum ad conum au : constat ergo, liane eandem rationem habere etiam in ad no. Quare patet propositum. 22-23. demostratum