Jump to content

Theoria residuorum biquadraticorum

Unchecked
E Wikisource
 EPUB   MOBI   PDF   RTF   TXT
Theoria Residuorum Biquadraticorum
1831
editio: incognita
fons: incognitus
COMMENTATIO PRIMA
1.

Theoria residuorum quadraticorum ad pauca theoremata fundamentalia reducitur, pulcherrimis Arithmeticae Sublimioris cimeliis adnumeranda, quae primo per inductionem facile detecta, ac dein multifariis modis ita demonstrata esse constat, ut nihil amplius desiderandum relictum sit.

Longe vero altioris indaginis est theoria residuorum cubicorum et biquadraticorum. Quam quum inde ab anno 1805 perscrutari coepissemus, praeter ea, quae quasi in limine sunt posita, nonnulla quidem theoremata specialia se obtulerunt, tum propter simplicitatem suam, tum propter demonstrationum difficultatem valde insignia: mox vero comperimus, principia Arithmeticae hactenus usitata ad theoriam generalem stabiliendam neutiquam sufficere, quin potius hanc necessario postulare, ut campus Arithmeticae Sublimioris infinities quasi promoveatur, quod quomodo intelligendum sit, in continuatione harum disquisitionum clarissime elucebit. Quamprimum hunc campum novum ingressi sumus, aditus ad cognitionem theorematum simplicissimorum totam theoriam exhaurientium per inductionem statim patuit: sed ipsorum demonstrationes tam profunde latuerunt, ut post multa demum tentamina irrita tandem in lucem protrahi potuerint.

Quum iam ad promulgationem harum lucubrationum accingamur, a theoria residuorum biquadraticorum initium faciemus, et quidem in hac prima commentatione disquisitiones eas explicabimus, quas iam cis campum Arithmeticae ampliatum absolvere licuit, quae illuc viam quasi sternunt, simulque theoriae divisionis circuli quaedam nova incrementa adiungunt.

2.

Notionem residui biquadratici in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115 introduximus: scilicet numerus integer , positivus seu negativus, integri residuum biquadraticum vocatur, si secundum modulum biquadrato congruus fieri potest, et perinde non-residuum biquadraticum, si talis congruentia non exstat. In omnibus disquisitionibus sequentibus, ubi contrarium expressis verbis non monetur, modulum esse numerum primum (imparem positivum) supponemus, atque per non divisibilem, quum omnes casus reliqui ad hunc facillime reduci possint.

3.

Manifestum est, omne residuum biquadraticum numeri eiusdem quoque residuum quadraticum esse, et proin omne non-residuum quadraticum etiam nonresiduum biquadraticum. Hanc propositionem etiam convertere licet, quoties est numerus primus formae . Nam si in hoc casu est residuum quadraticum ipsius , statuamus , ubi vel residuum quadraticum ipsius erit vel non-residuum: in casu priori statuemus , unde , i.e. erit residuum biquadraticum ipsius ; in casu posteriori fiet residuum quadraticum ipsius (quoniam est non-residuum cuiusvis numeri primi formae , faciendoque , erit ut antea , atque residuum biquadraticum ipsius . Simul facile perspicietur, alias solutiones congruentiae , praeter has duas et in hoc casu non dari. Quum hae propositiones obviae integram residuorum biquadraticorum theoriam pro modulis primis formae exhauriant, tales modulos a disquisitione nostra omnino excludemus, sive hanc ad modulos primos formae limitabimus.

4.

Existente itaque numero primo formae , propositionem art. praec. convertere non licet: nempe exstare possunt residua quadratica, quae non sunt simul residua biquadratica, quod evenit, quoties residuum quadraticum congruum est quadrato non-residui quadratici. Statuendo enim , existente non-residuo quadratico ipsius , si congruentiae satisfieri posset, per valorem , foret , sive productum per divisibile, unde vel factorem vel alterum metiri deberet, i.e. vel vel foret residuum quadraticum ipsius , et proin uterque (quoniam est residuum quadraticum), contra hyp.

Omnes itaque numeri integri per non divisibiles in tres classes distribui possent, quarum prima contineat residua biquadratica, secunda non-residua biquadratica ea, quae simul sunt residua quadratica, tertia non-residua quadratica. Manifesto sufficit, tali classificationi solos numeros , , subiicere, quorum semissis ad classem tertiam reduceretur, dum altera semissis inter classem primam et secundam distribueretur.

5.

Sed praestabit, quatuor classes stabilire, quarum indoles ita se habeat.

Sit complexus omnium residuorum biquadraticorum ipsius , inter et (inclus.) sitorum, atque non-residuum quadraticum ipsius ad arbitrium electum. Sit porro complexus residuorum minimorum positivorum e productis secundum modulum oriundorum, et perinde , resp. complexus residuorum minimorum positivorum e productis , secundum modulum prodeuntium. His ita factis facile perspicitur, singulos numeros inter se diversos fore, et perinde singulos , nec non singulos ; cifram autem inter omnes hos numeros occurrere non posse. Porro patet, omnes numeros, in et contentos, esse residua quadratica ipsius , omnes autem in et non-residua quadratica, ita ut certe complexus , nullum numerum cum complexu vel communem habere possint. Sed etiam neque cum , neque cum ullum numerum communem habere potest. Supponamus enim

I. numerum aliquem ex , e.g. etiam in inveniri, ubi prodierit e producto ipsi congruo, existente numero e complexu . Statuatur , , accipiaturque integer ita, ut fiat . His ita factis erit , adeoque multiplicando per , i.e. residuum biquadraticum, adeoque residuum quadraticum, contra hyp.

II. Perinde supponendo, aliquem numerum complexibus , communem esse, atque e productis , prodiisse, existentibus , numeris e complexu , e congruentia sequeretur , adeoque haberetur numerus, qui e producto oriundus ad simulque ad pertineret, quod impossibile esse modo demonstravimus.

Porro facile demonstratur, omnia residua quadratica ipsius , inter 1 et incl. sita, necessario vel in vel in , omniaque non-residua quadratica ipsius inter illos limites necessario vel in vel in occurrere debere. Nam

I. Omne tale residuum quadraticum, quod simul est residuum biquadraticum, per hyp. in invenitur.

II. Residuum quadraticum (ipso minus), quod simul est non-residuum biquadraticum, statuatur , ubi erit non-residuum quadraticum. Accipiatur integer talis, ut fiat , eritque residuum quadraticum ipsius , quod statuemus . Hinc erit Quare quum residuum minimum ipsius inveniatur in , numerus , quippe qui ex illius producto per oritur, necessario in contentus erit.

III. Designante non-residuum quadraticum ipsius inter limites 1 et , eruatur inter eosdem limites numerus integer talis, ut habeatur . Erit itaque residum quadraticum, et proin vel in vel in contentus: in casu priori manifesto inter numeros , in posteriori autem inter numeros invenietur.

Ex his omnibus colligitur, cunctos numeros , , inter quatuor series , , , ita distribui, ut quivis illorum in una harum reperiatur, unde singulae series numeros continere debent. In hac classificatione classes et quidem numeros suos essentialiter possident, sed distinctio inter classes et eatenus arbitraria est, quatenus ab electione numeri pendet, qui ipse semper ad referendus est; quapropter si eius loco alius e classe adoptatur, classes , inter se permutabuntur.

6.

Quum sit residuum quadraticum ipsius , statuamus, , unde quatuor radices congruentiae erunt , , , . Quodsi itaque est residuum biquadraticum ipsius , puta , quatuor radices congruentiae erunt , , , , quas inter se incongruas esse facile perspicitur. Hinc patet, si colligantur residua minima positiva biquadratorum , , , , quaterna semper aequalia fore, ita ut residua biquadratica diversa habeantur complexum formantia. Si residua minima biquadratorum usque ad tantum colliguntur, singula bis aderunt.

7.

Productum duorum residuorum biquadraticorum manifesto est residuum biquadraticum, sive e multiplicatione duorum numerorum classis semper prodit productum, cuius residuum minimum positivum ad eandem classem pertinet. Perinde producta numeri ex in numerum ex , vel numeri ex in numerum ex , habebunt residua sua minima in .

In autem cadent residua productorum et ; in residua productorum , et ; denique in residua productorum et .

Demonstrationes tam obviae sunt, ut sufficiat, unam indicavisse. Sint e.g. et numeri ex et , atque , , denotantibus , numeros ex . Tunc erit residuum biquadraticum, i.e. ipsius residuum minimum ad referetur: quare quum productum fiat , illius residuum minimum in contentum erit.

Simul facile iam diiudicari potest, ad quamnam classem referendum sit productum e pluribus factoribus. Scilicet tribuendo classi , , , resp. characterem , , , , character producti vel aggregato characterum singulorum factorum aequalis erit, vel eius residuo minimo secundum modulum 4.

8.

Operae pretium visum est, hasce propositiones elementares absque adminiculo theoriae residuorum potestatum evolvere, qua in auxilium vocata omnia adhuc multo facilius demonstrare licet.

Sit radix primitiva pro modulo , i.e. numerus talis, ut in serie potestatum , , nulla ante hanc unitati secundum modulum congrua evadat. Tunc residua minima positiva numerorum , , , praeter ordinem cum his , , convenient, et in quatuor classes sequenti modo distribuentur:

Hinc omnes propositiones praecedentes sponte demanant.

Ceterum sicuti hic numeri , , in quatuor classes distributi sunt, quarum complexus per , , , designamus, ita quemvis integrum per non divisibilem, ad normam ipsius residui minimi secundum modulum , alicui harum classium adnumerare licebit.

9.

Denotabimus per residuum minimum potestatis secundum modulum , unde quum fiat (Disquis. Arithm. art. 62), patet, characterem hic idem significare quod in art. 6. Potestas itaque, denotante integrum positivum, congrua erit secundum modulum numero , , , , prout formae , , , resp., sive prout residuum minimum ipsius in , , , resp. reperitur. Hinc nanciscimur criterium persimplex ad diiudicandum, ad quam classem numerus datus per non divisibilis referendus sit; pertinebit scilicet ad , , vel , prout potestas secundum modulum numero , , vel congrua evadit.

Tamquam corollarium hinc sequitur, semper ad classem referri, quoties sit formae , ad classem vero, quoties sit formae . Demonstratio huius theorematis a theoria residuorum potestatum independens ex iis, quae in Disquisitionibus Arithmeticis art. 115, III docuimus, facile adornari potest.

10.

Quum omnes radices primitivae pro modulo prodeant e residuis potestatum , accipiendo pro omnes numeros ad primos, facile perspicitur, illas inter complexus et aequaliter dispertitas fore, basi semper in contenta. Quodsi loco numeri radix alia primitiva e complexu pro basi accipitur, classificatio eadem manebit; si vero radix primitiva e complexu tamquam basis adoptatur, classes et inter se permutabuntur.

Si classificatio criterio in art. praec. prolato superstruitur, discrimen inter classes et inde pendebit, utram radicem congruentiae pro numero characteristico adoptemus.

11.

Quo facilius disquisitiones subtiliores, quas iam aggressuri sumus, per exempla illustrari possint, constructionem classium pro omnibus modulis infra 100 hic apponimus. Radicem primitivam pro singulis minimam adoptavimus.

12.

Quum numerus 2 sit residuum quadraticum omnium numerorum primorum formae , non-residuum vero omnium formae , pro modulis primis formae prioris 2 in classe vel , pro modulis formae posterioris in classe vel invenietur. Quum discrimen inter classes et non sit essentiale, quippe quod tantummodo ab electione numeri pendet, modulos formae aliquantisper seponemus. Modulos formae autem inductioni subiiciendo, invenimus 2 pertinere ad pro , 89, 113, 233, 257, 281, 337, 353 etc.; contra 2 pertinere ad pro , 41, 97, 137, 193, 241, 313, 401, 409, 433, 449, 457 etc.

Ceterum quum pro modulo primo formae numerus sit residuum biquadraticum, patet, semper cum ad eandem classem referendum esse.

13.

Si exempla art. praec. inter se comparantur, primo saltem aspectu criterium nullum simplex se offerre videtur, per quod modulos priores a posterioribus dignoscere liceret. Nihilominus duo huiusmodi criteria dantur, elegantia et simplicitate perinsignia, ad quorum alterum considerationes sequentes viam sternent.

Modulus , tamquam numerus primus formae , reduci poterit, et quidem unico tantum modo, sub formam (Disquiss. Arithm. art. 182, II); radices , positive accipi supponemus. Manifesto impar erit, vero par; statuemus autem , ita ut sit impar. Iam observamus

I. quum habeatur ipsum esse residuum quadraticum ipsius , et proin etiam singulorum factorum primorum, in quos resolvitur: vicissim itaque, per theorema fundamentale, singuli hi factores primi erunt residua quadratica ipsius , et proin etiam illorum productum erit residuum quadraticum ipsius . Quod quum etiam de numero 2 valeat, patet, esse residuum quadraticum ipsius , et proin , nec non , residuum biquadraticum.

II. Hinc ad eandem classem referri debet, in qua invenitur numerus ; quare quum , manifestum est, vel in classe , vel in classe inveniri, prout sit vel residuum quadraticum ipsius , vel non-residuum quadraticum.

III. Iam supponamus, in factores suos primos resolutum esse, e quibus ii, qui sunt vel formae vel , denotentur per , , etc., ii vero, qui sunt vel formae vel , per , , etc.: posteriorum multitudo sit . Quoniam , erit residuum quadraticum eorum factorum primorum ipsius , quorum residuum quadraticum est , i.e. factorum , , etc.; non-residuum quadraticum vero factorum eorum, quorum non-residuum quadraticum est , i.e. factorum , , etc. Quocirca, vice versa, per theorema fundamentale, singuli , , etc. erunt residua quadratica ipsius , singuli , , etc. autem non-residua quadratica. Ex his itaque concluditur, productum fore residuum quadraticum ipsius , vel non-residuum, prout par sit vel impar.

IV. Sed facile confirmatur, productum omnium , , etc. fieri formae vel , idemque valere de producto omnium , , etc., si horum multitudo fuerit par, ita ut in hoc casu etiam productum necessario fieri debeat formae vel ; contra productum omnium , , etc., quoties ipsorum multitudo impar sit, fieri formae vel , idemque adeo in hoc casu valere de producto .

Ex his omnibus itaque colligitur theorema elegans:

Quoties est formae vel , numerus in complexu contentus erit; quoties vero est formae vel , numerus in complexu invenietur.

Quod confirmatur per exempla in art. praec. enumerata; priores enim moduli ita discerpuntur: , , , , , , , ; posteriores vero ita: , , , , , , , , , , , .

14.

Quum discerptio numeri in quadratum simplex et duplex nexum tam insignem cum classificatione numeri prodiderit, operae pretium esse videtur tentare, num discerptio in duo quadrata, cui numerum aeque obnoxium esse constat, similem forte successum suppeditet. Ecce itaque discerptiones numerorum , pro quibus pertinet ad classem

Ante omnia observamus, duorum quadratorum, in quae discerpitur, alterum impar esse debere, quod statuemus , alterum par, quod statuemus . Quoniam fit formae , patet, valoribus impariter paribus ipsius respondere valores ipsius formae , ab inductione nostra hic exclusos, quippe qui numerum in classe vel haberent. Pro valoribus autem ipsius , qui sunt formae esse debet pariter par, et si inductioni, quam schema allatum ob oculos sistit, fidem habere licet, numerus ad classem referendus erit pro omnibus modulis, pro quibus est formae , ad classem vero pro omnibus modulis, pro quibus est formae . Sed hoc theorema longe altioris indaginis est, quam id, quod in art. praec. eruimus, demonstrationique plures disquisitiones praeliminares sunt praemittendae, ordinem, quo numeri complexuum , , , se invicem sequuntur, spectantes.

15.

Designemus multitudinem numerorum e complexu , quos immediate sequitur numerus e complexu , , , resp., per , , , ; perinde multitudinem numerorum e complexu , quos sequitur numerus e complexu , , , resp. per , , , ; similiterque sint in complexu resp. , , , numeri, in complexu vero , , , numeri, quos sequitur numerus e complexu , , , . Proponimus nobis, has sedecim multitudines a priori determinare. Quo commodius lectores ratiocinia generalia cum exemplis comparare possint, valores numericos terminorum schematis pro singulis modulis, pro quibus classificationes in art. 11 tradidimus, hic adscribere visum est.

Quum moduli formae et diverso modo se habeant, utrosque seorsim tractare oportet: a prioribus initium faciemus.

16.

Character indicat, quot modis diversis aequationi satisfieri possit, denotantibus , indefinite numeros e complexu . Quum pro modulo formae , qualem hic subintelligimus, et ad eundem complexum pertineant, concinnius dicemus, exprimere multitudinem modorum diversorum, aequationi , satisfaciendi: manifesto huius aequationis vice etiam congruentia fungi potest.

Perinde

indicat multitudinem solutionum congruentiae

multitudinem solutionum congruentiae

multitudinem solutionum congruentiae

multitudinem solutionum congruentiae etc.

exprimendo indefinite per et numeros e complexu , per numeros e complexu , per numeros e complexu . Hinc statim colligimus sex aequationes sequentes:

E quavis solutione data congruentiae demanat solutio congruentiae , accipiendo pro numerum inter limites eum qui reddit (qui manifesto erit e complexu ), et pro residuum minimum positivum producti (quod itidem erit e complexu ); perinde patet regressus a solutione data congruentiae ad solutionem congruentiae , si accipitur ita, ut fiat , simulque statuitur . Hinc concludimus, utramque congruentiam aequali solutionum multitudine gaudere, sive esse .

Simili modo e congruentia deducimus , si accipitur e complexu ita ut fiat , atque ex eodem complexu congruus producto . Unde facile colligimus, has duas congruentias aequalem solutionum multitudinem admittere, sive esse .

Perinde e congruentia deducimus , accipiendo , ita ut fiat , eritque adeo .

Denique e congruentia simili modo tum congruentiam , tum hanc derivamus, atque hinc concludimus .

Nacti sumus itaque, inter sedecim incognitas nostras, undecim aequationes, ita ut illae ad quinque reducantur, schemaque ita exhiberi possit:

Facile vero tres novae aequationes conditionales adiiciuntur. Quum enim quemvis numerum complexus , excepto ultimo , sequi debeat numerus ex aliquo complexuum , , vel , habebimus et perinde In signis modo introductis tres primae aequationes suppeditant: Quarta cum secunda fit identica. Adiumento harum aequationum tres incognitarum eliminare licet, quo pacto omnes sedecim iam ad duas reductae sunt.

17.

Ut vero determinationem completam nanciscamur, investigare conveniet multitudinem solutionum congruentiae designantibus , , indefinite numeros e complexibus , , . Manifesto valor non est admissibilis, quum fieri nequeat : substituendo itaque pro deinceps valores reliquos, prodibunt , , , valores ipsius ad , , , resp. pertinentes. Pro quovis autem valore dato ipsius ad pertinente, puta pro , congruentia totidem solutiones admittet, quot congruentia (statuendo scilicet , , i.e. solutiones . Perinde pro quovis valore dato ipsius ad pertinente, puta pro , congruentia totidem solutiones habebit, quot haec (scilicet statuendo , , i.e. solutiones . Similiter pro quolibet valore dato ipsius ad pertinente, puta pro , congruentia totidem modis diversis solvi poterit, quot haec (nempe statuendo , i.e. solutionum multitudo erit . Denique pro quovis valore dato ipsius ad pertinente, puta pro , congruentia totidem solutiones habebit, quot haec (statuendo , ), i.e. (23) solutiones. Omnibus itaque collectis, patet, congruentiam admittere solutiones diversas.

Prorsus vero simili modo eruimus, si pro singuli deinceps numeri complexus substituantur, summam obtinere resp. , , , sive , , , valores ad , , , pertinentes, et pro quovis valore dato ipsius ad hos complexus pertinente, congruentiam resp. , , , sive , , , solutiones diversas admittere, ita ut multitudo omnium solutionum fiat Ad eundem valorem perducimur, si evolutionem considerationi valorum summae superstruimus.

18.

Ex hac duplici eiusdem multitudinis expressione nanciscimur aequationem: atque hinc, eliminando adiumento aequationis , Sed duae aequationes ultimae art. 16 suppeditant , quo valore substituto transit in , adeoque aequatio praecedens, per 4 multiplicata, in hanc Hinc, quoniam , sequitur sive Statuendo itaque habebimus

Sed constat, unico tantum modo in duo quadrata discerpi posse, quorum alterum impar accipi debet pro , alterum par pro , ita ut , sint numeri ex asse determinati. Sed etiam ipse erit numerus prorsus determinatus; radix enim quadrati positive accipi debet, vel negative, prout radix positiva est formae vel . De determinatione signi ipsius mox loquemur.

Iam combinatis his novis aequationibus cum tribus ultimis art. 16, quinque numeri , , , , per , et penitus determinantur sequenti modo:

Si loco ipsius modulum introducere malumus, schema , singulis terminis ad evitandas fractiones per 16 multiplicatis, ita se habet:

19.

Superest, ut signum ipsi tribuendum assignare doceamus. Iam supra, art. 10, monuimus, distinctionem inter complexus et , per se non essentialem, ab electione numeri pendere, pro quo alterutra radix congruentiae accipi debet, illasque inter se permutari, si loco alterius radicis altera adoptetur. Iam quum inspectio schematis modo allati doceat, similem permutationem cum mutatione signi ipsius cohaerere, praevidere licet, nexum inter signum ipsius atque numerum exstare debere. Quem ut cognoscamus, ante omnia observamus, si, denotante integrum non negativum, pro accipiantur omnes numeri , , , fieri secundum modulum , vel , vel , prout vel non-divisibilis sit per , vel divisibilis. Pars posterior theorematis inde patet, quod pro valore ipsius per divisibili, habetur : partem priorem vero ita demonstramus. Denotante radicem primitivam, omnes convenient cum residuis minimis omnium , accipiendo pro omnes numeros , , , , eritque adeo . Sed fit Hinc vero sequitur, quoniam pro valore ipsius per non-divisibili ipsi congruus sive per divisibilis esse nequit, . Q. E. D.

Iam si potestas secundum theorema binomiale evolvitur, per lemma praec. fiet Sed residua minima omnium exhibent omnes numeros , quovis quater occurrente; habebimus itaque inter residua minima ipsius pertinentia, quatuorque erunt (puta pro ). Hinc, considerando criteria complexuum , , , , deducimus adeoque sive substitutis pro , etc. valoribus in art. praec inventis, Hinc itaque colligimus, semper fieri debere , sive, multiplicando per , quae congruentia determinationi signi ipsius , si numerus iam electus est, vel determinationi numeri , si signum ipsius aliunde praescribitur, inservit.

20.

Postquam problema nostrum pro modulis formae complete solvimus, progredimur ad casum alterum, ubi est formae : quem eo brevius absolvere licebit, quod omnia ratiocinia parum a praecedentibus differunt.

Quum pro tali modulo ad classem pertineat, complementa numerorum complexuum , , , ad summam , in classibus , , , resp. contenta erunt. Hinc facile colligitur unde statim habentur sex aequationes:

Multiplicando congruentiam per numerum e complexu ita electum, ut fiat , accipiendoque pro residuum minimum producti , quod manifesto quoque complexui adnumerandum erit, prodit , unde colligimus .

Prorsus simili modo habentur aequationes , , .

Adiumento harum undecim aequationum sedecim incognitas nostras ad quinque reducere, schemaque ita exhibere possumus: Porro habemus aequationes sive, adhibendo signa modo introducta, has tres (I): quarum itaque adiumento incognitas nostras iam ad duas reducere licet.

Aequationes reliquas e consideratione multitudinis solutionum congruentiae derivabimus (per , , , etiam hic indefinite numeros e complexibus , , resp. denotantes). Scilicet perpendendo primo, praebere , , , numeros resp. ad , , , pertinentes, et pro quovis valore dato ipsius in his quatuor casibus resp. haberi solutiones , , , , multitudo omnium solutionum erit Secundo quum exhibeat , , , numeros ad , , , pertinentes, et pro quovis valore dato ipsius in his quatuor casibus exstent solutiones , , , , multitudo omnium solutionum erit unde derivamus aequationem quae adiumento aequationis , ex (I) petitae, transit in hanc: Iam ex aequationibus I habemus etiam , unde Quibus valoribus in aequatione praecedente substitutis, prodit: Quodsi tandem pro hic substituimus sive, propter aequationem ultimam in I, , obtinemus: adeoque Statuendo itaque fiet

Iam quum in hoc quoque casu unico tantum modo in duo quadrata, par alterum, alterum impar, discerpi possit, et erunt numeri prorsus determinati; manifesto enim quadrato impari, pari aequalis statui debet. Praeterea signum ipsius ita erit stabiliendum, ut fiat , signumque ipsius ita, ut habeatur , uti per ratiocinia iis, quibus in art. praec. usi sumus, prorsus similia facile demonstratur.

His praemissis quinque numeri , , , , per , et ita determinantur: aut si expressiones per praeferimus, termini schematis per 16 multiplicati ita se habebunt:
21.

Postquam problema nostrum solvimus, ad disquisitionem principalem revertimur, determinationem completam complexus, ad quem numerus pertinet, iam aggressuri.

I. Quoties est formae , iam constat, numerum vel in complexu vel in complexu inveniri. In casu priori facile perspicitur, etiam numeros , ad pertinere, in posteriori vero ad . Iam perpendamus, si et sint numeri contigui complexus , etiam , tales numeros esse, sive, quod idem est, numeros complexus tales, quos sequatur numerus ex eodem complexu, binos semper associatos esse, et . Talium itaque numerorum multitudo, , semper erit par, nisi quis exstat sibi ipse associatus, i.e. nisi ad pertinet, in quo casu multitudo illa impar erit. Hinc colligimus, imparem esse, quoties ad complexum , parem vero, quoties ad pertineat. Sed habemus sive statuendo , (v. art. 14), Quoniam igitur manifesto semper par est, impar erit vel par, prout par est vel impar, adeoque vel ad vel ad pertinebit, prout est vel formae vel formae . Quod est ipsum theorema, in art. 14 per inductionem inventum.

II. Sed etiam casum alterum, ubi est formae , aeque complete absolvere licet. Numerus hic vel ad , vel ad pertinet, perspiciturque facile, in casu priori ad ad , in casu posteriori autem ad , ad pertinere. Iam perpendamus, si sit numerus ex talis, quem sequatur numerus ex , fore etiam numerum ex atque ex , i.e. numeros illius proprietatis binos associatos semper adesse. Erit itaque illorum multitudo, , par, excepto casu, in quo unus eorum sibi ipse associatus est, i.e. ubi ad , ad pertinet; tunc scilicet impar erit. Hinc colligimus, parem esse, quoties ad , imparem vero, quoties ad pertineat. Sed habemus sive statuendo , , Erit itaque (13) impar, quoties par est; contra (13) par erit, quoties est impar: unde colligimus, pertinere ad , quoties sit formae , ad vero, quoties sit formae .

Summa harum investigationum ita enunciari potest:

Numerus pertinet ad complexum , , vel , prout numerus est formae , , vel .

22.

In Disquisitionibus Arithmeticis theoriam generalem divisionis circuli, atque solutionis aequationis explicavimus, interque alia docuimus, si sit divisor numeri , functionem in factores ordinis resolvi posse adiumento aequationis auxiliaris ordinis . Praeter theoriam generalem huius resolutionis simul casus speciales, ubi vel , in illo opere artt. 356-358 seorsim consideravimus, aequationemque auxiliarem a priori assignare docuimus, i.e. absque evolutione schematis residuorum minimorum potestatum alicuius radicis primitivae pro modulo . Iam vel nobis non monentibus lectores attenti facile percipient nexum arctissimum casus proximi istius theoriae, puta pro , cum investigationibus hic in artt. 15-20 explicatis, quarum adiumento, ille quoque sine difficultate complete absolvi poterit. Sed hanc tractationem ad aliam occasionem nobis reservamus, ideoque etiam in commentatione praesente disquisitionem in forma pure arithmetica perficere maluimus, theoria aequationis nullo modo immixta. Contra coronidis loco adhuc quaedam alia theoremata nova pure arithmetica, cum argumento hactenus pertractato arctissime coniuncta, adiiciemus.

23.

Si potestas secundum theorema binomiale evolvitur, tres termini aderunt, in quibus exponens ipsius per divisibilis est, puta denotando per coëfficientem medium Substituendo itaque pro deinceps numeros , , , obtinebimus per lemma art. 19 At perpendendo ea quae in art. 19 exposuimus, insuperque, quod numeri complexuum , , , , ad potestatem exponentis evecti congrui sunt, secundum modulum , numeris , , , resp., facile intelligitur fieri adeoque per schemata in fine artt. 18, 20 tradita Comparatio horum duorum valorum suppeditat elegantissimum theorema: scilicet habemus

Denotando quatuor producta resp. per , , , , theorema praecedens ita exhibetur: Quum quilibet factorum ipsius complementum suum ad habeat in , erit , quoties multitudo factorum par est, i.e. quoties est formae , contra , quoties multitudo factorum impar est, sive formae . Perinde in casu priori erit , in posteriori . In utroque casu erit , et quum constet, haberi , erit , adeoque . Combinando hanc congruentiam cum theoremate modo invento obtinemus , et proin, per artt. 19, 20

[1]

Valde memorabile est, discerptionem numeri in duo quadrata per operationes prorsus directas inveniri posse; scilicet radix quadrati imparis erit residuum absolute minimum ipsius , radix quadrati paris vero residuum absolute minimum ipsius secundum modulum . Expressionem , cuius valor pro fit , pro valoribus maioribus ipsius , ita quoque exhibere licet: Sed quum insuper noverimus, quonam signo affecta prodeat ex hac formula radix quadrati imparis, eo scilicet, ut semper fiat formae , attentione perdignum est, quod simile criterium generale respectu signi radicis quadrati paris hactenus inveniri non potuerit. Quale si quis inveniat, et nobiscum communicet, magnam de nobis gratiam feret. Interim hic adiungere visum est valores numerorum , , , quales pro valoribus ipsius infra 200 e residuis minimis expressionum , , prodeunt.




COMMENTATIO SECUNDA
24.

In commentatione prima ea, quae ad classificationem biquadraticam numeri requiruntur, complete absoluta sunt. Dum scilicet omnes numeros per modulum (qui supponitur esse numerus primus formae ) non divisibiles inter quatuor complexus , , , distributos concipimus, prout singuli ad potestatem exponentis evecti congrui fiunt secundum modulum ipsi , , , , denotante radicem alterutram congruentiae : invenimus, diiudicationem, cuinam complexui adnumerandus sit numerus , pendere a discerptione numeri in duo quadrata, ita quidem, ut si statuatur , denotante quadratum impar, quadratum par, si porro signa ipsorum , ita accepta supponantur, ut habeatur , , numerus ad complexum , , , pertinere debeat prout sit formae , , , resp.

Sponte quoque hinc demanat regula classificationi numeri inserviens. Scilicet quum pertineat ad classem pro valore pari ipsius , ad classem vero pro impari: pertinebit, per theorema art. 7, numerus ad classem , , , , prout est formae , , , resp.

Haec theoremata etiam sequenti modo exprimi possunt:

Facile intelligitur, theoremata sic enunciata haud amplius pendere a conditione , sed etiamnum valere, si fuerit , dummodo conditio altera, , conservetur.

Aeque facile perspicitur, summam horum theorematum eleganter contrahi posse in formulam unicam, puta:

si et positive accipiuntur, semper fit

25.

Videamus nunc, quatenus inductio classificationem numeri 3 indigitet. Tabula art. 11 ulterius continuata (semper adoptata radice primitiva minima), monstrat, pertinere ad complexum

Primo saltem aspectu nexum simplicem inter valores numerorum , , quibus idem complexus respondet, non animadvertimus. At si perpendimus, diiudicationem similem in theoria residuorum quadraticorum per regulam simpliciorem absolvi respectu numeri , quam respectu numeri , spes affulget successus aeque secundi in theoria residuorum biquadraticorum. Invenimus autem, pertinere ad complexum

ubi lex inductionis sponte se offert. Scilicet pertinet ad complexum

, quoties per 3 divisibilis est, sive
, quoties per 3 est divisibilis, sive
, quoties per 3 est divisibilis, sive

, quoties per 3 divisibilis est, sive
26.

Numerum adscribendum invenimus complexui

pro , , , ,
pro , , , , , , , , ,
pro , , , , , ,

pro , , , , ,

In considerationem vocatis valoribus numerorum singulis respondentibus, lex hic aeque facile, ut pro classificatione numeri , prehenditur. Scilicet incidimus in complexum Manifestum est, has regulas complecti casus omnes, quum pro , vel , fieret , Q.E.A., quum per hypothesin sit numerus primus a 5 diversus.

27.

Perinde inductio ad numeros , , , , , applicata satisque producta sequentes regulas indigitat:

Pro numero

Pro numero

Pro numero

Pro numero
Pro numero -19.

Pro numero -23.

28.

Theoremata specialia hoc modo per inductionem eruta confirmari inveniuntur, quousque haec continuetur, formamque criteriorum pulcherrimam manifestant. Si vero inter se conferuntur, ut conclusiones generales inde petantur, primo statim aspectu se offerunt observationes sequentes.

Criteria diiudicationis, ad quemnam complexum referendus sit numerus primus (sumendo signum superius vel inferius, prout est formae vel ), pendent a formis numerorum , inter se collatorum respectu moduli . Scilicet

I. quoties pertinet ad complexum determinatum, qui est pro , , , nec non pro , , , , unde coniectura oritur, casum priorem generaliter valere, quoties sit formae , posteriorem vero, quoties sit formae . Ceterum complexus et iam absque inductione excluduntur pro valore ipsius per divisibili, ubi fit , i.e. ubi est residuum quadraticum ipsius , unde per theorema fundamentale esse debet residuum quadraticum ipsius .

II. Quoties autem per non est divisibilis, criterium pendet a valore expressionis . Admittit quidem haec expressio valores diversos, puta , , , sed quoties est formae , excludendi sunt bini valores expressionis , qui manifesto nequeunt esse valores expressionis , quum semper supponatur esse numerus primus a diversus. Quapropter multitudo valorum admissibilium expressionis est , pro , dum manet pro .

Iam hi valores in quaternas classes distribuuntur, puta, ut quidam, indefinite per denotandi, respondeant complexui ; alii per denotandi complexui ; alii complexui ; denique reliqui complexui , ita scilicet, ut complexui , , , adscribendus sit, prout habeatur , , , .

At lex huius distributionis abstrusior videtur, etiamsi quaedam generalia promte animadvertantur. Multitudo in ternis classibus eadem reperitur, puta vel , dum in una (et quidem in eadem, quae respondet complexui cum criterio ) unitate minor est, ita ut multitudo omnium criteriorum diversorum respectu singulorum complexuum fiat eadem, puta vel . Porro animadvertimus, semper in prima classe (inter ) reperiri nec non complementa numerorum , , , ad , puta , , , resp. in classe prima, quarta, tertia, secunda. Denique valores expressionum , , , pertinere videmus ad classem primam, quartam, tertiam, secundam, quoties criterium respondet complexui ; ad classem tertiam, secundam, primam, quartam resp. autem, quoties criterium refertur ad complexum . Sed ad haec fere limitantur, quae per inductionem assequi licet, nisi audacius ea, quae infra e fontibus genuinis haurientur, anticipare nobis arrogemus.

29.

Antequam ulterius progrediamur, observare convenit, criteria pro numeris primis (positive sumtis, si sunt formae , negative, si formae ) sufficere ad diiudicationem pro omnibus reliquis numeris, si modo theorema art. 7, atque criteria pro et in subsidium vocentur. Ita e.g. si desiderantur criteria pro numero , criteria in art. 25 prolata, quae referuntur ad , etiamnum pro valebunt, quoties est numerus par: contra complexus , , , cum complexibus , , , permutandi erunt, quoties est impar, unde sequuntur praecepta haecce:

pertinet

Perinde criteria pro petuntur e combinatione criteriorum pro et ; scilicet

pertinet

vero


Simili modo criteria pro numero concinnabuntur e criteriis pro et ; criteria pro e criteriis pro , , , , etc.

30.

Amplissimam itaque messem theorematum specialium aperit inductio, theoremati pro numero 2 affinium: sed desideratur vinculum commune, desiderantur demonstrationes rigorosae, quum methodus, per quam in commentatione prima numerum 2 absolvimus, ulteriorem applicationem non patiatur. Non desunt quidem methodi diversae, per quas demonstrationibus pro casibus particularibus potiri liceret, iis potissimum, qui distributionem residuorum quadraticorum inter complexus , spectant, quibus tamen non immoramur; quum theoria generalis omnes casus complectens in votis esse debeat. Cui rei quum inde ab anno 1805 meditationes nostras dicare coepissemus, mox certiores facti sumus, fontem genuinum theoriae generalis in campo arithmeticae promoto quaerendum esse, uti iam in art. 1 addigitavimus.

Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solos numeros integros reales versatur, ita theoremata circa residua biquadratica tunc tantum in summa simplicitate ac genuina venustate resplendent, quando campus arithmeticae ad quantitates imaginarias extenditur, ita ut absque restrictione ipsius obiectum constituant numeri formae , denotantibus , pro more quantitatem imaginariam , atque , indefinite omnes numeros reales integros inter et . Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur. Commentatio praesens tum doctrinam elementarem de numeris complexis, tum prima initia theoriae residuorum biquadraticorum sistet, quam ab omni parte perfectam reddere in continuatione subsequente suscipiemus[2].

31.

Ante omnia quasdam denominationes praemittimus, per quarum introductionem brevitati et perspicuitati consuletur.

Campus numerorum complexorum continet
I. numeros reales, ubi , et, inter hos, pro indole ipsius

1) cifram

2) numeros positivos

3) numeros negativos
II. numeros imaginarios, ubi cifrae inaequalis. Hic iterum distinguuntur

1) numeri imaginarii absque parte reali, i.e. ubi

2) numeri imaginarii cum parte reali, ubi neque neque .
Priores si placet numeri imaginarii puri, posteriores numeri imaginarii mixti vocari possunt.

Unitatibus in hac doctrina utimur quaternis, , , , , quae simpliciter positiva, negativa, positiva imaginaria, negativa imaginaria audient.

Producta terna cuiuslibet numeri complexi per , , illius socios vel numeros illi associatos appellabimus. Excepta itaque cifra (quae sibi ipsa așsociata est), semper quaterni numeri inaequales associati sunt.

Contra numero complexo coniunctum vocamus eum, qui per permutationem ipsius cum inde oritur. Inter numeros imaginarios itaque bini inaequales semper coniuncti sunt, dum numeri reales sibi ipsi sunt coniuncti, siquidem denominationem ad hos extendere placet.

Productum numeri complexi per numerum ipsi coniunctum utriusque normam vocamus. Pro norma itaque numeri realis, ipsius quadratum habendum est.

Generaliter octonos numeros nexos habemus, puta ubi duas quaterniones numerorum associatorum, quatuor biniones coniunctorum conspicimus, omniumque norma communis est . Sed octo numeri ad quatuor inaequales reducuntur, quoties vel , vel alteruter numerorum , .

E definitionibus allatis protinus demanant sequentia:

Producto duorum numerorum complexorum coniunctum est productum e numeris, qui illis coniuncti sunt.

Idem valet de producto e pluribus factoribus, nec non de quotientibus.

Norma producti e duobus numeris complexis aequalis est producto ex horum normis.

Hoc quoque theorema extenditur ad producta e quotcunque factoribus et ad quotientes.

Cuiusvis numeri complexi (excipiendo cifram, quod plerumque abhinc tacite subintelligemus) norma est numerus positivus.

Ceterum nihil obstat, quominus definitiones nostrae ad valores fractos vel adeo irrationales ipsorum , extendantur; sed tunc tantum numerus complexus integer audiet, quando uterque , est integer, atque tunc tantum rationalis, quando uterque , rationalis est.

32.

Algorithmus operationum arithmeticarum circa numeros complexos vulgo notus est: divisio, per introductionem normae, ad multiplicationem reducitur, quum habeatur

Extractio radicis quadratae perficitur adiumento formulae si est numerus positivus, vel huius si est numerus negativus. Usui transformationis quantitatis complexae in ad calculos facilitandos, non opus est hic immorari.

33.

Numerum integrum complexum, qui in factores duos ab unitatibus diversos[3] resolvi potest, vocamus numerum complexum compositum; contra numerus primus complexus dicetur, qui talem resolutionem in factores non admittit. Hinc statim patet, quemvis numerum compositum realem etiam esse compositum complexum. At numerus primus realis poterit esse numerus complexus compositus, et quidem hoc valebit de numero atque de omnibus numeris primis realibus positivis formae (excepto numero 1), quippe quos in bina quadrata positiva decomponi posse constat; puta, fit , , , etc.

Contra numeri primi reales positivi formae semper sunt numeri primi complexi. Si enim talis numerus esset , foret etiam , adeoque : at unico tantum modo in factores positivos unitate maiores resolvi potest, puta in , unde esse deberet , Q.E.A; quum summa duorum quadratorum nequeat esse formae .

Numeri reales negativi manifesto easdem denominationes servant, quas positivi, idemque valet de numeris imaginariis puris.

Superest itaque, ut inter numeros imaginarios mixtos, compositos a primis dignoscere doceamus, quod fit per sequens

Theorema. Quivis numerus integer imaginarius mixtus est vel numerus primus complexus, vel numerus compositus, prout ipsius norma est vel numerus primus realis, vel numerus compositus.

Dem. I. Quoniam numeri complexi compositi norma semper est numerus compositus, patet, numerum complexum, cuius norma sit numerus primus realis, necessario esse debere numerum primum complexum. Q. E. P.

II. Si vero norma est numerus compositus, sit numerus primus positivus realis illam metiens. Duo iam casus distinguendi sunt.

1) Si est formae , constat, per divisibilem esse non posse, nisi simul metiatur ipsos , , unde erit numerus compositus.

2) Si non est formae , certo in duo quadrata decomponi poterit: statuemus itaque . Quum fiat adeoque per divisibilis, certo alterutrum factorem , metietur, et quum insuper fiat adeoque per divisibilis, patet, in casu priori etiam , in posteriori per divisibilem esse debere. Quare in casu priori erit numerus integer complexus, in posteriori autem integer erit. Quum itaque numerus propositus vel per vel per divisibilis sit, quotientisque norma per hyp. ab unitate diversa fiat, patet, in utroque casu esse numerum complexum compositum. Q. E. S.

34.

Totum itaque ambitum numerorum primorum complexorum exhauriunt quatuor species sequentes:

1) quatuor unitates, , , , , quas tamen, dum de numeris primis agemus, plerumque tacite subintelligemus exclusas.

2) numerus cum tribus sociis , , .

3) numeri primi reales positivi formae cum ternis sociis.

4) numeri complexi, quorum normae sunt numeri primi reales formae unitate maiores, et quidem cuivis normae tali datae semper octoni numeri primi complexi et non plures respondebunt, quum talis norma unico tantum modo in bina quadrata decomponi possit.

35.

Quemadmodum numeri integri reales in pares et impares distribuuntur, atque illi iterum in pariter pares et impariter pares, ita inter numeros complexos distinctio aeque essentialis se offert: sunt scilicet

vel per non divisibiles, puta numeri , ubi alter numerorum , est impar, alter par;

vel per neque vero per divisibiles, quoties uterque , est impar;

vel per divisibiles, quoties uterque , est par.

Numeri primae classis commode dici possunt numeri complexi impares, secundae semipares, tertiae pares.

Productum e pluribus factoribus complexis semper impar erit, quoties omnes factores sunt impares; semipar, quoties unus factor est semipar, reliqui impares; par autem, quoties inter factores vel saltem duo semipares inveniuntur, vel saltem unus par.

Norma cuiusvis numeri complexi imparis est formae ; norma numeri semiparis est formae ; denique norma numeri paris est productum numeri formae in numerum 4 vel altiorem binarii potestatem.

36.

Quum nexus inter quaternos numeros complexos socios analogus sit nexui inter binos numeros reales oppositos (i.e. absolute aequales signisque oppositis affectos), atque ex his vulgo positivus tamquam primarius merito considerari soleat: quaestio oritur, num similis distinctio inter quaternos numeros complexos socios stabiliri possit, et pro utili haberi debeat. Ad quam decidendam perpendere oportet, principium distinctionis ita comparatum esse debere, ut productum duorum numerorum, qui inter socios suos pro primariis valent, semper fiat numerus primarius inter socios suos. At mox certiores fimus, tale principium omnino non dari, nisi distinctio ad numeros integros restringatur: quinadeo distinctio utilis ad numeros impares limitanda erit. Pro his vero finis propositus duplici modo attingi potest. Scilicet

I. Productum duorum numerorum , ita comparatorum, ut , sint formae , atque , pares, eadem proprietate gaudebit, ut pars realis fiat , atque pars imaginaria par. Et facile perspicietur, inter quaternos numeros impares associatos unum solum sub illa forma contentum esse.

II. Si numerus ita comparatus est, ut et vel simul pariter pares sint, vel simul impariter pares, eius productum per numerum complexum eiusdem formae eadem forma gaudebit, facileque perspicitur, e quaternis numeris imparibus associatis unum solum sub hac forma contineri.

Ex his duobus principiis aeque fere idoneis posterius adoptabimus, scilicet inter quaternos numeros complexos impares associatos eum pro primario habebimus, qui secundum modulum unitati positivae fit congruus: hoc pacto plura insignia theoremata maiori concinnitate enunciare licebit. Ita e.g. sunt numeri primi complexi primarii , , , , , etc., nec non reales , , , etc. manifesto semper signo negativo afficiendi. Numero complexo impari primario coniunctus quoque primarius erit.

Pro numeris semiparibus et paribus in genere similis distinctio nimis arbitraria parumque utilis foret. E numeris primis associatis , , , unum quidem prae reliquis pro primario eligere possumus, sed ad compositos talem distinctionem non extendemus.

37.

Si inter factores numeri complexi compositi inveniuntur tales, qui ipsi sunt compositi, atque hi iterum in factores suos resolvuntur, manifesto tandem ad factores primos delabimur, i.e. quivis numerus compositus in factores primos resolubilis est. Inter quos si qui non primarii reperiuntur, singulorum loco substitua tur productum primarii associati per vel . Hoc pacto patet, quemvis numerum complexum compositum reduci posse ad formam ita ut , , etc. sint numeri primi complexi primarii inaequales, atque , , vel . Circa hanc resolutionem theorema se offert, unico tantum modo eam fieri posse, quod theorema obiter quidem consideratum per se manifestum videri posset, sed utique demonstratione eget. Ad quam sternit viam sequens

Theorema. Productum , denotantibus , , etc. numeros primos complexos primarios diversos, divisibile esse nequit per ullum numerum primum complexum primarium, qui inter , , etc. non reperitur.

Dem. Sit numerus primus complexus primarius inter , , etc. non contentus, sintque , , , etc. normae numerorum , , , etc. Hinc facile colligitur, normam numeri fore etc., unde hic numerus, si per divisibilis esset, per divisibilis esse deberet. Quum singulae normae sint vel numeri primi reales (e serie , , , etc.), vel numerorum primorum realium quadrata (e serie , , etc.), sponte patet, illud evenire non posse, nisi cum aliqua norma , , etc. identica fiat: supponemus itaque . At quum , per hyp. sint numeri primi complexi primarii non identici, facile perspicietur, haec simul consistere non posse, nisi , sint numeri complexi imaginarii coniuncti, et proin numerus primus realis impar, (non quadratum numeri primi): supponemus itaque , . Hinc (extendendo notionem et signum congruentiae ad numeros integros complexos) erit , unde facile colligitur Quapropter dum per divisibilis supponitur, erit etiam per divisibilis, adeoque norma huius numeri, quae fit divisibilis per . At quum 2 et per certo non sint divisibiles, hinc sequi tur, cum aliquo numerorum , etc. identicum esse debere: sit e.g. . Hinc vero concludimus, esse vel , vel , i.e. vel , vel , utrumque contra hyp.

Ex hoc theoremate alterum, quod resolutio in factores primos unico tantum modo perfici potest, facillime derivatur, et quidem per ratiocinia iis, quibus in Disquisitionibus Arithmeticis pro numeris realibus usi sumus (art. 16), prorsus analoga: quapropter illis hic immorari superfluum foret.

38.

Progredimur iam ad congruentiam numerorum secundum modulos complexos. Sed in limine huius disquisitionis convenit indicare, quomodo ditio quantitatum complexarum intuitui subiici possit.

Sicuti omnis quantitas realis per partem rectae utrinque infinitae ab initio arbitrario sumendam, et secundum segmentum arbitrarium pro unitate acceptum aestimandam exprimi, adeoque per punctum alterum repraesentari potest, ita ut puncta ab altera initii plaga quantitates positivas, ab altera negativas repraesentent: ita quaevis quantitas complexa repraesentari poterit per aliquod punctum in plano infinito, in quo recta determinata ad quantitates reales refertur, scilicet quantitas complexa per punctum, cuius abscissa , ordinata (ab altera lineae abscissarum plaga positive, ab altera negative sumta) . Hoc pacto dici potest, quamlibet quantitatem complexam mensurare inaequalitatem inter situm puncti ad quod refertur atque situm puncti initialis, denotante unitate positiva deflexum arbitrarium determinatum versus directionem arbitrariam determinatam; unitate negativa deflexum aeque magnum versus directionem oppositam; denique unitatibus imaginariis deflexus aeque magnos versus duas directiones laterales normales.

Hoc modo metaphysica quantitatum, quas imaginarias dicimus, insigniter illustratur. Si punctum initiale per denotatur, atque duae quantitates complexae , ad puncta , referuntur, quorum situm relative ad exprimunt, differentia nihil aliud erit nisi situs puncti relative ad punctum : contria, producto repraesentante situm puncti relative ad , facile perspicies, hunc situm perinde determinari per situm puncti ad , ut situs puncti determinatur per situm puncti cui respondet unitas positiva, ita ut haud inepte dicas, situs punctorum respondentium quantitatibus complexis , , , formare proportionem. Sed uberiorem huius rei tractationem ad aliam occasionem nobis reservamus. Difficultates, quibus theoria quantitatum imaginariarum involuta putatur, ad magnam partem a denominationibus parum idoneis originem traxerunt (quum adeo quidam usi sint nomine absono quantitatum impossibilium). Si, a conceptibus, quos offerunt varietates duarum dimensionum, (quales in maxima puritate conspiciuntur in intuitionibus spatii) profecti, quantitates positivas directas, negativas inversas, imaginarias laterales nuncupavissemus, pro tricis simplicitas, pro caligine claritas successisset.

39.

Quae in art. praec. prolata sunt, ad quantitates complexas continuas referuntur: in arithmetica, quae tantummodo circa numeros integros versatur, schema numerorum complexorum erit systema punctorum aequidistantium et in rectis aequidistantibus ita dispositorum, ut planum infinitum in infinite multa quadrata aequalia dispertiant. Omnes numeri per numerum complexum datum divisibiles item infinite multa quadrata formabunt, quorum latera sive areae ; quadrata posteriora ad priora inclinata erunt, quoties quidem neuter numerorum , est . Cuivis numero per modulum non divisibili respondebit punctum vel intra tale quadratum situm vel in latere duobus quadratis contiguo; posterior tamen casus locum habere nequit, nisi , divisorem communem habent: porro patet, numeros secundum modulum congruos in quadratis suis locos congruentes occupare. Hinc facile concluditur, si colligantur omnes numeri intra quadratum determinatum siti, nec non omnes qui forte in duobus eius lateribus non oppositis iaceant, denique his adscribatur numerus per divisibilis, haberi systema completum residuorum incongruorum secundum modulum , i.e. quemvis integrum alicui ex illis et quidem unico tantum congruum esse debere. Nec difficile foret ostendere, horum residuorum multitudinem aequalem esse moduli normae, puta . Sed consultum videtur, hoc gravissimum theorema alio modo pure arithmetico demonstrare.

40.

Theorema. Secundum modulum complexum datum , cuius norma , et pro quo , sunt numeri inter se primi, quilibet integer complexus congruus erit alicui residuo e serie , , , , et non pluribus.

Demonstr. I. Sint , integri tales qui faciant , unde erit Proposito itaque numero integro complexo , habebimus Quare denotando per residuum minimum positivum numeri secundum modulum , statuendoque erit sive

II. Quoties eidem numero complexo duo numeri reales , secundum modulum congrui sunt, etiam inter se congrui erunt. Statuamus itaque , unde fit adeoque nec non, propter ,

Quapropter et , siquidem sunt inaequales, ambo simul in complexu numerorum , , , contenti esse nequeunt. Q. E. S.

41.

Theorema. Secundum modulum complexum , cuius norma , et pro quo , non sunt inter se primi, sed divisorem communem maximum habent (quem positive acceptum supponimus), quilibet numerus complexus congruus est residuo tali, ut sit aliquis numerorum , atque aliquis horum , , , , et quidem unico tantum inter omnia residua, quae tali forma gaudent.

Demonstr. I. Accipiendo integros ita, ut fiat , erit . Iam sit numerus complexus propositus, residuum minimum positivum ipsius secundum modulum , atque residuum minimum positivum ipsius secundum modulum , statuaturque Hinc erit i.e. per divisibilis, sive Q. E. P.

II. Supponamus, secundum modulum eidem numero complexo congruos esse duos numeros , , qui proin etiam inter se congrui erunt secundum modulum . A potiori itaque secundum modulum congrui erunt, adeoque . Quodsi igitur uterque , inter numeros , , , contentus esse supponitur, necessario debet esse . Hoc pacto vero etiam fiet , i.e. per , adeoque integer per divisibilis, sive Hinc autem, quum , sint numeri inter se primi, concluditur per partem secundam theorematis art. praec., etiam per normam numeri , i.e. per numerum divisibilem fore, adeoque per . Quapropter si etiam uterque , in complexu numerorum , , , contentus esse supponitur, necessario erit , sive residua , identica. Q. E. S.

Ceterum sponte patet, huc quoque referendum esse casum, ubi modulus est numerus realis, puta , et proin , nec non eum, ubi modulus est numerus pure imaginarius, puta , et proin . In utroque casu habetur .

42.

Referendo itaque omnes numeros complexos secundum modulum datum inter se congruos ad eandem classem, incongruos ad diversas, omnino aderunt classes totum numerorum integrorum ambitum exhaurientes, denotante normam moduli. Complexus totidem numerorum e singulis classibus desumtorum exhibebit systema completum residuorum incongruorum, quale in artt. 40, 41 assignavimus. Et in hocce quidem systemate electio residuorum classes suas quasi repraesentantium innixa erat principio ei, ut in quavis classe adoptaretur residuum tale, pro quo habeat valorem minimum, atque inter omnia, quibus idem valor minimus ipsius inest, id, pro quo valor ipsius est minimus, exclusis valoribus negativis tum pro tum pro . Sed ad alia proposita aliis principiis uti conveniet, imprimisque notandus est modus is, ubi residua talia adoptantur, quae per modulum divisa offerunt quotientes simplicissimos. Manifesto si , , etc. sunt quotientes e divisione numerorum congruorum per modulum oriundi, differentiae tum quantitatum , , etc. inter se erunt numeri integri, tum differentiae inter quantitates , , etc., patetque, semper adesse residuum unum, pro quo et iaceant inter limites et 1, limite priori incluso, posteriori excluso: tale residuum simpliciter vocamus residuum minimum. Si magis placet, loco illorum limitum etiam hi adoptari possunt et (altero admisso, altero excluso): residuum tali limitationi respondens absolute minimum dicemus.

Circa haec residua minima offerunt se problemata sequentia.

43.

Residuum minimum numeri complexi dati secundum modulum , cuius norma , invenitur sequenti modo. Si est residuum minimum quaesitum, erit residuum minimum producti secundum modulum , i.e. secundum modulum . Statuendo itaque ita ut , sint residua minima numerorum , secundum modulum , erit sive Manifesto residua minima , vel inter limites et , vel inter hos et accipi debent, prout numeri complexi vel residuum simpliciter minimum vel absolute minimum desideratur.

44.

Constructio systematis completi residuorum minimorum pro modulo dato pluribus modis effici potest. Methodus prima ita procedit, ut primo determinentur limites, intra quos termini reales iacere debent, ac dein pro singulis valoribus intra hos limites sitis assignentur limites partium imaginariarum. Criterium generale residui minimi pro modulo in eo consistit, ut tum , tum iaceat inter limites et , quoties de residuis simpliciter minimis agitur, vel inter limites et , quoties residua absolute minima desiderantur, limite altero excluso. Regulae speciales distinctionem casuum, quos varietas signorum numerorum , affert, requirerent, cui tamen evolvendae, quum nulli difficultati obnoxia sit, hic immorari supersedemus: sufficiat, methodi indolem per unicum exemplum exposuisse.

Pro modulo residua simpliciter minima ita comparata esse debent, ut tum , tum aequetur alicui numerorum , , , . Aequatio ostendit, valores positivos ipsius maiores esse non posse quam , negativos abstrahendo a signo non maiores quam . Omnes itaque valores admissibiles ipsius erunt , , , , . Pro debet esse aequalis alicui numerorum , , , atque alicui horum , , , ; hinc valor minimus ipsius est , maximus . Tractando perinde valores reliquos ipsius , oritur sequens sehema omnium residuorum minimorum:

Simili modo pro residuis absolute minimis, et alicui numerorum , , aequales esse debent; hinc nequit esse extra limites et , adeoque alicui numerorum , , , , , , aequalis esse debet. Pro erit alicui numerorum , , aequalis, autem alicui horum , , : hinc prodit pro valor unicus . Tractando eodem modo valores reliquos ipsius , habemus schema omnium residuorum absolute minimorum:

45.

In applicatione methodi secundae duos casus distinguere conveniet.

In casu priori, ubi et divisorem communem non habent, fiat , sitque residuum minimum positivum ipsius secundum modulum . Hinc aequationes identicae docent, esse , . Statuendo itaque ut supra , , erit , . Omnes itaque numeri , quibus residua simpliciter minima respondent, habebuntur, dum vel pro deinceps accipiuntur valores , , , , et pro residua minima positiva productorum secundum modulum , vel ordine alio pro illi valores et pro residua minima productorum . E singulis dein respondentes invenientur per formulam Ceterum obvium est, , dum unitate crescat, vel augmentum vel decrementum pati, adeoque

vel mutationem vel hanc

quae observatio ad constructionem faciliorem reddendam inservit.

Denique patet, si residua absolute minima desiderentur, haec praecepta eatenus tantum mutari, quatenus ipsi deinceps tribuendi sint valores inter limites et , dum pro accipere oporteat residua absolute minima productorum . Ecce conspectum residuorum minimorum pro modulo hoc modo adornatorum:

Residua simpliciter minima.
Residua absolute minima.

Casum secundum, ubi , non sunt inter se primi, facile ad casum praecedentem reducere licet. Sit divisor communis maximus numerorum , , atque , . Denotet indefinite residuum minimum pro modulo , quatenus tamquam numerus complexus consideratur, i.e. exhibeat indefinite numerum talem , ut , sint vel inter limites et , vel inter hos et (prout de residuis vel simpliciter vel absolute minimis agitur): denotet porro indefinite residuum minimum pro modulo . Tunc erit indefinite residuum minimum pro modulo , prodibitque systema completum horum residuorum, dum omnia cum omnibus combinantur.

46.

Duo numeri complexi inter se primi dicuntur, si praeter unitates alios divisores communes non admittunt: quoties autem tales divisores communes adsunt, ii divisores communes maximi vocantur, quorum norma maxima est.

Si duorum numerorum propositorum resolutio in factores primos praesto est, determinatio divisoris communis maximi prorsus eodem modo perficitur, ut pro numeris realibus (Disquiss. Ar. art. 18). Simul hinc elucet, omnes divisores communes duorum numerorum datorum metiri debere eorundem divisorem communem maximum hoc modo inventum. Quare quum sponte iam pateat, ternos numeros huic socios etiam esse divisores communes, semper quaterni numeri, et non plures, divisores communes maximi appellandi erunt, horumque norma erit multiplum normae cuiusvis alius divisoris communis.

Si resolutio duorum numerorum propositorum in factores simplices non adest, divisor communis maximus adiumento similis algorithmi eruitur, ut pro numeris realibus. Sint , duo numeri propositi, formeturque per divisionem repetitam series , etc. ita, ut sit residuum absolute minimum ipsius secundum modulum , dein residuum absolute minimum ipsius secundum modulum et sic porro. Denotando normas numerorum , , , etc. resp. per , , , etc., erit norma quotientis , adeoque per definitionem residui absolute minimi certo non maior quam ; idem valet de etc. Quapropter integri reales positivi , , etc. seriem continuo decrescentem formabunt, unde necessario tandem ad terminum pervenietur, sive, quod idem est, in serie , , , etc. tandem ad terminum perveniemus, qui praecedentem absque residuo metitur. Sit hic , statuamusque etc. usque ad Percurrendo has aequationes ordine inverso, elucet, singulos terminos praecedentes , , metiri; percurrendo autem easdem aequationes ordine directo, manifestum est, quemvis divisorem communem numerorum , etiam metiri singulos sequentes. Conclusio prior docet, esse divisorem communem numerorum , ; posterior autem, hunc divisorem esse maximum.

Ceterum quoties residuum ultimum alicui quatuor unitatum , , , aequale evadit, hoc indicium erit, et inter se primos esse.

47.

Si aequationes art. praec., omissa ultima, ita combinantur, ut , eliminentur, orietur aequatio talis ubi , erunt integri, et quidem, si designatione in Disquiss. Ar. art. 27 introducta uti placet valentibus signis superioribus vel inferioribus, prout par est vel impar. Hoc theorema ita enunciamus:

Divisor communis maximus duorum numerorum complexorum , redigi potest ad formam , ita ut , sint integri.

Manifesto enim hoc non solum de eo divisore communi maximo valet, ad quem algorithmus art. praec. deduxit, sed etiam de tribus illi associatis, pro quibus loco coëfficientium , accipere oportebit vel hos , vel , , vel , .

Quoties itaque numeri , inter se primi sunt, satisfieri poterit aequationi

Propositi sint e.g. numeri , . Hic invenimus atque hinc et proin nec non quod calculo instituto confirmatur.

48.

Per praecedentia omnia, quae ad theoriam congruentiarum primi gradus in arithmetica numerorum complexorum requiruntur, praeparata sunt: sed quum illa essentialiter non differat ab ea, quae pro arithmetica numerorum realium locum habet, atque in Disquisitionibus Arithmeticis copiose exposita est, praecipua momenta hic adscripsisse sufficiet.

I. Congruentia aequivalet aequationi indeterminatae , et si huic satisfit per valores , illius solutio generaliter exhibetur per conditio autem solubilitatis est, ut modulus cum coëfficiente divisorem communem non habeat.

II. Solutio congruentiae in casu eo, ubi , sunt inter se primi, pendet a solutione huius cui si satisfacit , illius solutio generalis continetur in formula

III. Congruentia in casu eo, ubi , divisorem communem habent, aequivalet huic Dum itaque pro adoptatur divisor communis maximus numerorum , , solutio congruentiae propositae ad casum praecedentem reducitur, patetque, ad resolubilitatem requiri et sufficere, ut etiam differentiam metiatur.

49.

Hactenus elementaria tantum attigimus, quae tamen nexus caussa omittere non licuit. In disquisitionibus altioribus arithmetica numerorum complexorum arithmeticae realium in eo similis est, quod theoremata elegantiora et simpliciora prodeunt, dum tales modulos, qui sunt numeri primi, solos admittimus: revera illorum extensio ad modulos compositos plerumque prolixior quam difficilior est, et laboris potius quam artis. Quapropter in sequentibus imprimis de modulis primis agetur.

50.

Denotante functionem indeterminatae talem ubi est integer realis positivus, , , etc. integri reales vel imaginarii, autem integer complexus: vocabimus hic quoque radicem congruentiae quemlibet integrum, qui pro substitutus ipsi valorem per modulum divisibilem conciliat. Solutiones per radices secundum modulum congruas non spectabimus tamquam diversas.

Quoties modulus est numerus primus, talis congruentia ordinis hic quoque plures quam solutiones diversas admittere non potest. Denotante integrum quemvis determinatum (complexum), adiumento divisionis per indefinite ad formam reduci potest, ita ut fiat integer determinatus atque functio ordinis cum coëfficientibus integris. Iam quoties est radix congruentiae , manifesto divisibilis erit per , sive habebitur indefinite .

Perinde si denotante integrum determinatum, ad formam reducitur, erit functio ordinis cum coëfficientibus integris. Si vero supponitur esse radix congruentiae , etiam satisfacere debet huic , nec non huic , siquidem radices , sunt incongruae, unde colligimus, etiam per divisibilem esse debere, sive indefinite .

Simili modo accedente radice tertia prioribus incongrua, habebimus indefinite , ita ut sit functio ordinis cum coëfficientibus integris. Eodem modo ulterius procedere licet, patetque simul, coëfficientem termini altissimi in singulis functionibus esse , quem per non divisibilem esse supponere licet, alioquin enim congruentia essentialiter ad ordinem inferiorem referenda esset. Quoties itaque adsunt radices incongruae, puta , habebimus indefinite quapropter substitutio novi valoris singulis incongrui certo ipsi valorem per non divisibilem conciliaret, unde theorematis veritas sponte sequitur.

Ceterum haec demonstratio essentialiter convenit cum ea, quam in Disq. Ar. art. 43 tradidimus, et cuius singula momenta pro numeris complexis perinde valent ac pro realibus.

51.

Quae in Sectione tertia Disquisitionum Arithmeticarum circa residua potestatum tradita sunt, ad maximam partem, levibus mutationibus adhibitis, etiam in arithmetica numerorum complexorum valent: quinadeo demonstrationes theorematum plerumque retineri possent. Ne tamen quid desit, theoremata principalia demonstrationibus concisis firmata proferemus, ubi semper subintelligendum est, modulum esse numerum primum.

Theorema. Denotante integrum per modulum , cuius norma , non divisibilem, erit .


Demonstr. Constituant , , etc. systema completum residuorum incongruorum pro modulo , ita tamen, ut residuum per divisibile omissum sit, adeoque multitudo illorum numerorum, quorum complexum denotamus per , sit . Sit porro complexus productorum , , etc. Ex his productis per hyp. nullum erit divisibile per , quare singula habebunt residua congrua in complexu , puta fieri poterit , , etc. , ita ut numeri , , etc. ipsi in complexu inveniantur: denotemus complexum numerorum , , etc. per . Sint , , producta e singulis numeris complexuum , , resp., sive Quum numeri complexus deinceps congrui sint numeris complexus , erit sive . At quum facile perspiciatur, binos quosvis numeros complexus inter se incongruos, adeoque omnes inter se diversos esse, necessario numeri complexus cum numeris complexus prorsus conveniunt, ordine tantummodo mutato, unde fit . Erit itaque numerus per divisibilis, unde, quum sit numerus primus singulos factores ipsius non metiens, necessario per divisibilis esse debebit. Q. E. D.

52.

Theorema. Denotante , ut in art. praec., integrum per modulum non divisibilem, atque exponentem minimum (praeter 0, pro quo , erit divisor cuiusvis alius exponentis , pro quo .

Demonstr. Si non esset divisor ipsius , sit multiplum ipsius proxime maius quam , adeoque integer positivus minor quam . Ex , , sequitur , adeoque , i.e. datur potestas ipsius cum exponente minori quam unitati congrua, contra hyp.

Tamquam corollarium hinc sequitur, certo metiri numerum .

Numeros tales , pro quibus , etiam hic radices primitivas pro modulo vocabimus: quales revera adesse iam ostendemus.

53.

Resolvatur numerus in factores suos primos, ita ut habeatur designantibus , , etc. numeros primos reales positivos inaequales. Sint , , etc. integri (complexi) per non divisibiles, atque resp. congruentiis secundum modulum non satisfacientes, quales dari e theoremate art. 50 manifestum est. Denique sit congruus secundum modulum producto Tunc dico, fore radicem primitivam.

Demonstr. Denotando per exponentem infimae potestatis unitati congruae, erit, si non esset radix primitiva, submultiplum ipsius , sive integer unitate maior. Manifesto hic integer factores suos primos reales inter hos , , etc. habebit: supponamus itaque, (quod licet), esse divisibilem per , statuamusque . Erit itaque, propter , etiam sive At manifesto est integer, adeoque perinde etiam Iam determinetur integer positivus talis, ut fiat quod fieri poterit, quum numerus primus ipsum non metiatur, statuaturque . Manifesto fit habemus , atque hinc, quum sponte sit , etiam , quod est contra hypothesin. Suppositio itaque, esse submultiplum ipsius , consistere nequit, eritque adeo necessario radix primitiva.

54.

Denotante radicem primitivam pro modulo , cuius norma , termini progressionis inter se incongrui erunt, unde facile colligitur, quemlibet integrum non divisibilem per modulum uni ex istis congruum esse debere, sive illam seriem exhibere systema completum residuorum incongruorum exclusa cifra. Exponens eius potestatis, cui numerus datus congruus est, vocari potest huius index, dum tamquam basis consideratur. Ecce quaedam exempla, ubi cuivis indici residuum absolute minimum apposuimus.

Exemplum Primum
Exemplum secundum

55.

Adiicimus circa radices primitivas et algorithmum indicum quasdam observationes, demonstrationibus propter facilitatem omissis.

I. Indices secundum modulum congrui in systemate dato residuis secundum modulum congruis respondent et vice versa.

II. Residua, quae respondent indicibus ad primis, etiam sunt radices primitivae et vice versa.

III. Si accepta radice primitiva pro basi, radicis alius primitivae index est , et vice versa index ipsius , dum pro basi accipitur, erit ; et si iisdem positis indices cuiusdam alius numeri in his duobus systematibus resp. sunt , , erit , .

IV. Dum numeri , eorumque terni socii (tamquam nimis ieiuni) a modulis nobis considerandis excluduntur, restant numeri primi ii, quos in art. 34 tertio et quarto loco posuimus. Posteriorum normae erunt numeri primi reales formae ; priorum normae autem quadrata numerorum primorum realium imparium: in utroque igitur casu per divisibilis est.

V. Denotando indicem numeri per , erit , adeoque vel , vel : at quum index respondeat residuo , index numeri necessario debet esse .

VI. Perinde denotando per indicem numeri , erit , adeoque vel vel . Sed hic ambiguitas ab electione radicis primitivae pendet. Scilicet si radice primitiva pro basi accepta index numeri est , index fiet , dum pro basi accipitur , designante integrum positivum formae ad primum, e.g. ipsum numerum , et vice versa. Quare semissis altera radicum primitivarum conciliat numero indicem , altera indicem , manifestoque pro illis basibus indicem , pro his indicem habebit.

VII. Quoties modulus est numerus primus realis positivus formae , puta , adeoque , indices omnium numerorum realium per divisibiles erunt; denotante enim indicem numeri realis , erit, propter , , adeoque integer. Perinde indices numerorum pure imaginariorum ut per divisibiles erunt. Patet itaque, radices primitivas pro talibus modulis inter solos numeros mixtos quaerendas esse.

VIII. Contra pro modulo , qui est numerus primus complexus mixtus, (cuiusque proin norma est numerus primus realis formae ), radices primitivae quaelibet etiam inter numeros reales eligi possunt, inter quos completum adeo systema residuorum incongruorum monstrare licet (art. 40). Manifesto autem quilibet numerus realis, qui est radix primitiva pro modulo complexo , simul erit in arithmetica numerorum realium radix primitiva pro modulo , et vice versa.

56.

Etiamsi theoria residuorum et non-residuorum quadraticorum in arithmetica numerorum complexorum sub ipsa theoria residuorum biquadraticorum contenta sit, tamen antequam ad hanc transeamus, illius theoremata palmaria hic seorsim proferemus: brevitatis vero caussa de solo casu principali, ubi modulus est numerus primus complexus (impar), hic loquemur.

Sit talis modulus, atque eius norma. Manifesto quivis integer (per non divisibilis, quod hic semper subintelligendum) quadrato secundum modulum congruus fieri vel potest vel non potest, prout illius index, radice aliqua primitiva pro basi accepta, par est vel impar; in casu priori ille integer residuum quadraticum ipsius dicetur, in posteriori non-residuum. Hinc concluditur, inter numeros qui systema completum residuorum incongruorum (per non divisibilium) exhibeant, semissem ad residua quadratica, semissem alteram ad non-residua quadratica referri. Cuivis vero alii numero extra illud systema idem character hoc respectu tribuendus est, quo gaudet numerus systematis illi congruus.

Porro ibinde sequitur, productum e duobus residuis quadraticis, nec non productum e duobus non-residuis esse residuum quadraticum; contra productum e residuo quadratico in non-residuum fieri non-residuum; et generaliter productum e quotcunque factoribus esse residuum quadraticum vel non-residuum, prout multitudo non-residuorum inter factores par sit vel impar.

Pro distinguendis residuis quadraticis a non-residuis statim se offert criterium generale sequens:

Numerus per modulum non divisibilis huius residuum vel non-residuum quadraticum est, prout habetur vel , vel .

Veritas huius theorematis statim inde sequitur, quod, accepta radice primitiva quacunque pro basi, index potestatis fit vel vel , prout index numeri par est vel impar.

57.

Facile quidem est, pro modulo dato systema residuorum incongruorum completum in duas classes, puta residua et non-residua quadratica distinguere, quo pacto simul omnibus reliquis numeris classes suae sponte assignantur. At longe altioris indaginis est quaestio de criteriis ad distinguendum modulos eos, pro quibus numerus datus est residuum quadraticum, ab iis, pro quibus est non-residuum.

Quod quidem attinet ad unitates reales et , hae in arithmetica numerorum complexorum sunt reapse quadrata, adeoque etiam residua quadratica pro quovis modulo. Aeque facile e criterio art. praec. sequitur, numerum (et perinde ) esse residuum quadraticum cuiusvis moduli, cuius norma sit formae , non-residuum vero cuiusvis moduli, cuius norma sit formae . Quum manifesto nihil intersit, utrum numerus , an aliquis numerorum ipsi associatorum , , pro modulo adoptetur, supponere licebit, modulum esse associatorum primarium (art. 36, II), adeoque statuendo modulum , esse imparem, parem. Quo pacto quum semper sit , vero vel vel , prout sit pariter par vel impariter par, patet numeros et in casu priori esse residua quadratica moduli, in posteriori nonresidua.

58.

Quum diiudicatio characteris numeri compositi, utrum sit residuum quadraticum an non-residuum, pendeat a characteribus factorum, manifesto sufficiet, si evolutionem criteriorum ad distinguendos modulos, pro quibus numerus datus sit residuum quadraticum, ab iis, pro quibus sit non-residuum, ad tales valores ipsius limitemus, qui sint numeri primi, insuperque inter associatos primarii. In qua investigatione inductio protinus theoremata maxime elegantia suppeditat.

Incipiamus a numero , qui invenitur esse residuum quadraticum modulorum
, , , , , , , , , etc.
non-residuum quadraticum autem sequentium
, , , , , , , , , , , , , , etc.

Si hunc conspectum, in quo semper e quaternis modulis associatis primarium apposuimus, attente examinamus, facile animadvertimus, modulos in priori classe omnes esse tales, pro quibus fiat , in posteriori vero tales, pro quibus . Manifesto hoc criterium, si loco moduli primarii adoptamus associatum , ita immutari debet, ut pro modulis prioris classis sit , pro modulis posterioris . Quare, siquidem inductio non fefellerit, generaliter, designante numerum primum, in quo impar, par, fit eius residuum quadraticum vel non-residuum quadraticum, prout , vel .

Pro numero eadem regula valet, quae pro . Contra considerando tamquam productum ex in , manifestum est, numero eundem characterem competere, qui tribuendus sit ipsi , quoties sit pariter par, oppositum autem, quoties sit impariter par, unde facile colligitur, esse residuum quadraticum numeri primi , quoties sit , nonresiduum autem, quoties habeatur , semper supponendo, esse imparem, parem.

Ceterum haec secunda propositio e priori etiam deduci potest adiumento theorematis generalioris, quod ita enunciamus:

In theoria residuorum quadraticorum character numeri respectu moduli idem est, qui numeri respectu moduli .

Demonstratio huius theorematis inde petitur, quod uterque modulus eandem normam habet, atque quoties per divisibilis est, etiam per divisibilis evadit, quoties autem per divisibilis est, etiam per divisibilis esse debet.

59.

Progrediamur ad numeros primos impares.

Numerum invenimus esse residuum quadraticum modulorum , , , , , , , , , etc.

non-residuum autem modulorum , , , , , , , , , , , , etc.

Reducendo modulos prioris classis ad residua eorum absolute minima secundum modulum , haec sola invenimus et , puta , , , etc.

Contra omnes moduli posterioris classis congrui inveniuntur secundum modulum vel ipsi , vel ipsi .

At numeri , ipsi sunt residua quadratica moduli , atque et eiusdem non-residua: quocirca, quatenus inductioni fidem habere licet, prodit theorema: Numerus est residuum vel non-residuum quadraticum numeri primi , prout hic est residuum vel non-residuum quadraticum ipsius , siquidem est primarius e quaternis associatis, vel potius, si est impar, par.

Ceterum ex hoc theoremate sponte sequuntur theoremata analoga circa numeros , , .

60.

Instituendo similem inductionem circa numerum vel , invenimus, utrumque esse residuum quadraticum modulorum , , , , , , , , , , etc.

non-residuum vero horum , , , , , , , , , , , etc.

Priores secundum modulum 3 congrui sunt alicui ex his quatuor numeris , , , ; posteriores autem alicui ex his , , , . Illi sunt ipsa residua quadratica numeri 3, hi non-residua.

Docet itaque haec inductio, numerum primum , supponendo imparem, parem, ad numerum (nec non ad ) eandem relationem habere, quam hic habet ad illum, quatenus scilicet alter alterius residuum quadraticum sit aut non-residuum.

Extendendo similem inductionem ad alios numeros primos, ubique hanc elegantissimam reciprocitatis legem confirmatam invenimus, deferimurque ad theorema hocce fundamentale circa residua quadratica in arithmetica numerorum complexorum

Denotantibus , numeros primos tales, ut , sint impares, , pares: erit vel uterque alterius residuum quadraticum, vel uterque alterius nonresiduum.

At non obstante summa theorematis simplicitate, ipsius demonstratio magnis difficultatibus premitur, quibus tamen hic non immoramur, quum theorema ipsum sit tantummodo casus specialis theorematis generalioris, summam theoriae residuorum biquadraticorum quasi exhaurientis. Ad hanc igitur iam transeamus.

61.

Quae in art. 2 prioris commentationis de notione residui et non-residui biquadratici prolata sunt, etiam ad arithmeticam numerorum complexorum extendimus, et perinde ut illic etiam hic disquisitionem ad modulos tales, qui sunt numeri primi, restringimus: simul plerumque tacite subintelligendum erit, modulum ita accipi, ut sit inter associatos primarius, puta secundum modulum , nec non numeros, de quorum charactere (quatenus sint residua biquadratica vel non-residua) agitur, per modulum non esse divisibiles.

Pro modulo itaque dato numeri per eum non divisibiles in tres classes dispertiri possent, quarum prima contineret residua biquadratica, secunda non-residua biquadratica ea, quae sunt residua quadratica, tertia non-residua quadratica.

Sed hic quoque praestat, loco tertiae classis binas stabilire, ut omnino habeantur quaternae.

Assumta radice quacunque primitiva pro basi, residua biquadratica habebunt indices per 4 divisibiles sive formae ; non-residua ea, quae sunt residua quadratica, habebunt indices formae ; denique non-residuorum quadraticorum indices erunt partim formae , partim formae . Hoc modo classes quaternae quidem oriuntur, at distinctio inter binas posteriores non esset absoluta, sed ab electione radicis primitivae pro basi assumtae dependens; facile enim perspicitur, semissem radicum primitivarum non-residuo quadratico dato conciliare indicem formae , semissem alteram vero indicem formae . Quam ambiguitatem ut tollamus, supponemus semper talem radicem primitivam adoptari, pro qua index competat numero (conf. art. 55, VI). Hoc pacto classificatio oritur, quam concinnius independenter a radicibus primitivis ita enunciare possumus.

Classis prima contineat numeros eos, pro quibus fit ; hi numeri sunt moduli residua biquadratica.

Classis secunda contineat eos, pro quibus .

Classis tertia eos, pro quibus .

Classis quarta denique eos, pro quibus .

Classis tertia comprehendet non-residua biquadratica ea, quae sunt residua quadratica; inter secundam et quartam non-residua quadratica distributa erunt.

Numeris harum classium tribuemus resp. characteres biquadraticos , , , . Si characterem numeri secundum modulum ita definimus, ut sit exponens eius potestatis ipsius , cui numerus congruus est, manifesto characteres secundum modulum 4 congrui pro aequivalentibus habendi sunt. Ceterum haec notio tantisper ad modulos eos limitatur, qui sunt numeri primi: in continuatione harum disquisitionum ostendemus, quomodo etiam modulis compositis adaptari possit.

62.

Quo facilius inductio copiosa circa numerorum characteres adstrui possit, tabulam compendiosam hic adiungimus, cuius auxilio character cuiusvis numeri propositi respectu moduli, cuius norma valorem 157 non transscendit, levi opera obtinetur, dummodo ad observationes sequentes attendatur.

Quum character numeri compositi aequalis sit (sive secundum modulum 4 congruus) aggregato characterum singulorum factorum, sufficit, si pro modulo dato characteres numerorum primorum assignare possumus. Porro quum characteres unitatum , , manifesto sint congrui numeris , , secundum modulum 4, etiam sufficiet, characteres numerorum inter associatos primariorum exhibuisse. Denique quam moduli secundum modulum congrui eundem characterem habeant, sufficit, characteres talium numerorum in tabulam recipere, qui continentur in systemate residuorum absolute minimorum. Praeterea per ratiocinium simile ut in art. 58 demonstratur, si pro modulo character numeri sit , pro modulo autem sit character numeri , semper esse , sive per 4 divisibilem: quapropter sufficit, in tabulam recipere modulos, in quibus est vel vel positivus.

Ita e.g. si quaeritur character numeri respectu moduli , substituimus loco horum numerorum hosce , ; dein determinamus (art. 43) residuum absolute minimum numeri secundum modulum , quod fit ; quare quum pro modulo character ipsius sit , character numeri autem, ex tabula, , erit sive character numeri pro modulo , et proin per observationem ultimam etiam character numeri pro modulo . Perinde si quaeritur character numeri respectu moduli , illius residuum absolute minimum resolvitur in factores , , , quibus respondent characteres , , , unde character quaesitus erit sive ; idem character etiam numero respectu moduli tribuendus est.

63.

Operam nunc dabimus, ut criteria communia modulorum, pro quibus numerus primus datus characterem eundem habet, per inductionem detegamus. Modulos semper supponimus primarios inter associatos, puta tales , pro quibus vel , , vel , .

Respectu numeri , a quo initium facimus, inductionis lex facilius arripitur, si modulos prioris generis (pro quibus , ) a modulis posterioris generis (pro quibus , ) separamus. Adiumento tabulae art. praec. invenimus respondere

Si haec septemdecim exempla attente consideramus, in omnibus invenimus characterem .

Perinde respondet In omnibus his viginti exemplis, levi attentione adhibita, invenitur character .

Facile has duas regulas in unam pro utroque modulorum genere valentem contrahere licet, si perpendimus, esse pro modulis prioris generis , pro modulis posterioris generis . Est itaque character numeri respectu moduli cuiusvis primi inter associatos primarii .

Obiter hic annotare convenit, quum semper sit formae , sive par, characterem istum semper parem vel imparem fieri, prout par sit vel impar, quod quadrat cum regula pro charactere quadratico in art. 58 prolata.

Quum , sint integri, quorum alter par, alter impar, ipsorum productum par erit, sive . Hinc loco expressionis allatae pro charactere biquadratico haec quoque adoptari potest quae forma eo quoque nomine se commendat, quod non restringitur ad modulos primarios, sed tantummodo supponit; esse imparem, parem: manifesto enim in hac suppositione vel , vel erit numerus inter associatos primarius, valorque istius formulae pro utroque modulo idem.

64.

Proficiscendo a regula ultima in art. praec. eruta invenimus esse Hoc statim inde sequitur, quod character ipsius est , character ipsius autem , quum semper sit formae . Manifesto hae quatuor regulae, etiamsi hactenus ab inductione mutuatae sint, ita inter se sunt nexae, ut quamprimum unius demonstratio absoluta fuerit, tres reliquae simul sint demonstratae. Vix opus est monere, etiam in his regulis tantummodo supponi imparem, parem.

Si formulas ad modulos primarios restrictas adhibere non displicet, hac forma uti possumus. Est Formulae simplicissimae prodeunt, si, ut initio inductionis nostrae feceramus, modulos primi et secundi generis distinguimus. Est scilicet character

65.

Pro numero , ad quem iam progredimur, eandem distinctionem inter modulos eos, pro quibus , , atque eos, pro quibus , quoque adhibebimus. Tabula art. 62 docet, respectu illius numeri respondere

Revocatis singulis his modulis ad residua absolute minima secundum modulum , animadvertimus, omnes, quibus respondet character , esse ; eos, quibus character 1 respondet, ; eos, quorum character est 2, fieri ; denique omnes, quorum character est 3, fieri . At characteres numerorum , , , pro modulo ipsi sunt , , , resp.; quapropter in omnibus his 17 exemplis character numeri respectu moduli prioris generis , cum charactere huius numeri respectu moduli identicus est.

Perinde adiumento tabulae invenitur, respondere

Revocatis his modulis ad residua minima secundum modulum , omnia, quibus resp. characteres , , , respondent, congrua inveniuntur numeris , , , ; his vero ipsis numeris, si vice versa pro modulo adoptatur, competunt characteres , , , resp. Quapropter in omnibus his 19 exemplis character numeri respectu moduli secundi generis duabus unitatibus differt a charactere huius numeri respectu numeri pro modulo habiti.

Ceterum nullo negotio perspicitur, prorsus similia respectu numeri locum habitura esse.

66.

Pro numero distinctionem inter modulos primi generis et secundi omittimus, quum eventus doceat, illam hic superfluam esse. Respondet itaque

Revocatis his modulis ad residua minima secundum modulum , videmus, eos, quibus respondet character , esse partim , partim ; eos, quorum character est , fieri vel , vel : eos, quorum character est , fieri vel , vel ; denique eos, quibus competit character , esse vel , vel . Ex hac itaque inductione colligimus, characterem numeri pro modulo, qui est numerus primus inter associatos primarius, identicum esse cum charactere huius ipsius numeri, dum , sive, quod eodem redit, tamquam modulus consideratur.

67.

Simili inductione circa alios numeros primos instituta, invenimus, numeros , , , etc. suppeditare theoremata ei similia, ad quod in art. 65 respectu numeri pervenimus; contra numeros , , , , etc. perinde se habere ut numerum . Inductio itaque perducit ad elegantissimum theorema, quod ad instar theoriae residuorum quadraticorum in arithmetica numerorum realium Theorema fundamentale theoriae residuorum biquadraticorum nuncupare liceat, scilicet:

Denotantibus , numeros primos diversos inter associatos suos primarios, i.e. secundum modulum unitati congruos, character biquadraticus numeri respectu moduli identicus erit cum charactere numeri respectu moduli , si vel uterque numerorum , , vel alteruter saltem, ad primum genus refertur, i.e. secundum modulum 4 unitati congruus est: contra characteres illi duabus unitatibus inter se different, si neuter numerorum , ad primum genus refertur, i.e. si uterque secundum modulum 4 congruus est numero .

At non obstante summa huius theorematis simplicitate, ipsius demonstratio inter mysteria arithmeticae sublimioris maxime recondita referenda est, ita ut, saltem ut nunc res est, per subtilissimas tantummodo investigationes enodari possit, quae limites praesentis commentationis longe transgrederentur. Quamobrem promulgationem huius demonstrationis, nec non evolutionem nexus inter hoc theorema atque ea, quae in initio huius commentationis per inductionem stabilire coeperamus, ad commentationem tertiam nobis reservamus. Coronidis tamen loco iam hic trademus, quae ad demonstrationem theorematum in artt. 63, 64 propositorum requiruntur.

68.

Initium facimus a numeris primis talibus, pro quibus (tertia specie art. 34 ), ubi itaque (ut numerus inter associatos primarius sit) a debet esse numerus primus realis negativus formae , pro quo scribemus , quales sunt , , , etc. Denotando per characterem numeri , illo numero pro modulo accepto, esse debet Sed constat, 2 esse residuum quadraticum, vel non-residuum quadraticum ipsius , prout sit formae , vel formae , unde colligimus, esse generaliter adeoque evehendo ad potestatem exponentis Aequatio itaque praecedens hanc formam induit unde sequitur sive quum habeatur , . Quod est ipsum theorema art. 63 pro casu .

69.

Longe vero difficilius absolvuntur moduli tales, pro quibus non est (numeri quartae speciei art. 34 ), pluresque disquisitiones erunt praemittendae. Normam , quae erit numerus primus realis formae , designabimus per .

Denotetur per complexus omnium residuorum simpliciter minimorum pro modulo , exclusa cifra, ita ut multitudo numerorum in contentorum sit . Designet indefinite numerum huius systematis, statuaturque , . Erunt itaque , integri inter limites et exclusive contenti: in casu praesente enim, ubi , inter se primi sunt, formulae art. 45, puta , docent, neutrum numerorum , esse posse , nisi alter simul evanescat, adeoque fiat , , quam combinationem iam eiecimus. Criterium itaque numeri in contenti, consistit in eo, ut quatuor numeri , , , sint positivi.

Praeterea observamus pro nullo tali numero esse posse ; hinc enim sequeretur , quod est absurdum, quum nullus factorum , , per divisibilis sit. Simili ratione aequatio docet, esse non posse . Quapropter quum numeri , esse debeant vel positivi vel negativi, hinc petimus subdivisionem systematis in quatuor complexus , , , , puta ut coniiciantur Criterium itaque numeri complexus proprie sextuplex est, puta sex numeri , , , , , positivi esse debent; sed manifesto conditiones 2, 5 et 6 iam sponte implicant reliquas. Similia circa complexus , , valent, ita ut criteria completa sint triplicia, puta

Ceterum vel nobis non monentibus quisque facile intelliget, in repraesentatione figurata numerorum complexorum (vid. art. 39) numeros systematis intra quadratum contineri, cuius latera iungant puncta numeros , , , repraesentantia, et subdivisionem systematis respondere partitioni quadrati per rectas diagonales. Sed hocce loco ratiocinationibus pure arithmeticis uti maluimus, illustrationem per intuitionem figuratam lectori perito brevitatis caussa linquentes.

70.

Si quatuor numeri complexi , , , ita inter se nexi sunt, ut habeatur , , , atque primus ad complexum pertinere supponitur, reliqui , , resp. ad complexus , , pertinebunt. Statuendo enim , , , , , , , , invenitur unde adiumento criteriorum theorematis veritas sponte demanat. Et quum rursus fiat , facile perspicietur, si supponatur pertinere ad , numeros , , pertinere resp. ad , , ; si ille ad , hos ad , , ; denique si ille ad , hos ad , , .

Simul hinc colligitur, in singulis complexibus , , , aeque multos numeros reperiri, puta .

71.

Theorema. Si denotante integrum per non divisibilem singuli numeri complexus per multiplicantur, productorumque residuis simpliciter minimis secundum modulum inter complexus , , , distributis, multitudo eorum, quae ad singulos hos complexus pertinent, resp. per , , , denotatur: character numeri respectu moduli erit .

Demonstr. Sint illa residua minima ad pertinentia , , , etc.; dein residua ad pertinentia haec , , , etc.; porro residua ad pertinentia haec , , , etc.; denique residua ad pertinentia haec , , , etc. Iam consideremus quatuor producta, scilicet

  1. productum ex omnibus numeris complexum constituentibus:
  2. productum productorum, quae e multiplicatione singulorum horum numerorum per orta erant;
  3. productum e residuis minimis horum productorum, puta e numeris , , , etc., , etc. etc.
  4. productum ex omnibus numeris , , , etc., , , , etc., , , , etc., , , , etc.

Denotando haec quatuor producta ordine suo per , , , , manifesto erit et proin At facile perspicietur, numeros , , , etc., , , , etc., , , , etc. omnes ad complexum pertinere, atque tum inter se tum a numeris , , , etc. diversos esse, sicuti hi ipsi inter se diversi sint. Omnes itaque hi numeri simul sumti, et abstrahendo ab ordine, prorsus identici esse debent cum omnibus numeris complexum constituentibus, unde colligimus , adeoque Denique quum singuli factores producti per non sint divisibiles, hinc concluditur unde erit character numeri respectu moduli . Q. E. D.

72.

Quo theorema generale art. praec. ad numerum applicari possit, complexum denuo in duos complexus minores et subdividere oportet, et quidem referemus in complexum numeros eos , pro quibus minor est quam , in alterum eos, pro quibus est maior quam ; multitudinem numerorum in complexibus , contentorum resp. per , denotabimus, unde erit .

Criterium completum numerorum ad pertinentium itaque erit, ut tres numeri , , sint positivi: nam conditio tertia pro complexu , secundum quam positivus esse debet, sub illis implicite iam continetur, quum sit . Perinde criterium completum numerorum ad pertinentium consistet in valoribus positivis trium numerorum , , .

Hinc facile concluditur, productum cuiusvis numeri complexus per numerum pertinere ad complexum ; si enim statuitur i.e. criterium pro numero complexui subdito identicum est cum criterio pro numero ad complexum pertinente.

Prorsus simili modo ostenditur, productum cuiusvis numeri complexus per pertinere ad complexum .

Erit itaque, si in art. praec. ipsi valorem tribuimus, , , , , et proin character numeri fiet . Et quum characteres numerorum , , sint , , characteres numerorum , , resp. erunt , . Totus igitur rei cardo iam in investigatione numeri vertitur.

73.

Quae in artt. 69-72 exposuimus, proprie independentia sunt a suppositione, esse numerum primarium: abhinc vero saltem supponemus, imparem, parem esse, praetereaque , et esse numeros positivos. Ante omnia limites valorum ipsius in complexu stabilire oportet.

Statuendo , , , criterium numerorum ad complexum pertinentium consistit in tribus conditionibus, ut , , sint numeri positivi. Quum fiat , , manifestum est, et esse debere numeros positivos, sive alicui numerorum , , aequalem. Porro quum sit , patet, quamdiu minor sit quam , conditionem secundam (iuxta quam positivus esse debet) iam implicare tertiam (quod debet esse positivus); contra quoties sit maior quam , conditionem secundam iam contineri sub tertia. Quamobrem pro valoribus ipsius his , , tantummodo prospiciendum est, ut et positivi evadant, sive ut maior sit quam et minor quam : pro valore itaque tali dato ipsius aderunt numeri omnino si uncis in eadem significatione utimur, qua iam alibi passim usi sumus (Conf. Theorematis arithm. dem. nova art. 4 et Theorematis fund. in doctr. de residuis quadr. etc. Algorithm. nov. art. 3). Contra pro valoribus ipsius his , sufficiet, ut ipsis et valores positivi concilientur, sive ut maior sit quam et minor quam sive : quare pro valore tali dato ipsius aderunt numeri omnino Hinc itaque colligimus, multitudinem numerorum complexus esse ubi in termino primo summatio extendenda est per omnes valores integros ipsius ab usque ad , in secundo ab usque ad , in tertio ab usque ad .

Si characteristica in eadem significatione utimur, ut loco citato (Theorematis fund. etc. Algor. nov. art. 3), puta ut sit denotantibus , numeros positivos quoscunque, atque numerum , terminus ille primus fit , tertius ; secundus vero fit Sed fit, scribendo terminos inverso ordine, Formula itaque nostra sequentem induit formam:

Consideremus primo terminum , qui protinus transmutatur in sive in

Dein quum per theorema generale fiat , dum sunt integri positivi inter se primi, habemus adeoque

Disponamus partes ipsius sequenti modo Series secunda manifesto fit seriem primam ordine terminorum inverso ita exhibemus: quae expressio, quum denotante numerum integrum, fractum, generaliter sit , mutatur in sequentem

Hinc fit et proin Substituendo hunc valorem in formula pro supra tradita, insuperque , obtinemus

74.

Per ratiocinia prorsus similia absolvitur casus is, ubi manentibus , positivis est negativus sive positivus. Aequationes , docent, atque positivos, et proin alicui numerorum , , aequalem esse debere. Porro ex aequatione sequitur, pro valoribus negativis ipsius conditionem, ex qua debet esse positivus, iam contineri sub conditione, ex qua debet esse positivus, contrarium vero evenire, quoties ipsi valor positivus tribuatur. Hinc valores ipsius pro valore determinato negativo ipsius inter et , contra pro valore positivo ipsius inter et contenti esse debent: manifesto pro hi limites sunt et , valore ipso excluso. Hinc colligitur ubi in termino primo summatio extendenda est per omnes valores negativos ipsius inde a usque ad ; in secunda per omnes valores ipsius inde a usque ad ; in tertia per omnes valores positivos ipsius inde a usque ad : hoc pacto e summatione prima prodit , e secunda perinde ut in art. praec. , denique e tertia , sive habetur Iam simili modo ut in art. praec. evolvitur nec non adeoque tandemque

Evictum est itaque, eandem formulam pro valere, sive sit positivus sive negativus, dummodo , sint positivi.

75.

Ut reductionem ulteriorem assequamur, statuemus Quum facile perspiciatur, haberi generaliter , quamcunque quantitatem realem denotet , fit , et quum manifesto sit , erit Porro autem obvium est, aggregatum termini primi seriei cum penultimo termino seriei , puta fieri , atque eandem summam effici e termino secundo seriei cum antepenultimo seriei , et sic porro: quare quum etiam terminus ultimus seriei fiat , ultimus vero terminus seriei sit , valente signo superiori vel inferiori, prout est formae vel : erit et proin Formula itaque pro in artt. 73 et 74 inventa, transit in sequentem statuendo , ubi erit integer. Sed quum hinc habeatur , formula haec etiam sequenti modo exhiberi potest: Quapropter quum sit character numeri pro modulo , hic character fit , quod est ipsum theorema supra (art.64) per inductionem erutum, sponteque inde demanant theoremata circa characteres numerorum , , . Quamobrem haec quatuor theoremata, pro casu eo, ubi et sunt positivi, iam rigorose sunt demonstrata.

76.

Si manente positivo est negativus, statuatur , ut fiat positivus. Quum iam evictum sit, ita pro modulo characterem numeri esse , character numeri pro modulo per theorema in art. 62 prolatum erit , i.e. character numeri pro modulo fit : hoc vero est ipsum theorema in art. 64 allatum, unde tria reliqua circa characteres numerorum , , sponte demanant. Quapropter ista theoremata etiam pro casu, ubi negativus est, demonstrata sunt, scilicet pro omnibus casibus, ubi est positivus.

Denique si est negativus, statuatur . Quum itaque per iam demonstrata character numeri respectu moduli sit , nihilque intersit, utrum numerum an oppositum moduli loco habeamus; manifesto character numeri respectu moduli est , et similia valent circa characteres numerorum , , .

Ex his itaque colligitur, demonstrationem theorematum circa characteres numerorum , , , (artt. 63. 64) nulli amplius limitationi obnoxiam esse.

  1. atque
  2. Obiter saltem hic adhuc monere convenit, campum ita definitum imprimis theoriae residuorum biquadraticorum accommodatum esse. Theoria residuorum cubicorum simili modo superstruenda est considerationi numerorum formae , ubi est radix imaginaria aequationis , puta ; et perinde theoria residuorum potestatum altiorum introductionem aliarum quantitatum imaginariarum postulabit.
  3. sive, quod idem est, tales, quorum normae unitate sint maiores.