De revolutionibus orbium coelestium/05

E Wikisource
Jump to navigation Jump to search

Fairytale left blue.png Recognito & ... Liber Secundus Fairytale right blue.png


NICOLAI COPERNICI REVOLUTIONUM

liber primus.
Quòd mundus sit sphæricus. Cap. I.

Principio advertendum nobis est, globosum esse mundum, sive quòd ipsa forma perfectissima sit omnium, nulla indigens compagine, tota integra: sive quòd ipsa capacissima sit figurarum, quæ compræhensurum omnia, & conservaturum maxime decet: sive etiam quòd absolutissimæ quæque mundi partes, Solem dico, Lunam & stellas, tali forma conspiciantur: sive quòd hac universa appetant terminari, quod in aquæ guttis cæterisque liquidis corporibus apparet, dum per se terminari cupiunt. Quo minus talem formam cœlestibus corporibus attributam quisquam dubitaverit.


Quòd terra quoque sphærica sit. Cap. II.

TErram quoque globosam esse, quoniam ab omni parte centro suo innititur. Tametsi absolutus orbis non statim videatur, in tanta montium excelsitate, descensuque vallium, quæ tamen universam terræ rotunditatem minime variant. Quod ita manifestum est. Nam ad Septentrionem undequaque commeantibus, vertex ille diurnæ revolutionis paulatim attollitur, altero tantundem ex adverso subeunte, pluresque stellæ circum Septentriones videntur non occidere, & in Austro quædam amplius non oriri. Ita Canopum non cernit Italia, Ægypto patentem. Et Italia postremam fluvii stellam videt, quam regio nostra plagæ rigentioris ignorat. E contrario in Austrum transeuntibus attolluntur illa, residentibus iis, quæ nobis excelsa sunt. Interea & ipsæ polorum inclinationes ad emensa terrarum spacia eandem ubique rationem habent, quod in nulla alia quàm sphærica figura contingit. Unde manifestum est, terram quoque verticibus includi, et propter hoc globosam esse. Adde etiam, quòd defectus Solis et Lunæ vespertinos Orientis incolae non sentiunt: neque matutinos ad occasum habitantes: Medios autem, illi quidem tardius, hi vero citius vident. Eidem quoque formæ aquas inniti à navigantibus depræhenditur: quoniam quæ è navi terra non cernitur, ex summitate mali plerumque spectatur. At vicissim si quid in summitate mali fulgens adhibeatur, a terra promoto navigio, paulatim descendere videtur in littore manentibus, donec postremo quasi occiduum occultetur. Constat etiam aquas sua natura fluentes, inferiora semper petere, eadem quæ terra, nec à littore ad ulteriora niti, quàm convexitas ipsius patiatur. Quamobrem tanto excelsiorem terram esse convenit, quæcunque ex Oceano assurgit.

Quomodo terra cum aqua unum globum perficiat. Cap. III.

HUic ergo circumfusus Oceanus maria passim profundens, decliviores eius descensus implet. Itaque minus esse aquarum quàm terræ oportebat, ne totam absorberet aqua tellurem, ambabus in idem centrum contendentibus gravitate sua, sed ut aliquas terræ partes animantium saluti relinqueret, atque tot hincinde patentes insulas. Nam et ipsa continens, terrarumque orbis, quid aliud est quam insula maior cæteris? Nec audiendi sunt Peripateticorum quidam, qui universam aquam decies tota terra maiorem prodiderunt. Quod scilicet in transmutatione elementorum ex aliqua parte terrae, decem aquarum in resolutione fiant, coniecturam accipientes, aiuntque terram quadantenus sic prominere, quòd non undequaque secundum gravitatem æquilibret cavernosa existens, atque aliud esse centrum gravitatis, aliud magnitudinis. Sed falluntur Geometrices artis ignorantia, nescientes quòd neque septies aqua potest esse maior, ut aliqua pars terræ siccaretur, nisi tota centrum gravitatis evacuaret, daretque locum aquis, tanquam se gravioribus. Quoniam sphaeræ ad se invicem in tripla ratione sunt suorum dimetientium. Si igitur septem partibus aquarum terra

esset octava, diameter eius non posset esse maior, quàm quæ ex centro ad circumferentiam aquarum: tantum abest, ut etiam decies maior sit aqua. Quòd etiam nihil intersit inter centrum gravitatis terræ, et centrum magnitudinis eius: hinc accipi potest, quod convexitas terræ ab oceano expaciata, non continuo semper intumescit abscessu, alioqui arceret quàm maxime aquas marinas, nec aliquo modo sineret interna maria, tamque vastos sinus irrumpere. Rursum à littore oceani non cessaret aucta semper profunditas abyssi, qua propter nec insula, neс scopulus, neс terrenum quidpiam occurreret navigantibus longius progressis. Iam vero constat inter ægyptium mare Arabicumque sinum vix quindecim superesse stadia in medio ferè orbis terrarum. Et vicissim Ptolemæus in sua Cosmographia ad medium usque circulum terram habitabilem extendit, relicta insuper incognita terra, ubi recentiores Cathagyam et amplissimas regiones, usque ad LX. longitudinis gradus adiecerunt: ut iam maiori longitudine terra habitetur, quàm sit reliquum oceani. Magis id erit clarum, si addantur insulæ ætate nostra sub Hispaniarum Lusitaniæque Principibus repertæ, et præsertim America ab inventore denominata navium præfecto, quàm ob incompertam eius adhuc magnitudinem, alterum orbem terrarum putant, præter multas alias insulas antea incognitas, quo minus etiam miremur Antipodes sive Antichthones esse. Ipsam enim Americam Geometrica ratio ex illius situ Indiæ Gangeticæ è diametro oppositam credi cogit. Ex his demum omnibus puto manifestum, terram simul et aquam uni centro gravitatis inniti, nec esse aliud magnitudinis terræ, quæ cum sit gravior, dehiscentes eius partes aqua expleri, et idcirco modicam esse comparatione terræ aquam, etsi superficietenus plus forsitan aquæ appareat. Talem quippe figuram habere terram cum circumfluentibus aquis necesse est, qualem umbra ipsius ostendit: absoluti enim circuli circumferentiis Lunam deficientem efficit. Non igitur plana est terra, ut Empedocles et Anaximenes opinati sunt: neque Tympanoides, ut Leucippus: neque Scaphoides, ut Heraclitus: nec alio modo cava, ut Democritus. Neque rursus Cylindroides ut Anaximander: neque ex inferna parte infinita radicitus crassitudine submissa, ut Xenophanes, sed rotunditate absoluta, ut Philosophi sentiunt.
Quòd motus corporum cœlestium sit æqualis ac circularis, perpetuus, vel ex circularibus compositus. Cap. IIII.

POst hæc memorabimus corporum cælestium motum esse circularem. Mobilitas enim Sphæræ, est in circulum volvi, ipso actu formam suam exprimentis in simplicissimo corpore, ubi non est reperire principium, nec finem, nec unum ab altero secernere, dum per eadem in seipsam movetur. Sunt autem plures penes orbium multitudinem motus. Apertissima omnium est cotidiana revolutio, quam Græci νυχθήμερον vocant, hoc est, diurni nocturnique temporis spacium. Hac totus mundus labi putatur ab ortu in occasum, terra excepta. Hæc mensura communis omnium motuum intelligitur, cum etiam tempus ipsum numero potissimum dierum metimur. Deinde alias revolutiones tanquam contranitentes, hoc est, ab occasu in ortum videmus, Solis inquam, Lunæ et quinque errantium. Ita Sol nobis annum dispensat, Luna menses, vulgatissima tempora: Sic alii quinque planetæ suum quisque circuitum facit. Sunt tamen in multiplici differentia: Primum, quòd non in eisdem polis, quibus primus ille motus obvolvuntur, per obliquitatem signiferi currentes. Deinde, quòd in suo ipso circuitu, non videntur æqualiter ferri, nam Sol et Luna, modo tardi, modo velociores cursu deprehenduntur. Cæteras autem quinque errantes stellas, quandoque etiam repedare et hinc inde stationes facere cernimus. Et cum Sol suo semper et directo itinere proficiscatur, illi variis modis errant, modo in Austrum, modo in Septentrionem evagantes, unde planetæ dicti sunt. Adde etiam quòd aliquando propinquiores terræ fiunt et Perigæi vocantur, alias remotiores et dicuntur Apogæi. Fateri nihilominus oportet circulares esse motus, vel ex pluribus circulis compositos, eo quòd inæqualitates huiusmodi certa lege, statisque observant restitutionibus, quòd fieri non posset, si circulares non essent. Solus enim circulus est, qui potest peracta reducere, quemadmodum, verbi gratia: Sol motu circulorum composito dierum et noctium inæqualitatem, et quatuor anni tempora nobis bis reducit, in quo plures motus intelliguntur. Quoniam fieri nequit, ut coeleste corpus simplex uno orbe inaequaliter moveatur. Id enim evenire oporteret, vel propter virtutis moventis inconstantiam, sive asciticia sit, sive intima natura, vel propter revoluti corporis disparitatem. Cum vero ab utroque abhorreat intellectus, sitque indignum tale quiddam in illis existimari, quae in optima sunt ordinatione constituta: consentaneum est aequales illorum motus apparere nobis inaequales, vel propter diversos illorum polos circulorum, sive etiam quod terra non sit in medio circulorum, in quibus illa volvuntur, et nobis a terra spectantibus horum transitus syderum accidat ob inaequales distantias propinquiora seipsis remotioribus maiora videri (ut in opticis est demonstratum) sic in circumferentiis orbis aequalibus ob diversam visus distantiam apparebunt motus inaequales temporibus aequalibus. Quam ob causam ante omnia puto necessarium, ut diligenter animadvertamus, quae sit ad coelum terrae habitudo, ne dum excelsissima scrutari volumus, quae nobis proxima sunt, ignoremus, ac eodem errore quae telluris sunt attribuamus coelestibus.

An terrae competat motus circularis, et de loco eius. Cap. V.

IAm quia demonstratum est, terram quoque globi formam habere, videndum arbitror, an etiam formam eius sequatur motus, et quem locum universitatis obtineat, sine quibus non est invenire certam apparentium in coelo rationem. Quanquam in medio mundi terram quiescere inter autores plerunque convenit, ut inopinabile putent, atque adeo etiam ridiculum contrarium sentire. Si tamen attentius rem consideremus, videbitur haec quaestio nondum absoluta, et idcirco minime contemnenda. Omnis enim quae videtur secundum locum mutatio, aut est propter spectatae rei motum, aut videntis, aut certe disparem utriusque mutationem. Nam inter mota aequaliter ad eadem, non percipitur motus, inter rem visam dico, et videntem. Terra autem est unde coelestis ille circuitus aspicitur, et visui reproducitur nostro. Si igitur motus aliquis terrae
depudeputetur, ipse in universis quae extrinsecus sunt, idem apparebit, sed ad partem oppositam, tanquam praetereuntibus, qualis est revolutio cotidiana in primis. Haec enim totum mundum videtur rapere praeterquam terram, quaeque circa ipsam sunt. Atqui si coelum nihil de hoc motu habere concesseris, terram vero ab occasu in ortum volvi, quantum ad apparentem in Sole, Luna et Stellis ortum et occasum, si serio animadvertas, invenies haec sic se habere. Cumque coelum sit quod continet et caelat omnia communis universorum locus, non statim apparet, cur non magis contento quam continenti, locato quam locanti motus attribuatur. Erant sane huius sententiae Heraclides et Ecphantus Pythagorici, ac Nicetas Syracusanus apud Ciceronem, in medio mundi terram volventes. Existimabant enim stellas obiectu terrae occidere, easque cessione illius oriri. Quo assumpto sequitur et alia, nec minor de loco terrae dubitatio, quamvis iam ab omnibus fere receptum creditumque sit, medium mundi esse terram. Quoniam si quis neget medium sive centrum mundi terram obtinere, nec tamen fateatur tantam esse distantiam, quae ad non errantium stellarum sphaeram comparabilis fuerit, sed insignem ac evidentem ad Solis aliorumque syderum orbes, putetque propterea motum illorum apparere diversum, tanquam ad aliud sint regulata centrum, quam sit centrum terrae, non ineptam forsitan poterit diversi motus apparentis rationem afferre. Quod enim errantia sidera propinquiora terrae, et eadem remotiora cernuntur, necessario arguit centrum terrae, non esse illorum circulorum centrum. Quo minus etiam constat, terrane illis, an illa terrae annuant et abnuant. Nec adeo mirum fuerit, si quis praeter illam cotidianam revolutionem, alium quendam terrae motum opinaretur, nempe terram volvi, atque etiam pluribus motibus vagantem, et unam esse ex astris Philolaus Pythagoricus sensisse fertur, Mathematicus non vulgaris, utpote cuius visendi gratia Plato non distulit Italiam petere, quemadmodum qui vitam Platonis scripsere, tradunt. Multi vero existimaverunt Geometrica ratione demonstrari posse, terram esse in medio mundi, et ad immensitatem coeli instar puncti, centri vicem obtinere, ac eam ob causam immobilem esse, quod moto universo centrum
maneat maneat immotum, et quae proxima sunt centro tardissime ferantur.

De immensitate coeli ad magnitudinem terrae. Cap. VI.
Quod autem tanta terrae moles, nullam habeat aestimationem ad caeli magnitudinem ex eo potest intelligi. Quoniam finitores circuli (sic enim ὁρίζοντας apud Graecos interpretantur) totam caeli Sphaeram bifariam secant, quod fieri non potest, si insignis esset terrae magnitudo ad caelum comparata, vel a centro mundi distantia. Circulus enim bifariam secans sphaeram, per centrum est sphaerae, et maximus circumscribilium circulus. Esto nanque horizon [img] circulus ABCD, terra vero a qua visus noster sit E, et ipsum centrum horizontis in quo definiuntur apparentia, a non apparentibus. Aspiciatur autem per Dioptram sive Horoscopium, vel Chorobatem in E collocatum, principium Cancri orientis in С puncto, et eo momento apparet Capricorni principium occidere in A. Cum igitur AEC fuerint in linea recta per Dioptram, constat ipsam esse dimetientem signiferi, eo quod sex Signa semicirculum terminant, et E centrum idem est quod horizontis. Rursus commutata revolutione, qua principium Capricorni oriatur in В videbitur tunc quoque Cancri occasus in D, eritque BED linea recta et ipsa dimetiens signiferi. Iam vero apparuit etiam AEC dimetientem esse eiusdem circuli, patet ergo in sectione communi illud E esse centrum. Sic igitur horizon circulus signiferum qui maximus est sphaerae circulus bifariam semper dispescit. Atqui in sphaera si circulus per medium aliquem maximorum secat, ipse quoque secans maximus est, maximorum ergo unus est horizon, et centrum eius idem quod signiferi prout apparet, cum tamen necesse sit aliam esse lineam quae a superficie terrae, et quae a centro, sed propter immensitatem respectu terrae fiunt quodammodo similes parallelis, quae prae nimia distantia termini apparent esse linea una, quando mutuum quod continet spacium ad earum longitudinem efficitur incomparabile sensu, eo modo quo demonstratur in Opticis. Hoc nimirum argumento satis apparet, immensum esse caelum comparatione terrae, ac infinitae magnitudinis speciem prae se ferre, sed sensus aestimatione terram esse respectu caeli, ut punctum ad corpus, et finitum ad infinitum magnitudine, nec aliud demonstrasse videtur. Neque enim sequitur, in medio mundi terram quiescere oportere. Quin magis etiam miremur, si tanta mundi vastitas sub XXIIII. horarum spacio revolvatur potius, quam minimum eius quod est terra. Nam quod aiunt centrum immobile, et proxima centro minus moveri, non arguit terram in medio mundi quiescere: nec aliter quam si dicas, caelum volvi, at polos quiescere, et quae proxima sunt polis minime moveri. Quemadmodum Cynosura multo tardius moveri cernitur, quam Aquila vel Canicula, quia circulum describit minorem proxima polo, cum ea omnia unius sint sphaerae, cuius mobilitas ad axem suum desinens, omnium suarum partium motum sibi invicem non admittit aequalem, quas tamen paritate temporis non aequalitate spacii revolutio totius reducat. Ad hoc ergo nititur ratio argumenti, quasi terra pars fuerit caelestis sphaerae, eiusdemque speciei et motus, ut proxima centro parum moveatur. Movebitur ergo et ipsa corpus existens, non centrum sub eodem tempore ad similes caelestis circuli circumferentias licet minores. Quod quam falsum sit luce clarius est, oporteret enim uno in loco semper esse meridiem, alio semper mediam noctem, ut nec ortus nec occasus cotidiani possent accidere, cum unus et inseparabilis fuerit motus totius et partis. Eorum vero quae differentia rerum absolvit, longe diversa ratio est, ut quae breviori clauduntur ambitu, revolvantur citius, iis quae maiorem circulum ambiunt. Sic Saturni supremum errantium sydus trigesimo anno revolvitur, et Luna quae proculdubio terrae proxima est menstruum complet circuitum, et ipsa denique terra diurni nocturnique temporis spacio circuire putabitur. Resurget ergo eadem de cotidiana revolutione dubitatio. Sed et locus eius adhuc quaeritur minus etiam ex supradictis certus. Nihil enim aliud habet illa demonstratio quam indefinitam caeli ad terram magnitudinem. At quousque se extendat haec immensitas minime constat.
Cur antiqui arbitrati sint terram in medio mundi quiescere tanquam centrum. Cap. VII.

Quamobrem aliis quibusdam rationibus prisci Philosophi conati sunt astruere terram in medio mundi consistere. Potissimam vero causam allegant gravitatis et levitatis. Quippe gravissimum est terrae elementum, et ponderosa omnia feruntur ad ipsam, in intimum eius contendentia medium. Nam globosa existente terra, in quam gravia undequaque rectis ad superficiem angulis suapte natura feruntur, nisi in ipsa superficie retinerentur, ad centrum eius corruerent: quandoquidem linea recta, quae se planiciei finitoris, qua sphaeram contingit, rectis accommodat angulis, ad centrum ducit. Ea vero quae ad medium feruntur, sequi videtur, ut in medio quiescant. Tanto igitur magis tota terra conquiescet in medio, et quae cadentia omnia in se receptat, suo pondere immobilis permanebit. Itidem quoque comprobare nituntur ratione motus, et ipsius natura. Unius quippe ас simplicis corporis simplicem esse motum ait Aristoteles: Simplicium vero motuum, alium rectum, alium circularem. Rectorum autem, alium sursum, alium deorsum. Quocirca omnem motum simplicem, aut ad medium esse, qui deorsum: aut a medio, qui sursum: aut circa medium, et ipsum esse circularem. Modo convenit terrae quidem et aquae, quae gravia existimantur, deorsum ferri, quod est medium petere. Aeri vero et igni, quae levitate praedita sunt, sursum et a medio removeri: Consentaneum videtur, his quatuor elementis rectum concedi motum, caelestibus autem corporibus circa medium in orbem volvi. Haec Aristoteles. Si igitur, inquit Ptolemaeus Alexandrinus, terra volveretur, saltem revolutione cotidiana, oporteret accidere contraria supradictis. Etenim concitatissimum esse motum oporteret, ас celeritatem eius insuperabilem, quae in XXIIII. horis totum terrae transmitteret ambitum. Quae vero repentina vertigine concitantur, videntur ad collectionem prorsus inepta, magisque unita dispergi, nisi cohaerentia aliqua firmitate contineantur: et iam dudum, inquit, dissipata terra caelum ipsum (quod admodum ridi
culum culum est) excidisset, et eo magis animantia atque alia quaecunque soluta onera haudquaquam inconcussa manerent. Sed neque cadentia in directum subirent ad destinatum sibi locum, et ad perpendiculum, tanta interim pernicitate subductum. Nubes quoque et quaeque alia in aere pendentia semper in occasum ferri videremus.

Solutio dictarum rationum, et earum insufficientia. Cap. VIII.

His sane et similibus causis aiunt terram in medio mundi quiescere, et proculdubio sic se habere. Verum si quispiam volvi terram opinetur, dicet utique motum esse naturalem, non violentum. Quae vero secundum naturam sunt, contrarios operantur effectus his quae secundum violentiam. Quibus enim vis vel impetus infertur, dissolvi necesse est, et diu subsistere nequeunt: quae vero a natura fiunt, recte se habent, et conservantur in optima sua compositione. Frustra ergo timet Ptolemaeus, ne terra dissipetur, et terrestria omnia in revolutione facta per efficaciam naturae, quae longe alia est quam artis, vel quae assequi possit humano ingenio. Sed cur non illud etiam magis de mundo suspicatur, cuius tanto velociorem esse motum oportet, quanto maius est caelum terra? An ideo immensum factum est caelum, quod ineffabili motus vehementia dirimitur a medio, collapsurum alioqui si staret? Certe si locum haberet haec ratio, magnitudo quoque caeli abibit in infinitum. Nam quanto magis ipse motus impetu rapietur in sublime, tanto velocior erit motus, ob crescentem semper circumferentiam, quam necesse sit in XXIIII. horarum spacio pertransire: ac vicissim crescente motu, cresceret immensitas caeli. Ita velocitas magnitudinem, et magnitudo velocitatem in infinitum sese promoverent. At iuxta illud axioma Physicum, quod infinitum est, pertransiri nequit, nec ulla ratione moveri: stabit necessario caelum. Sed dicunt, extra caelum non esse corpus, non locum, non vacuum, ac prorsus nihil, et idcirco non esse, quo possit evadere caelum: tunc sane mirum est, si a nihilo potest cohiberi aliquid. At si caelum fuerit infinitum, et interiori tantummodo finitum concavitate, magis forsitan verificabitur extra caelum esse nihil, cum unum
quodque quodque fuerit in ipso, quamcunque occupaverit magnitudinem, sed permanebit caelum immobile. Nam potissimum, quo astruere nituntur mundum esse finitum, est motus. Sive igitur finitus sit mundus, sive infinitus, disputationi physiologorum dimittamus: hoc certum habentes, quod terra verticibus conclusa superficie globosa terminatur. Cur ergo haesitamus adhuc, mobilitatem illi formae suae a natura congruentem concedere, magis quam quod totus labatur mundus, cuius finis ignoratur, scirique nequit, neque fateamur ipsius cotidianae revolutionis in caelo apparentiam esse, et in terra veritatem? Et haec perinde se habere, ас si diceret Virgilianus Aeneas: Provehimur portu, terraeque urbesque recedunt. Quoniam fluitante sub tranquillitate navigio, cuncta quae extrinsecus sunt, ad motus illius imaginem moveri cernuntur a navigantibus, ac vicissim se quiescere putant cum omnibus quae secum sunt. Ita nimirum in motu terrae potest contingere, ut totus circuire mundus existimetur. Quid ergo diceremus de nubibus, caeterisque quomodolibet in aere pendentibus, vel subsidentibus, ac rursum tendentibus in sublimia? nisi quod non solum terra cum aqueo elemento sibi coniuncto sic moveatur, sed non modica quoque pars aeris, et quaecunque eodem modo terrae cognationem habent. Sive quod propinquus aer terrea aqueave materia permixtus, eandem sequatur naturam quam terra, sive quod acquisiticius sit motus aeris, quem a terra per contiguitatem perpetua revolutione ac absque resistentia participat. Vicissim non dispari admiratione supremam aeris regionem motum sequi caelestem aiunt, quod repentina illa sydera, Cometae inquam et Pogoniae vocata a Graecis, indicant, quarum generationi ipsum deputant locum, quae instar aliorum quoque syderum oriuntur et occidunt. Nos ob magnam terrae distantiam eam aeris partem ab illo terrestri motu destitutam dicere possumus. Proinde tranquillus apparebit aer, qui terrae proximus, et in ipso suspensa, nisi vento, vel alio quovis impetu ultro citroque, ut contingit, agitetur agitentur. Quid enim est aliud ventus in aere, quam fluctus in mari? Cadentium vero et ascendentium duplicem esse motum fateamur oportet mundi comparatione, et omnino compositum ex recto et circulari. Quandoquidem quae pondere suo deprimuntur, cum sint maxime terrea, non dubium, quin eandem servent partes naturam, quam suum totum. Nec alia ratione contingit in iis, quae ignea vi rapiuntur in sublimia. Nam et terrestris hic ignis terrena potissimum materia alitur, et flammam non aliud esse definiunt quam fumum ardentem. Est autem ignis proprietas, extendere quae invaserit, quod efficit tanta vi, ut nulla ratione, nullis machinis possit cohiberi, quin rupto carcere suum expleat opus. Motus autem extensivus est a centro ad circumferentiam, ac perinde si quid ex terrenis partibus accensum fuerit, fertur a medio in sublime. Igitur quod aiunt, simplicis corporis esse motum simplicem (de circulari in primis verificatur) quamdiu corpus simplex in loco suo naturali, ac unitate sua permanserit. In loco siquidem non alius quam circularis est motus, qui manet in se totus quiescenti similis. Rectus autem supervenit iis, quae a loco suo naturali peregrinantur, vel extruduntur, vel quomodolibet extra ipsum sunt. Nihil autem ordinationi totius et formae mundi tantum repugnat, quantum extra locum suum esse. Rectus ergo motus non accidit, nisi rebus non recte se habentibus, neque perfectis secundum naturam, dum separantur a suo toto, et eius deserunt unitatem. Praeterea quae sursum et deorsum aguntur, etiam absque circulari, non faciunt motum simplicem uniformem et aequalem. Levitate enim vel sui ponderis impetu nequeunt temperari. Et quaecunque decidunt, a principio lentum facientia motum, velocitatem augent cadendo. Ubi vicissim ignem hunc terrenum (neque enim alium videmus) raptum in sublime statim languescere cernimus, tanquam confessa causa violentiae terrestris materiae. Circularis autem aequaliter semper volvitur: indeficientem enim causam habet: illa vero desinere festinantem, per quem consecuta locum suum cessant esse gravia vel levia, cessatque ille motus. Cum ergo motus circularis sit universorum, partium vero etiam rectus, dicere possumus manere cum recto circularem, sicut cum aegro animal. Nempe et hoc, quod Aristoteles in tria genera distribuit motum simplicem, а medio, ad medium, et circa medium, rationis solummodo actus putabitur, quemadmodum lineam, punctum, et superficiem secernimus quidem, cum tamen unum sine alio subsistere nequeat, et nullum eorum
sine sine corpore. His etiam accedit, quod nobilior, ac divinior conditio immobilitatis existimatur, quam mutationis et instabilitatis, quae terrae magis ob hoc quam mundo conveniat. Addo etiam, quod satis absurdum videretur, continenti sive locanti motum adscribi, et non potius contento et locato, quod est terra. Cum denique manifestum sit errantia sydera propinquiora fieri terrae ac remotiora, erit tum etiam qui circa medium, quod volunt esse centrum terrae, a medio quoque ad ipsum, unius corporis motus. Oportet igitur motum, qui circa medium est, generalius accipere, ac satis esse, dum unusquisque motus sui ipsius medio incumbat. Vides ergo quod ex his omnibus probabilior sit mobilitas terrae, quam eius quies, praesertim in cotidiana revolutione, tanquam terrae maxime propria.

An terrae plures possint attribui motus, et de centro mundi. Cap. IX.

Cum igitur nihil prohibeat mobilitatem terrae, videndum nunc arbitror, an etiam plures illi motus conveniant, ut possit una errantium syderum existimari. Quod enim omnium revolutionum centrum non sit, motus errantium inaequalis apparens, et variabiles eorum a terra distantiae declarant, quae in homocentro terrae circulo non possunt intelligi. Pluribus ergo existentibus centris, de centro quoque mundi non temere quis dubitabit, an videlicet fuerit istud gravitatis terrenae, an aliud. Equidem existimo, gravitatem non aliud esse, quam appetentiam quandam naturalem partibus inditam a divina providentia opificis universorum, ut in unitatem integritatemque suam sese conferant in formam globi coeuntes. Quam affectionem credibile est etiam Soli, Lunae, caeterisque errantium fulgoribus inesse, ut eius efficacia in ea qua se repraesentant rotunditate permaneant, quae nihilominus multis modis suos efficiunt circuitus. Si igitur et terra faciat alios, utputa secundum centrum, necesse erit eos esse qui similiter extrinsecus in multis apparent, in quibus invenimus annuum circuitum. Quoniam si permutatus fuerit a solari in terrestrem, Soli immobilitate con
cessa, cessa, ortus et occasus signorum ac stellarum fixarum, quibus matutinae vespertinaeque fiunt, eodem modo apparebunt: errantium quoque stationes, retrogradationes atque progressus non illorum, sed telluris esse motus videbitur, quem illa suis mutuant apparentiis. Ipse denique Sol medium mundi putabitur possidere, quae omnia ratio ordinis, quo illa sibi invicem succedunt, et mundi totius harmonia nos docet, si modo rem ipsam ambobus (ut aiunt) oculis inspiciamus.

De ordine caelestium orbium. Cap. X.

Altissimum visibilium omnium, caelum fixarum stellarum esse, neminem video dubitare. Errantium vero seriem penes revolutionum suarum magnitudinem accipere voluisse priscos Philosophos videmus, assumpta ratione, quod aequali celeritate delatorum quae longius distant, tardius ferri videntur, ut apud Euclidem in Opticis demonstratur. Ideoque Lunam brevissimo temporis spacio circuire existimant, quod proxima terrae minimo circulo volvatur. Supremum vero Saturnum, qui plurimo tempore maximum ambitum circuit. Sub eo Iovem. Post hunc Martem. De Venere vero atque Mercurio diversae reperiuntur sententiae, eo quod non omnifariam elongantur a Sole, ut illi. Quamobrem alii supra Solem eos collocant, ut Platonis Timaeus, alii sub ipso, ut Ptolemaeus, et bona pars recentiorum. Alpetragius superiorem Sole Venerem facit, et inferiorem Mercurium. Igitur qui Platonem sequuntur, cum existiment omnes stellas, obscura alioqui corpora, lumine solari concepto resplendere, si sub Sole essent, ob non multam ab eo divulsionem, dimidia, aut certe a rotunditate deficientes cernerentur. Nam lumen sursum ferme, hoc est versus Solem referrent acceptum, ut in nova Luna vel desinente videmus. Oportere autem aiunt, obiectu eorum, quandoque Solem impediri, et pro eorum magnitudine, lumen illius deficere: quod cum nunquam appareat, nullatenus Solem eos subire putant. Contra vero, qui sub sole Venerem et Mercurium ponunt, ex amplitudine spacii, quod inter Solem et Lunam comperiunt, vendicant ra
tionem. tionem. Maximam enim Lunae a terra distantiam, partium sexaginta quatuor, et sextantis unius, qualium quae ex centro terrae est una, invenerunt decies octies fere usque ad minimum Solis intervallum contineri, et illarum esse partium MCLX. Inter ipsum ergo et Lunam MXCVI. Proinde ne tanta vastitas remaneret inanis, ex absidum intervallis, quibus crassitudinem illorum orbium ratiocinantur, comperiunt eosdem proxime complere numeros, ut altissimae Lunae succedat infimum Mercurii, cuius summum proxima Venus sequatur, quae demum summa abside sua ad infimum Solis quasi pertingat. Etenim inter absides Mercurii praefatarum partium CLXXVII. s. fere supputant, deinde reliquum Veneris intervallo partium DCCCCX. proxime compleri spacium. Non ergo fatemur in stellis opacitatem esse aliquam lunari similem, sed vel proprio lumine, vel Solari totis imbutas corporibus fulgere, et idcirco Solem non impediri, quod sit eventu rarissimum, ut aspectui Solis interponantur, latitudine plerunque cedentes. Praeterea quod parva sint corpora comparatione Solis, cum Venus etiam Mercurio maior existens vix centesimam Solis partem obtegere potest, ut vult Machometus Arecensis, qui decuplo maiorem existimat Solis dimetientem. Et ideo non facile videri tantillam sub praestantissimo lumine maculam. Quamvis et Averroes in Ptolemaica paraphrasi, nigricans quiddam se vidisse meminit, quando Solis et Mercurii copulam numeris inveniebat expositam: et ita decernunt haec duo sydera sub solari circulo moveri. Sed haec quoque ratio quam infirma sit et incerta, ex eo manifestum, quod cum XXXVIII. sint eius quae a centro terrae ad superficiem usque ad proximam Lunam, secundum Ptolemaeum: sed secundum veriorem aestimationem plus quam LII. (ut infra patebit). nihil tamen aliud in tanto spacio novimus contineri quam aerem, et si placet etiam, quod igneum vocant elementum. Insuper quod dimetientem circuli Veneris, per quem a Sole hinc inde XLV. partibus plus minusve digreditur, sextuplo maiorem esse oportet, quam quae ex centro terrae ad infimam illius absidem, ut suo demonstrabitur loco. Quid ergo dicent, in toto eo spacio contineri, tanto maiori quam quod terram, aerem, aethera, Lunam, atque Mercurium caperet, et praeterea quod
ingens ingens ille Veneris epicyclus occuparet, si circa terram quietam volveretur? Illa quoque Ptolemaei argumentatio, quod oportuerit medium ferri Solem, inter omnifariam digredientes ab ipso, et non digredientes, quam sit impersuasibilis ex eo patet, quod Luna omnifariam et ipsa digrediens prodit eius falsitatem. Quam vero causam allegabunt ii, qui sub Sole Venerem, deinde Mercurium ponunt, vel alio ordine separant, quod non itidem separatos faciunt circuitus, et a Sole diversos, ut caeteri errantium, si modo velocitatis tarditatisque ratio non fallit ordinem? Oportebit igitur, vel terram non esse centrum, ad quod ordo syderum orbiumque referatur: aut certe rationem ordinis non esse, nec apparere cur magis Saturno quam Iovi seu alii cuivis superior debeatur locus. Quapropter minime contemnendum arbitror, quod Martianus Capella, qui Encyclopaediam scripsit, et quidem alii Latinorum percalluerunt. Existimant enim, quod Venus et Mercurius circumcurrant Solem in medio existentem, et eam ob causam ab illo non ulterius digredi putant, quam suorum convexitas orbium patiatur, quoniam terram non ambiunt ut caeteri, sed absidas conversas habent. Quid ergo aliud volunt significare, quam circa Solem esse centrum illorum orbium? Ita prefecto Mercurialis orbis intra Venereum, quem duplo et amplius maiorem esse convenit, claudetur, obtinebitque locum in ipsa amplitudine sibi sufficientem. Hinc sumpta occasione si quis Saturnum quoque, Iovem et Martem ad illud ipsum centrum conferat, dummodo magnitudinem illorum orbium tantam intelligat, quae cum illis etiam immanentem contineat, ambiatque terram, non errabit, quod Canonica illorum motuum ratio declarat. Constat enim propinquiores esse terrae semper circa vespertinum exortum, hoc est, quando Soli opponuntur, mediante inter illos et Solem terra: remotissimos autem a terra in occasu vespertino, quando circa Solem occultantur, dum videlicet inter eos atque terram Solem habemus. Quae satis indicant, centrum illorum ad Solem magis pertinere, et idem esse ad quod etiam Venus et Mercurius suas obvolutiones conferunt. At vero omnibus his uni medio innixis, necesse est id quod inter convexum orbem Veneris et concavum Martis relinquitur spacium, orbem quoque
sive sive sphaeram discerni cum illis homocentrum secundum utranque superficiem, quae terram cum pedissequa eius Luna, et quicquid sub lunari globo continetur, recipiat. Nullatenus enim separare possumus a terra Lunam citra controversiam illi proximam existentem, praesertim cum in eo spacio convenientem satis et abundantem illi locum reperiamus. Proinde non pudet nos fateri hoc totum, quod Luna praecingit, ac centrum terrae per orbem illum magnum inter caeteras errantes stellas annua revolutione circa Solem transire, et circa ipsum esse centrum mundi: quo etiam Sole immobili permanente, quicquid de motu Solis apparet, hoc potius in mobilitate terrae verificari: tantam vero esse mundi magnitudinem, ut cum illa terrae a Sole distantia, ad quoslibet alios orbes errantium syderum magnitudinem habeat, pro ratione illarum amplitudinum satis evidentem, ad non errantium stellarum sphaeram collata, non quae appareat: quod facilius concedendum puto, quam in infinitam pene orbium multitudinem distrahi intellectum: quod coacti sunt facere, qui terram in medio mundi detinuerunt. Sed naturae sagacitas magis sequenda est, quae sicut maxime cavit superfluum quiddam, vel inutile produxisse, ita potius unam saepe rem multis ditavit effectibus. Quae omnia cum difficilia sint, ac pene inopinabilia, nempe contra multorum sententiam, in processu tamen favente Deo, ipso Sole clariora faciemus, Mathematicam saltem artem non ignorantibus. Quapropter prima ratione salva manente, nemo enim convenientiorem allegabit, quam ut magnitudinem orbium multitudo temporis metiatur. Ordo sphaerarum sequitur in hunc modum, a summo capiens initium.

Prima et suprema omnium, est stellarum fixarum sphaera, se ipsam et omnia continens: ideoque immobilis. nempe universi locus, ad quem motus et positio caeterorum omnium syderum conferatur. Nam quod aliquo modo illam etiam mutari existimant aliqui: nos aliam, cur ita appareat, in deductione motus terrestris assignabimus causam. Sequitur errantium primus Saturnus, qui XXX. anno suum complet circuitum. Post hunc Iupiter duodecennali revolutione mobilis. Deinde Mars, qui biennio circuit. Quartum in ordine annua revolutio locum obti
net, net, in quo terram cum orbe lunari tanquam epicyclo contineri diximus. Quinto loco Venus nono mense reducitur. Sextum denique locum Mercurius tenet, octuaginta dierum spacio circumcurrens. In medio vero omnium residet Sol. Quis enim in hoc

Coppernicus 002.svg

pulcherrimo templo lampadem hanc in alio vel meliori loco poneret, quam unde totum simul possit illuminare? Siquidem non inepte quidam lucernam mundi, alii mentem, alii rectorem vocant. Trimegistus visibilem Deum, Sophoclis Electra intuentem omnia. Ita profecto tanquam in solio regali Sol residens circum agentem gubernat Astrorum familiam. Tellus quoque minime fraudatur lunari ministerio, sed ut Aristoteles de animalibus ait, maximam Luna cum terra cognationem habet. Concipit interea a Sole terra, et impregnatur annuo partu. Invenimus igitur sub hac ordinatione admirandam mundi symmetriam, ac certum harmoniae nexum motus et magnitudinis orbium: qualis alio modo reperiri non potest. Hic enim licet animadvertere, non segniter contemplanti, cur maior in Iove progressus et regressus appareat, quam in Saturno, et minor quam in Marte: ас rursus maior in Venere quam in Mercurio. Quodque frequentior appareat in Saturno talis reciprocatio, quam in Iove: rarior adhuc in Marte, et in Venere, quam in Mercurio. Praeterea quod Saturnus, Iupiter, et Mars acronycti propinquiores sint terrae, quam circa eorum occultationem et apparitionem. Maxime vero Mars pernox factus magnitudine Iovem aequare videtur, colore duntaxat rutilo discretus: illic autem vix inter secundae magnitudinis stellas invenitur, sedula observatione sectantibus cognitus. Quae omnia ex eadem causa procedunt, quae in telluris est motu. Quod autem nihil eorum apparet in fixis, immensam illorum arguit celsitudinem, quae faciat etiam annui motus orbem sive eius imaginem ab oculis evanescere. Quoniam omne visibile longitudinem distantiae habet aliquam, ultra quam non amplius spectatur, ut demonstratur in Opticis. Quod enim a supremo errantium Saturno ad fixarum sphaeram adhuc plurimum intersit, scintillantia illorum lumina demonstrant. Quo indicio maxime discernuntur a planetis, quodque inter mota et non mota, maximam oportebat esse differentiam. Tanta nimirum est divina haec Opt[imi]. Max[imi]. fabrica.

De triplici motu telluris demonstratio. Cap. XI.

Cum igitur mobilitati terrenae tot tantaque errantium syderum consentiant testimonia, iam ipsum motum in summa exponemus, quatenus apparentia per ipsum tanquam hypotesim demonstrentur, quem triplicem omnino oportet admittere. Primum quem diximus νυχθημέρινον a Graecis vocari, diei noctisque circuitum proprium, circa axem telluris ab occasu in ortum vergentem, prout in diversum mundus ferri putatur, aequinoctialem circulum describendo, quem nonnulli aequidialem dicunt, imitantes significationem Graeco
rum, rum, apud quos ἰσημέρινος vocatur. Secundus est motus centri annuus, qui circulum signorum describit circum Solem ab occasu similiter in ortum, id est, in consequentia procurrens, inter Venerem et Martem, ut diximus, cum sibi incumbentibus. Quo fit ut ipse Sol simili motu zodiacum pertransire videatur: Quemadmodum verbi gratia, Capricornum centro terrae permeante, Sol Cancrum videatur pertransire, ex Aquario Leonem, et sic deinceps, ut diximus. Ad hunc circulum, qui per medium signorum est, et eius superficiem, oportet intelligi aequinoctialem circulum, et axem terrae convertibilem habere inclinationem. Quoniam si fixa manerent, et nonnisi centri motum simpliciter sequerentur, nulla appareret dierum et noctium inaequalitas, sed semper vel solstitium, vel bruma, vel aequinoctium, vel aestas, vel hyems, vel utcunque eadem temporis qualitas maneret sui similis. Sequitur ergo tertius declinationis motus annua quoque revolutione, sed in praecedentia, hoc est, contra motum centri reflectens. Sicque ambobus invicem aequalibus fere et obviis mutuo, evenit: ut axis terrae, et in ipso maximus parallelorum aequinoctialis in eandem fere mundi partem spectent, perinde ac si immobiles permanerent, Sol interim moveri cernitur per obliquitatem signiferi, eo motu quo centrum terrae: nec aliter quam si ipsum esset centrum mundi, dummodo memineris Solis et terrae distantiam visus nostros iam excessisse in stellarum fixarum sphaera. Quae cum talia sint, quae oculis subiici magis quam dici desiderant, describamus circulum ABCD, quem repraesentaverit annuus centri terrae circuitus in superficie signiferi, et sit E circa centrum eius Sol. Quem quidem circulum secabo quadrifariam subtensis diametris AEC, et BED. Punctum A teneat Cancri principium, B Librae, C Capricorni, D Arietis. Assumamus autem centrum terrae primum in A, super quo designabo terrestrem aequinoctialem FGHI, sed non in eodem plano, nisi quod GAI dimetiens, sit circulorum sectio communis, aequinoctialis inquam, et signiferi. Ducto quoque diametro FAH, ad rectos angulos ipsi GAI, sit F maximae declinationis limes in Austrum, H vero in Boream. His sane sic propositis, Solem circa E centrum videbunt terrestres sub Capricorno brumalem conversionem facientem, quam maxima declinatio Borea H ad Solem conversa efficit. Quoniam declivitas aequinoctialis ad AE lineam per revolutionem diurnam detornat sibi tropicum hyemalem parallelum secundum distantiam, quam sub EAH angulus inclinationis compraehendit. Proficiscatur modo centrum terrae in consequentia, ac tantundem F maximae declinationis terminus, in praecedentia: donec utrique in E peregerint quadrantes circulorum. Manet interim EAI angulus

Coppernicus 003.svg

semper aequalis ipsi AEB, propter aequalitatem revolutionum, et dimetientes semper ad invicem FAH ad FBH, et GAI ad GBI, aequinoctialisque aequinoctiali parallelus. Quae propter causam iam saepe dictam apparent eadem in immensitate caeli. Igitur ex B Librae principio, E sub Ariete apparebit, concidetque sectio circulorum communis in unam lineam GBIE, ad quam diurna revolutio nullam admittet declinationem, sed omnis declinatio erit a lateribus. Itaque Sol in aequinoctio verno videbitur. Pergat centrum terrae cum assumptis conditionibus, et per acto in C semicirculo, apparebit Sol Cancrum ingredi. At F austrina aequinoctialis circuli declinatio ad Solem conversa, faciet illum Boreum videri aestivum, tropicum percurrentem pro ratione anguli ECF inclinationis. Rursus avertente se F ad tertium circuli quadrantem, sectio communis GI in lineam ED cadet denuo, unde Sol in Libra spectatus, videbitur Autumni aequinoctium confecisse. Ac deinceps eodem processu HF paulatim ad Solem se convertens, redire faciet ea quae in principio unde digredi

Coppernicus 004.svg

coepimus: Aliter. Sit itidem in subiecto plano AEC dimetiens, et sectio communis circuli erecti ad ipsum planum. In quo circa A et C, hoc est sub Cancro et Capricorno designetur per vices circulus terrae per polos, qui sit DGFI, et axis terrae sit DF: Boreus polus D, Austrinus F, et GI dimetiens circuli aequinoctialis. Quando igitur F ad Solem se convertit, qui sit circa E, atque aequinoctialis circuli inclinatio borea secundum angulum, qui sub IAE, tunc motus circa axem describet parallelum aequinoctiali Austrinum secundum dimetientem KL, et distantiam LI tropicum Capricorni in Sole apparentem. Sive ut rectius dicam: Motus ille circa axem ad visum AE superficiem insumit conicam, in centro terrae habentem fastigium, basim vero circulum aequinoctiali parallelum, in opposito quoque signo C omnia pari modo eveniunt, sed conversa. Patet igitur quomodo occurrentes invicem bini motus, centri inquam, et inclinationis, cogunt axem terrae in eodem libramento manere, ac positione consimili, et apparere omnia, quasi sint solares motus. Dicebamus autem centri et declinationis annuas revolutiones propemodum esse aequales, quoniam si ad amussim id esset, oporteret aequinoctialia, solstitialiaque puncta, ac totam signiferi obliquitatem sub stellarum fixarum sphaera, haud quaquam permutari: sed cum modica sit differentia, non nisi cum tempore grandescens patefacta est: a Ptolemaeo quidem ad nos usque partium prope XXI. quibus illa iam anticipant. Quam ob causam crediderunt aliqui, stellarum quoque fixarum sphaeram moveri, quibus idcirco nona sphaera superior placuit, quae dum non sufficeret, nunc recentiores decimam superaddunt, nedum tamen finem assecuti, quem speramus ex motu terrae nos consecuturos. Quo tanquam principio et hypothesi utemur in demonstrationibus aliorum.

De magnitudine rectarum in circulo linearum. Cap. XII.

Quoniam demonstrationes, quibus in toto ferme opere utemur, in rectis lineis et circumferentiis, in planis convexisque triangulis versantur, de quibus etsi multa iam pateant in Euclideis elementis, non tamen habent, quod hic maxime quaeritur, quomodo ex angulis latera, et ex lateribus anguli possint accipi. Quoniam angulus subtensam lineam rectam non metitur: sicut nec ipsa angulum, sed circumferentia. Quo circa inventus est modus, per quem lineae subtensae cuilibet circumferentiae cognoscantur, quarum adminiculo ipsam circumferentiam angulo respondentem, ac viceversa per circumferentiam rectam lineam, quae angulum subtendit licet accipere. Quapropter non alienum esse videtur, si de hisce lineis tractaverimus. De lateribus quoque et angulis tam planorum quam etiam sphaericorum triangulorum, quae Ptolemaeus sparsim ac per exempla tradidit, quatenus hoc loco semel absolvantur, ac deinde quae tradituri sumus fiant apertiora. Circulum autem communi Mathematicorum consensu in CCCLX. partes distribuimus. Dimetientem vero CXX. partibus asciscebant prisci. At posteriores, ut scrupulorum evitarent involutionem in multiplicationibus et divisionibus numerorum circa ipsas lineas, quae ut plurimum incommensurabiles sunt longitudine, saepius etiam potentia, alii duodecies centena milia, alii vigesies, alii aliter rationalem constituerunt diametrum, ab eo tempore quo indicae numerorum figurae sunt usu receptae. Qui quidem numerus quemcunque alium, sive Graecum, sive Latinum singulari qua dam promptitudine superat, et omni generi supputationum aptissimae sese accommodat. Nos quoque eam ob causam accepimus diametri 200000 partes tanquam sufficientes, quae possint errorem excludere patentem. Quae enim se non habent sicut numerus ad numerum, in his proximum assequi satis est. Hoc autem sex Theorematis explicabimus, et uno problemate, Ptolemaeum fere secuti.

Theorema primum.

Dato circuli diametro, latera quoque trigoni, tetragoni, hexagoni, pentagoni, et decagoni dari, quae idem circulus circumscribit. Quoniam quae ex centro, dimidia diametri aequalis est lateri hexagoni. Trianguli vero latus triplum, quadrati duplum potest eo quod ab hexagoni latere sit quadratum, prout apud Euclidem in elementis demonstrata sunt. Dantur ergo longitudine hexagoni latus partium 100000. tetragoni partium 141422. trigoni partium 173205. Sit autem latus hexagoni AB, quod per XI. secundi, sive XXX. sexti Euclidis, media et extrema ratione fecetur in C signo, et maius segmentum sit CB, cui aequalis [img] apponat BD. Erit igitur et tota ABD extrema et media ratione dissecta, et minus segmentum apposita, decagoni latus inscripti circulo, cui AB fuerit hexagoni latus. quod ex quinta et nona XIII. Euclidis libri sit manifestum. Ipsa vero BD dabitur hoc modo fecetur AB bifariam in E: Patet per tertiam eiusdem libri Euclidis, quod EBD quintuplum potest eius quod ex EB. Sed EB datur longitudine partium 50000. a qua datur potentia quintuplum, et ipsa EBD longitudine partium 111803. quibus si 50000 auferantur ipsius EB, remanet BD partium 61803 latus decagoni quaesitum. Latus quoque pentagoni, quod potest hexagoni latus simul et decagoni datur partium 117557. Dato ergo circuli diametro, dantur latera trigoni, tetragoni, pentagoni, hexagoni, et decagoni eidem circulo inscriptibilium, quod erat demonstrandum.

Porisma.

Proinde manifestum est, quod cum alicuius circumferentiae subtensa fuerit data, illam quoque dari, quae reliquam de se micirculo subtendit. Quoniam in semicirculo angulus rectus est. In rectangulis autem triangulis, quod a subtensa recto angulo sit quadratum, hoc est diametri, aequale est quadratis factis a lateribus angulum rectum compraehendentibus. Quoniam igitur decagoni latus, quod XXXVI. partes circumferentiae subtendit, demonstratum est partium 61803. quarum dimetiens est 200000. Datur etiam quae reliquas semicirculi CXLIIII. partes subtendit illarum partium 190211. Et per latus pentagoni, quod 117557, partibus diametri LXXII. partium subtendit differentiam, datur recta linea, quae reliquas semicirculi CVIII. partes subtendit partium 161803.

Theorema secundum.

Si quadrilaterum circulo inscriptum fuerit, rectangulum sub diagoniis compraehensum, aequale est eis, quae sub lateribus oppositis continentur. Esto enim quadrilaterum inscriptum circulo ABCD, aio, quod sub AC et DB diagoniis continetur, aequale [img]est eis quae sub AB, CD, et sub AD, BC. Faciamus enim angulum ABE, aequalem ei qui sub CBD. Erit ergo totus ABD angulus, toti EBC aequalis, assumpto EBD, utrique communi. Anguli quoque sub ACB, et BDA sibi invicem sunt aequales in eodem circuli segmento, et idcirco bina triangula similia BCE, BDA, habebunt latera proportionalia, ut BC ad BD, sic ED ad AD, et quod sub EC et BD aequale est ei, quod sub BC et AD. Sed et triangula ABE et CBD similia sunt, eo quod anguli qui sub ABE, et CBD facti sunt aequales, et qui sub BAC, et BDC eandem circuli circumferentiam suspicientes sunt aequales. Fit rursum AB ad BD, sicut AE ad CD, et quod sub AB et CD aequale ei, quod sub AE et BD. Sed iam declaratum est, quod sub AD, BC tantum esse, quantum sub BD, et EC. Coniunctim igitur quod sub BD et AC aequale est eis, quae sub AD, BC, et sub AB, CD. Quod ostendisse fuerit oportunum.

Theorema tertium.

Ex his enim, si inaequalium circumferentiarum rectae subtensae fuerint datae in semicirculo, eius etiam quo maior minorem excedit, subtensa datur. Ut in semicirculo ABDC, et dimeti ente AD datae inaequalium circumferentiarum subtensae sint AB et AC. Volentibus nobis inquirere subtendentem BC, dantur ex supradictis reliquarum de semicirculo circumferentiarum subtensae BD et CD, quibus contingit in semicirculo quadrilaterum ABCD. [img]Cuius diagonii AC et BD dantur, cum tribus lateribus AB, AD, et CD, in quo sicut iam demonstratum est, quod sub AC et BD aequale est ei quod sub AB, CD, et quod sub AD et BC. Si ergo quod sub AB et CD auferatur ab eo quod sub AC, et BD, reliquum erit quod sub AD et BC. Itaque per AD divisorem quantum possibile est subtensa BC numeratur quaesita. Proinde cum ex superioribus data sint verbi gratia pentagoni et hexagoni latera, datur hac ratione subtendens gradus XII. quibus ille se excedunt, estque partium illarum dimitientis 20905.

Theorema quartum.
Data subtendente quamlibet circumferentiam, datur etiam subtendens dimidiam. Describamus circum ABC, cuius dimetiens sit AC, sitque BC circumferentia data cum sua subtensa, et ex centro F, linea EF fecet ad angulos rectos ipsam BC, quae idcirco [img]per tertiam tertii Euclidis secabit ipsam BC bifariam in F, et circumferentiam extensa in D, subtendantur etiam AB et BD. Quoniam igitur triangula ABC, et EFC rectangula sunt, et insuper angulum ECF habentes communem similia, ut ergo CF dimidium est ipsi BFC, sic EF ipsius AB dimidium, sed AB datur quae reliquam semicirculi circumferentiam subtendit, datur ergo et EF atque reliqua DF a dimidia diametro, quae compleatur et sit DEG, et coniungatur BG. In triangulo igitur BDG ab angulo B recto descendit perpendicularis ad basim ipsa BF. Quod igitur sub GDF, aequalis est ei quae ex BD. datur ergo BD longitudine, quae dimidiam BDC circumferentiam subtendit. Cumque iam data sit, quae gradus subtendit XII, datur etiam VI. gradibus subtensa partium 10467, et tribus gradibus partium 5235, et sesqui gradus 2618, et dodrantis partes 1309.
Theorema quintum.

Rursus cum datae fuerint duarum circumferentiarum subtensae, datur etiam quae totam ex iis compositam circumferentiam subtendit. Sint in circulo datae subtensae AB et BC, aio totius etiam ABC subtensam dari. Transmissis enim dimetientibus [img]AFD, et BFE subtendantur etiam rectae lineae BD et CE, quae ex praecedentibus dantur, propter AB et BC datas, et DE aequalis est ipsi AB. Connexa CD concludatur quadrangulum BCDE, cuius diagonii BD et CE cum tribus lateribus BC, DE, et BE dantur, reliquum etiam CD per secundum Theorema dabitur, ac perinde CA subtensa tanquam reliqua semicirculi subtensa datur totius circumferentiae ABC, quae quaerebatur. Porro cum hactenus repertae sint rectae lineae, quae tres, quae I.S. quae dodrantem unius subtendit: quibus intervallis possit aliquis canona exactissima ratione texere. Attamen si per gradus ascendere, et alium alii coniungere, vel per semisses, vel alio modo, de subtensis earum partium non immerito dubitabit. Quoniam graphicae rationes quibus demonstrarentur, nobis deficiunt. Nihil tamen prohibet per alium modum, citra errorem sensu notabilem, et assumpto numero minime dissentientem, id assequi. Quod et Ptolemaeus circa unius gradus et semissis subtensas, quaesivit, admonendo nos primum.

Theorema sextum.

Maiorem esse rationem circumferentiarum, quam rectarum subtensarum maioris ad minorem. Sint in circulo duae circumferentiae inaequales coniunctae, AB et BC, maior [img]autem BC. Aio maiorem esse rationem BC ad AB, quam subtensarum BC ad AB, quae compraehendant angulum B, qui bifariam dispescetur per lineam BD, et coniungantur AC, quae secet BD in E signo. Similiter et AD et CD, quae aequales sunt, propter aequales circumferentiae, quibus subtenduntur. Quoniam igitur trianguli ABC linea, quae per medium secat angulum, secat etiam AC in E, erunt basis segmenta EC ad AE, sicut BC ad AB, et quoniam maior est BC quam AB, maior etiam EC quam EA, agatur DF perpendicularis ipsi AC, quae secabit ipsam AC bifariam in F signo, quod necessarium est in EC maiori segmento inveniri. Et quoniam omnis trianguli, maior angulus a maiore latere subtenditur, in triangulo DEF datus DE maius est ipsi DF, et adhuc AD maius est ipi DE, quapropter D centro, intervallo autem DE, descripta circumferentia, AD secabit, et DF transibit. Secet igitur AD in H, et extendatur in rectam lineam DFI. Quoniam igitur sector EDI maior est triangulo EDF. Triangulum vero DEA maius DEH sectori. Triangulum igitur DEF, ad DEA triangulum, minorem habebit rationem quam DEI sector ad DEH sectorem. Atqui sectores circumferentiis sive angulis qui in centro: triangula vero quae sub eodem vertice basibus suis sunt proportionalia. Idcirco maior ratio angulorum EDF ad ADE, quam basium EF ad AE. Igitur et coniunctim angulus FDA, maior est ad ADE, quam AF ad AE: Ac eodem modo CDA ad ADE, quam AC ad AE. Ac divisim maior est etiam CDE ad EDA, quam CE ad EA. Sunt autem ipsi anguli CDE ad EDA, ut CB circumferentia ad AB circumferentiam. Basis autem CE ad AE, sicut CB subtensa ad AB subtensam. Est igitur ratio maior CB circumferentiae ad AB circumferentiam, quam BC subtensae ad AB subtensam, quod erat demonstrandum.

Problema.

At quoniam circumferentia rectae sibi subtensae semper maior existit, cum sit recta brevissima earum quae terminos habent eosdem. Ipsa tamen inaequalitas, a maioribus ad minores circuli sectiones ad aequalitatem tendit, ut tandem ad extremum [img]circuli contactum recta et ambiciosa simul exeant. Oportet igitur, ut ante illud absque manifesto discrimine invicem differant. Sit enim verbi gratia AB circumferentia gradus III. et AC gradus I.S. AB subtendens demonstrata est partium 5235. quarum dimetiens posita est 200000. et AC earundem partium 2618. Et cum dupla sit AB circumferentia ad AC, subtensa tamen AB minor est quam dupla ad subtensam AC, quae unam tantummodo particulam ipsis 2617 superaddit. Si vero capiamus AB gradum unum et semissem, ac dodrantem unius gradus, habebimus AB subtensam partium quidem 2618, et AC partium 1309, quae etsi maior esse debet dimidio ipsius AB subtensae, nihil tamen videtur differre a dimidio, sed eandem iam apparere rationem circumferentiarum rectarumque linearum. Cum ergo eousque nos pervenisse videmus: ubi rectae et ambitiosae differentia sensum prorsus evadit tanquam una linea factarum, non dubitamus ipsius dodrantis unius gradus 1309, aequa ratione ipsi gradui et reliquis partibus subtensas accommodare, ut tribus partibus adiecto quadrante constituamus unum gradum partium 1745, dimidium gradum partium 872½, atque trientis partis 582 proxime. Veruntamen satis arbitror, si semisses duntaxat linearum duplam circumferentiam subtendentium, assignemus in canone, quo compendio, sub quadrante compraehendemus, quod in semicirculum oportebat diffundi. Ac eo praesertim quod frequentiori usu veniunt in demonstrationem et calculum semisses ipsae, quam linearum asses. Exposuimus autem canonem auctum per sextantes graduum, tres ordines habentem. In primo sunt gradus sive partes circumferentiae et sextantes. Secundus continet numerum dimidiae lineae subtendentis duplam circumferentiam. Tertius habet differentiam ipsorum numerorum, quae singulis gradibus interiacet, e quibus licet proportionabiliter addere quod singulis congruit scrupulis graduum. Est ergo tabula haec.

Canon subtensarum in circulo rectarum linearum.
Circũ­feren­tiæ. Semisses dupl. cir­cũferen. Dif­feren­tiæ. Circũ­feren­tiæ. Semisses dupl. cir­cũferen. Dif­feren­tiæ.
ꝑt. sec. ꝑt. sec.
0
0
0
10
20
30
291
582
873
291

 
6

 
10
20
30
10742
11031
11320
289

 
0
0
1
40
50
0
1163
1454
1745


7
40
50
0
11609
11898
12187
1
1
1
10
20
30
2036
2327
2617
10
20
30
12476
12764
13053


288
1
1
2
40
50
0
2908
3199
3490


8
40
50
0
13341
13629
13917
10
20
30
3781
4071
4362
10
20
30
14205
14493
14781
2
2
3
40
50
0
4653
4943
5234
291
290
 


9
40
50
0
15069
15356
15643

287
 
3
3
3
10
20
30
5524
5814
6105
290

 
10
20
30
15931
16218
16505
3
3
4
40
50
0
6395
6685
6975


10
40
50
0
16792
17078
17365
4
4
4
10
20
30
7265
7555
7845
10
20
30
17651
17937
18223
268

 
4
4
5
40
50
0
8135
8425
8715


11
40
50
0
18509
18795
19081
10
20
30
9005
9295
9585
10
20
30
19366
19652
19937
285

 
5
5
6
40
50
0
9874
10164
10453
290
289
289


12
40
50
0
20222
20507
20791
Canon subtensarum in circulo rectarum linearum.
Circũ­feren­tiæ. Semiss. subtend dup. cir. Dif­feren­tiæ. Circũ­feren­tiæ. Semisses subtend. dup. cir. Dif­feren­tiæ.
ꝑt. sec. ꝑt. sec.
10
20
30
21076
12350
21644
284

 
10
20
30
31178
454
730
276
6
6


13
40
50
0
21928
22212
22495


283


19
40
50
0
32006
282
557
6
5
5
10
20
30
22778
23062
23344
10
20
30
832
33106
381
5
5
4


14
40
50
0
23627
23900
24192

282
 


20
40
50
0
655
929
34202
4
4
4
10
20
30
24474
24750
25038


281
10
20
30
415
748
35021
3
3
3


15
40
50
0
25319
25601
25882


21
40
50
0
293
562
832
2
2
2
10
20
30
26163
26443
26724

280
 
10
20
30
36108
379
650
1
1
1


16
40
50
0
17004
27284
27564


279


22
40
50
0
920
37190
460
0
0
270
10
20
30
27843
28122
28401
10
20
30
739
999
38268
269
9
9


17
40
50
0
28680
28959
29237

278
 


23
40
50
0
538
805
39073
8
8
8
10
20
30
29515
29793
30071


277
10
20
30
341
608
875
7
7
7


18
40
50
0
30348
30625
30902


24
40
50
0
40141
408
674
6
6
266
Canon subtensarum in circulo rectarum linearum.
Circũ­feren­tiæ. Semiss. subtend dup. cir. Dif­feren­tiæ. Circũ­feren­tiæ. Semisses subtend. dup. cir. Dif­feren­tiæ.
ꝑt. sec. ꝑt. sec.
10
20
30
40939
41204
469
265
5
5
10
20
30
50252
503
754
251
1
0


25
40
50
0
734
998
42262
4
4
4


31
40
50
0
51004
254
504
0
250
249
10
20
30
125
788
43351
3
3
3
10
20
30
753
52002
250
9
8
8


26
40
50
0
393
555
837
2
2
2


32
40
50
0
498
745
992
7
7
6
10
20
30
44098
359
620
1
1
0
10
20
30
53238
484
730
6
6
5


27
40
50
0
880
45140
399
0
260
259


33
40
50
0
975
54220
464
5
4
4
10
20
30
658
916
46175
9
8
8
10
20
30
708
951
55194
3
3
2


28
40
50
0
433
690
947
8
7
7


34
40
50
0
436
678
919
2
1
1
10
20
30
47204
460
716
6
6
5
10
20
30
56160
400
641
0
240
239


29
40
50
0
971
48226
481
5
5
4


35
40
50
0
880
57119
358
9
8
8
10
20
30
735
989
49242
4
3
3
10
20
30
596
833
58070
8
3
0


30
40
50
0
495
748
50000
2
2
252


36
40
50
0
307
543
779
7
3
9
Canon subtensarum in circulo rectarum linearum.
Circũ­feren­tiæ. Semiss. subtend dup. cir. Dif­feren­tiæ. Circũ­feren­tiæ. Semisses subtend. dup. cir. Dif­feren­tiæ.
ꝑt. sec. ꝑt. sec.
36

 
10
20
30
59014
248
482
235
4
4
42

 
10
20
30
67129
344
559
215
5
4


37
40
50
0
716
949
60181
3
3
2


43
40
50
0
773
987
68200
4
3
2
10
20
30
414
645
876
2
1
1
10
20
30
412
624
835
2
1
1


38
40
50
0
61177
377
566
0
230
229


44
40
50
0
69046
256
466
0
210
209
10
20
30
795
62024
251
9
9
8
10
20
30
675
883
70091
9
8
7


39
40
50
0
479
706
932
8
7
7


45
40
50
0
298
505
711
7
6
5
10
20
30
63158
383
608
6
6
5
10
20
30
916
71121
325
5
4
4


40
40
50
0
832
056
64279
5
3
3


46
40
50
0
529
732
934
3
2
2
10
20
30
201
423
945
2
2
1
10
20
30
72136
337
537
1
0
200


41
40
50
0
65166
386
606
0
220
219


47
40
50
0
737
937
73135
199
9
8
10
20
30
825
66044
262
219
8
8
10
20
30
333
531
728
7
7
6


42
40
50
0
480
697
913
7
7
6


48
40
50
0
924
74119
314
5
5
4
Canon subtensarum in circulo rectarum linearum.
Circũ­feren­tiæ. Semisses dupl. cir­cũ­feren­. Dif­feren­tiæ. Circũ­feren­tiæ. Semisses dupl. cir­cũ­feren­. Dif­feren­tiæ.
ꝑt. sec. ꝑt. sec.
48

10
20
30
508
702
896
4
4
4
10
20
30
81072
242
411
170
169
9


49
40
50
0
75088
280
471
2
1
0


55
40
50
0
580
748
915
8
7
7
10
20
30
661
851
76040
190
189
9
10
20
30
82082
248
413
6
5
4


50
40
50
0
299
417
604
8
7
7


56
40
50
0
577
471
904
4
3
2
10
20
30
791
977
77162
6
6
5
10
20
30
83066
228
389
2
1
160


51
40
50
0
347
531
715
4
4
3


57
40
50
0
549
708
867
159
9
8
10
20
30
897
78079
261
2
2
1
10
20
30
84025
182
339
7
7
6


52
40
50
0
442
622
801
0
180
179


58
40
50
0
495
650
805
5
5
4
10
20
30
980
79158
335
8
8
7
10
20
30
959
85112
264
3
2
2


53
40
50
0
512
688
864
6
6
5


59
40
50
0
415
566
717
1
0
150
10
20
30
80038
212
386
4
4
3
10
20
30
866
86015
136
149
8
7


54
40
50
0
558
730
902
2
2
1


60
40
50
0
310
457
602
7
6
5
Canon ſubtenſarum in circulo rectarum linearum.
Circũ­feren­tiæ. Semiſſ. ſubtend dup. cir. Dif­feren­tiæ. Circũ­feren­tiæ. Semiſſes ſubtend. dup. cir. Dif­feren­tiæ.
ꝑt. ſec. ꝑt. ſec.
10
20
30
747
892
87036
4
4
3
10
20
30
472
590
706
118
7
6


61
40
50
0
178
320
462
2
2
1


67
40
50
0
822
936
92050
5
4
3
10
20
30
603
743
882
140
139
9
10
20
30
164
276
388
3
2
1


62
40
50
0
88020
158
295
8
7
7


68
40
50
0
499
609
718
110
109
9
10
20
30
431
566
701
6
5
4
10
20
30
827
935
93042
8
7
6


63
40
50
0
835
968
89101
4
3
2


69
40
50
0
148
253
358
5
5
4
10
20
30
232
363
493
1
1
130
10
20
30
462
565
667
3
2
2


64
40
50
0
622
751
879
129
8
8


70
40
50
0
769
870
969
1
100
99
10
20
30
90006
133
258
7
6
6
10
20
30
94068
167
264
8
8
7


65
40
50
0
383
507
631
5
4
3


71
40
50
0
361
457
452
6
5
4
10
20
30
753
875
996
2
1
1
10
20
30
646
739
832
3
3
2


66
40
50
0
91116
235
354
120
119
8


72
40
50
0
924
95015
105
1
0
90
Canon ſubtenſarum in circulo rectarum linearum.
Circũ­feren­tiæ. Semiſſes dupl. cir­cũ­feren­. Dif­feren­tiæ. Circũ­feren­tiæ. Semiſſes dupl. cir­cũ­feren­. Dif­feren­tiæ.
ꝑt. ſec. ꝑt. ſec.
10
20
30
95195
284
372
89
8
7
10
20
30
97875
934
992
59
8
8


73
40
50
0
499
555
600
6
5
5


79
40
50
0
98050
107
163
7
6
5
10
20
30
715
799
882
4
3
2
10
20
30
218
272
325
4
4
3


74
40
50
0
964
96045
126
1
1
80


80
40
50
0
378
430
481
2
1
50
10
20
30
206
285
363
79
8
7
10
20
30
531
580
629
49
9
8


75
40
50
0
440
517
592
7
6
5


81
40
50
0
676
723
769
7
6
5
10
20
30
667
742
815
4
3
2
10
20
30
814
858
902
4
3
2


76
40
50
0
887
959
97030
2
1
70


82
40
50
0
944
986
99027
2
1
40
10
20
30
009
169
237
69
8
8
10
20
30
047
106
144
39
8
8


77
40
50
0
304
371
437
7
6
5


83
40
50
0
182
219
255
7
6
5
10
20
30
502
566
630
4
3
3
10
20
30
290
324
357
4
3
3


78
40
50
0
692
754
815
2
1
60


84
40
50
0
389
421
452
2
1
30
Canon ſubtenſarum in circulo rectarum linearum.
Circũ­feren­tiæ. semiſſes ſubtend. dup. cir. Dif­feren­tiæ. Circũ­feren­tiæ. Semiſſes ſubtend. dupl. circ. Dif­ferẽ­tiæ.
ꝑt. ſec. ꝑt. ſec.
10
20
30
90482
511
539
29
8
7
10
20
30
878
892
905
4
3
2


85
40
50
0
567
594
620
7
6
5


88
40
50
0
917
928
939
2
11
10
10
20
30
644
668
692
4
3
2
10
20
30
949
958
966
9
8
7


86
40
50
0
714
736
756
2
21
20


89
40
50
0
973
979
985
6
6
5
10
20
30
776
795
813
19
18
8
10
20
30
989
993
996
4
3
2


87
40
50
0
830
847
863
7
6
5


90
40
50
0
998
99999
100000
1
0
0


 


 
De lateribus et angulis triangulorum planorum rectilineorum. Cap. XIII.
I.

Trianguli datorum angulorum dantur latera. Sit inquam, triangulum ABC, cui per quintum problema quarti Euclidis circumscribatur circulus. Erunt [img]igitur et AB, BC, CA circumferentiae datae, eo modo, quo CCCLX. partes sunt duobus rectis aequales. Datis autem circumferentiis dantur etiam latera trianguli inscripti circulo tanquam subtensae, per expositum Canonem, in partibus, quibus dimetiens assumpta est 200000.

II.

Si vero cum aliquo angulorum duo trianguli latera fuerint data, et reliquum latus cum reliquis angulis cognoscetur. Aut enim latera data aequalia sunt, aut inaequalia. Sed angulus datus aut rectus est, aut acutus, vel obtusus. Ac rursus latera data datum [img]angulum vel compraehendunt, vel non compraehendunt. Sint ergo primum in triangulo ABC duo latera, AB et AC, data aequalia, quae angulum A datum compraehendunt. Caeteri igitur, qui ad basim BC cum sint aequales, etiam dantur, uti dimidia residui ipsius A, e duobus rectis. Et si qui circa basim angulus primitus fuerit datus, datur mox ipsi compar, atque ex his duorum rectorum reliquus. Sed datorum angulorum tri anguli dantur latera, datur et ipsa BC basis, ex Canone in partibus quibus AB vel AC tanque ex centro fuerit 100000. partium sive dimetiens 200000. partium.

III.

[img]Quod si angulus, qui sub BAC rectus fuerit datis compraehensus lateribus, idem eveniet. Quoniam liquidissimum est, quod quae ex AB et AC fiunt quadrata, aequalia sunt ei, quod a basi BC, datur ergo longitudine BC, et ipsa latera invicem ratione. Sed segmentum circuli quod orthogonum suscipit triangulum, semicirculus est, cuius BC basis dimetiens fuerit. Quibus igitur BC partibus fuerit 200000. dabuntur AB et AC, tanquam subtendentes reliquos angulos BC. Quos idcirco ratio Canonis patefacit in partibus, quibus CCCLX. sunt duobus rectis aequales. Idem eveniet, si BC fuerit datum cum altero rectum angulum compraehendentium, quod iam liquide constare arbitror.

IIII.

Sit iam datus, qui sub ABC angulus acutus, datis etiam compraehensus lateribus AB et BC, et ex A signo descendat perpendicularis ad BC productam si oportuerit, prout intra vel extra triangulum [img]cadat, quae sit AD, per quam discernuntur duo orthogonii ABD et ADC, et quoniam in ABD dantur anguli, nam D rectus et B per hypothesim. Dantur ergo AD et BD tanquam subtendentes angulos A et B in partibus, quibus AB est 200000. dimetiens circuli per canonem. Et eadem ratione, qua AB dabatur longitudine, dantur AD et BD similiter, datur etiam CD, qua BC et BD se invicem excedunt. Igitur et in triangulo rectangulo ADC datis lateribus AD et CD, datur latus quaesitum AC et angulus ACD per praecedentem demonstrationem.

V.

Nec aliter eveniet, si B angulus fuerit obtusus, quoniam ex A signo in BC extensam rectam lineam perpendicularis acta [img]AD, efficit triangulum ABD datorum angulorum. Nam ABD angulus exterior ipsi ABC datur, et D rectus, dantur ergo BD et AD in partibus, quibus AB fuerit 200000. Et quoniam BA et BC rationem habent invicem datam, datur ergo et AB earundem partium, quibus BD ac tota CBD. Idcirco et in triangulo rectangulo ADC, cum data sint duo latera AD et CD, datur etiam AC quaesitum, et angulus BAC cum reliquo ACB, qui quaerebatur.

VI.

Sit iam alterutrum datorum laterum subtendens angulum B
datum datum, quod sit AC cum AB, datur ergo per Canonem AC in partibus, quibus est dimetiens circuli circumscribentis triangulum ABC partium 200000. et pro ratione data ipsius AC, ad AB, datur in similibus partibus AB, atque per canonem, qui sub ACB angulus cum reliquo BAC angulo, per quem etiam CB subtensa datur, qua ratione data dantur quomodolibet magnitudine.

VII.

Datis omnibus trianguli lateribus dantur anguli. De Isopleuro notius est, quam ut indicetur, quod singuli eius anguli trientem obtineant duorum rectorum. In Isoscelibus quoque perspicuum est. Nam aequalia latera ad tertium sunt, sicut dimidia diametri ad subtendentem circumferentiam, per quem datur angulus aequalibus compraehensus lateribus ex Canone, quibus circa centrum CCCLX. sunt quatuor rectis aequales, deinde caeteri anguli qui ad basim, etiam dantur e duobus rectis tanquam dimidia. Super est ergo nunc et in Scalenis triangulis id demonstrari, quos similiter in orthogonios partiemur. Sit ergo triangulum scalenum datorum laterum ABC, et ad latus, quod [img]longissimum fuerit, utputa BC, descendat perpendicularis AD. Admonet autem nos XIII. secundi Euclidis, quod AB latus quod acutum subtendit angulum, minus sit potestate caeteris duobus lateribus, in eo quod sit sub BC et CD bis. Nam acutum angulum C esse oportet, eveniet alioqui et AB longissimum esse latus contra hypothesim, quod ex XVII. primi Euclidis et duabus sequentibus licet animadvertere. Dantur ergo BD et DC, et erunt orthogonia ABD et ADC datorum laterum et angulorum, ut iam saepius est repetitum, quibus etiam constant anguli trianguli ABC quaesiti. Aliter.

Itidem commodius forsitan penultima tertii Euclidis nobis exhibebit, si per brevius latus, quod sit BC, facto C centro, intervallo autem BC, descripserimus circulum, qui ambo latera quae supersunt, vel alterum eorum secabit. Secet modo utrumque AB in E signo, et AC in D, porrecta etiam linea ADC in F signum ad complendum diametrum DCF. His ita praestructis manifestum est ex illo Euclideo praecepto: Quoniam quod sub FAD aequale est ei, quod sub BAE, cum sit utrunque aequale quadrato lineae, quae ex A circulum contingit. Sed tota AF data est, cum sint omnia [img]ipsius segmenta data, nempe CF, CD, aequalia ipsi BC, quae sunt ex centro ad circumcurrentem, et AD qu CA ipsam CD excedit. Quapropter et quod sub BAE datum est, et ipsa AE longitudine cum reliqua BE subtendente circumferentiam BE. Connexa EC, habebimus triangulum BCE Isosceles datorum laterum. Datur ergo angulus EBC, hinc et in triangulo ABC, reliqui anguli C et A per praecedentia cognoscentur. Non secet autem circulus ipsam AB, ut in altera figura, ubi AB in convexam circumferentiam cadit, erit nihilo minus BE data, et in triangulo BCE Isoscele, angulus CBE datus, et exterior, qui sub ABC, ac eodem prorsus argumento demonstrationis quo prius dantur anguli reliqui. Et haec de triangulis rectilineis dicta sufficiant, in quibus magna pars Geodesiae consistit. Nunc ad Sphaerica convertamur.

De triangulis Sphaericis. Cap. XIIII.
Triangulum convexum hoc loco accipimus eum, qui tribus maximorum circulorum circumferentiis in superficie Sphaerica continetur. Angulorum vero differentiam et magnitudinem penes circumferentiam maximi circuli, qui in puncto sectionis tanquam polo describitur, quamque circumferentiam circulorum quadrantes angulum compraehendentes interceperunt. Nam qualis est circumferentia sic intercepta ad totam circumcurrentem, talis est angulus sectionis ad quatuor rectos, quos diximus CCCLX. partes aequales continere.
Si
I.

Si fuerint tres circumferentiae maximorum circulorum sphaerae, quarum duae quaelibet simul iunctae, tertia fuerint longiores, ex his triangulum componi posse sphaericum perspicuum est. Nam quod hic de circumferentiis proponitur, XXIII. undecimi libri Euclidis demonstrat de angulis, cum sit eadem ratio angulorum et circumferentiarum, et circuli maximi sunt qui per centrum sphaerae, patet quod tres illi circulorum sectores, quorum sunt circumferentiae, apud centrum sphaerae angulum constituunt solidum. Manifestum est ergo quod proponitur.

II.

Quamlibet circumferentiam trianguli hemicyclio minorem esse oportet. Hemicyclium enim nullum angulum circa centrum efficit, sed in lineam rectam procumbit. At reliqui duo anguli, quorum sunt circumferentiae, solidum in centro concludere nequeunt, proinde neque triangulum sphaericum. Et hanc fuisse caussam arbitror, cur Ptolemaeus in huiusce generis triangulorum explanatione, praesertim circa figuram sectoris sphaerici protestetur, ne assumptae circumferentiae semicirculo maiores existant.

III.

In triangulis sphaericis rectum habentibus angulum subtendens dup[l]um lateris, quod recto opponitur angulo, ad subtensam duplo alterius rectum angulum compraehendentium, est sicut dimetiens sphaerae, ad eam, quae duplum anguli sub reliquo et primo lateribus compraehensi in maximo sphaerae circulo subtendit.

[img]Esto nanque triangulum sphaericum ABC, cuius C angulus rectus existat. Dico quod subtensa dupli AB ad subtensam dupli BC, est sicut dimetiens Sphaerae, ad eam quae in maximo circulo duplum anguli BAC subtendit. Facto in A polo, describatur circumferentia maximi circuli DE, et compleantur quadrantes circulorum ABD et ACE. Et ex centro Sphaerae F agantur communes circulorum sectiones FA ipsorum ABD et ACE, ipsorum autem ACE et DE sit FE, atque FD ipsorum ABD et DE. Insuper et FC circulorum AC et BC. Deinde ad angulos rectos agantur BG ipsi FA, BI ipsi FC, et DK ipsi FE, et connectatur GI.

Quoniam igitur si circulus circulum per polos secat, ad angulos rectos ipsum secat, erit angulus qui sub AED compraehenditur rectus et ACB per hypothesim, et utrunque planum EDF, et BCF rectum ad ipsum AEF. Quapropter si ex signo ipsi FKE communi segmento ad rectos angulos in subiecto plano recta linea excitaretur, compraehendet quoque cum KD angulum rectum, per rectorum ad invicem planorum definitionem. Quapropter etiam ipsa KD per IIII. undecimi Euclidis ad AEF recta est. Ac eadem ratione BI ad idem planum erigitur, et idcirco adinvicem sunt DK et BI per VI. eiusdem. Verum etiam GB, ad FD, eo quod FGB, et GFD anguli sunt recti, erit per X. undecimi Euclidis, angulus FDK ipsi GBI aequalis. At qui sub FKD rectus est, et GIB per definitionem erectae lineae. Similium igitur triangulorum proportionalia sunt latera, et ut DF ad BG, sic DK ad BI. At BI est dimidia subtendentis duplum CB circumferentiam, quoniam ad angulum rectum est ad eam, quae ex centro F, et eadem ratione BG dimidia subtendentis duplum latus BA, et DK semissis subtendentis duplam DE, sive angulum dupli A, atque DF dimidia diametri sphaerae. Patet igitur, quod subtensa dupli ipsius AB, ad subtensam dupli BC, est sicut dimetiens ad eam quae duplum anguli A, sive interceptae circumferentiae DE subtendit, quod demonstrasse fuerit oportunum.

IIII.

In quocunque triangulo rectum angulum habente, alius insuper angulus fuerit datus, cum quolibet latere, reliquus etiam angulus cum reliquis lateribus dabitur. [img] Sit enim triangulum ABC habens angulum A rectum, et cum ipso etiam alterutrum utputa B datum. De latere vero dato trifariam ponimus divisionem, aut enim fuerit, qui datis adiacet angulis, ut AB, aut recto tantum, ut AC, aut qui opponitur recto, ut BC. Sit ergo primum AB latus datum, et facto in C polo describatur circumferen tia maximi circuli DE, et completis quadrantibus CAD et CBE, producantur AB et DE, donec se invicem secent in F signo. Erit ergo vicissim in F polus ipsius CAD, eo quod circa A et D sunt anguli recti. Et quoniam si in sphaera maximi orbes ad rectos sese invicem secuerint angulos, bifariam et per polos se invicem secant. Sunt ergo et ABF et DEF quadrantes circulorum, cumque data sit AB, datur et reliqua quadrantis BF, et angulus EBF ad verticem ipsi ABC dato aequalis. Sed per praecedentem demonstrationem subtensa dupli BF ad subtendentem dupli EF, est sicut dimetiens sphaerae ad subtendentem duplum anguli EBF. Sed tres earum datae sunt, dimetiens sphaerae, duplae BF, atque anguli dupli EBF, sive semisses ipsorum. Datur ergo per XVI sexti Euclidis etiam dimidia subtendentis duplam EF per canonem ipsa EF circumferentia, et reliqua quadrantis DE, sive angulus C quaesitus. Eodem modo ac vicissim sunt subtensae duplicium DE ad AB, et EBC ad CB. Sed tres iam datae sunt DE, AB, et EBC quadrantis circuli, datur ergo et quarta subtendens duplum CB, et ipsum latus CB quaesitum. Et quoniam subtensae duplicium sunt ipsorum CB ad CA, et BF ad EF: quoniam utrorumque sunt rationes sicuti dimetientis sphaerae ad subtensam duplo CBA angulo, et quae uni eaedem sunt rationes, sibi invicem sunt eaedem. Tribus iam igitur datis BF, EF, et CB, datur quarta CA, et ipsum CA tertium latus trianguli ABC. Sit iam AC latus assumptum in datis, propositumque sit invenire AB et BC latera, cum reliquo angulo C, habebit rursum permutatim subtensa dupli CA ad subtensam dupli CB eandem rationem, quam subtendens duplum ABC angulum ad dimetientem, quibus CB latus datur, et reliqua AD et BE ex quadrantibus circulorum. Ita rursus habebimus ut subtensam dupli AD ad subtensam dupli BE, sic subtensam dupli ABF, et est dimetiens, ad subtensam dupli BF. Datur ergo BF circumferentia, quodque superest AB latus. Simile ratiocinatione ut in praecedentibus ex subtendentibus dupla BC, AB, et FBE, datur subtensa dupli DE, sive angulus C reliquus. Porro si BC fuerit in assumpto, dabitur rursus ut antea AC, et reliquae AD et BE, quibus per subtensas
rectas rectas lineas, et diametro, ut saepe dictum, datur BF circumferentia, et reliquum AB latus, ac subinde iuxta praecedens Theorema, per BC, AB, et CBE datas proditur ED circumferentia, angulus videlicet C reliquus, quem quaerebamus. Sicque rursus in triangulo ABC duobus angulis A et B, datis, quorum A rectus existit cum aliquo trium laterum datus est angulus tertius cum reliquis duobus lateribus, quod erat demonstrandum.

V.

Trianguli datorum angulorum, quorum aliquis rectus fuerit, dantur latera. Manente adhuc praecedente figura, ubi propter angulum C datum, datur DE circumferentia, et reliqua EF ex quadrante circuli. Et quoniam BEF est angulus rectus, eo quod BE descendit a polo ipsius DEF, et qui sub EBF angulus, est ad verticem dato. Triangulum igitur BEF rectum angulum E habens, et insuper B datum cum latere EF, datorum est angulorum et laterum per Theorema praecedens, datur ergo BF, et reliqua ex quadrante AB, ac itidem in triangulo ABC reliqua latera AC et BC dari per praecedentia demonstratur.

VI.

Si in eadem sphaera bina triangula rectum angulum ac insuper alium aequalem habuerint, alterum alteri, unumque latus uni lateri aequale: sive quod aequalibus adiacet angulis: sive quod alterutro aequalium angulorum opponitur, reliqua quoque latera, reliquis lateribus, aequalia alterum alteri, ac angulum angulum angulo, reliquum reliquo aequalem habebunt.

Sit hemisphaerium ABC, in quo suscipiantur bina triangula ABD et CEF, quorum anguli A et C sint recti, et praeterea [img]angulus ADB aequalis ipsi CEF, unumque latus uni lateri, et primum quod aequalibus ipsis adiacet angulis, hoc est, AD ipsi CE. Aio latus quoque AB lateri CF, et BD ipsi EF, ac reliquum angulum ABD reliquo CFE, esse aequalia. Sumptis enim in B et F polis, describantur maximorum circulorum quadrantes GHI et IKL, compleanturque ADI et CEI, quos se invicem secare necesse est in polo hemisphaerii, qui sit in I signo, eo quod anguli circa A et C sunt recti, atque quod GHI et CEI per polos ipsius ABC circuli sunt descripti. Quoniam igitur AD et CE assumuntur latera aequalia, erunt igitur reliquae DI et IE aequales circumferentiae, et anguli IDH et IEK, sunt enim ad verticem positi assumptorum aequalium, et qui circa H et K sunt recti, et quae uni sunt eaedem rationes, inter se sunt eaedem, erit par ratio subtensae dupli ID, ad subtensam dupli HI, atque subtensae duplicis BI ad subtensam duplicis IK, cum sit utraque per tertium praecedens, sicut dimetientis sphaerae ad subtendentem duplum angulum IDH, sive aequalem dupli, qui sub IEK. Et per XIIII. quinti Elementorum Euclidis, cum sit subtendens duplam DI circumferentiam, aequalis ei, quae duplam IE subtendit, erunt quoque duplicibus subtensae IK et HI aequales, et quemadmodum in circulis aequalibus aequales rectae lineae circumferentias auferunt aequales, et partes eodem modo multiplicium in eadem sunt ratione, erunt ipsae simplices IH et IK circumferentiae aequales, ac reliquae quadrantium GH et KL, quibus constant anguli B et F aequales. Quapropter eadem quoque ratio est subtensae duplicis AD ad subtensam duplicis BD, atque subtensae dupli CE ad subtensam dupli BD, quae subtensae duplicis EC ad subtensam duplicis EF. Utraque enim est, ut subtendentis duplam HG sive aequalem ipsi KL ad subtensam duplicis BDH, hoc est dimetientis per III. Theorema conversim, et AD est aequalis ipsi CE. Ergo per XIIII. quinti elementorum Euclidis BD aequalis est ipsi EF per subtensas ipsis duplicibus rectas lineas. Eodem modo per BD et EF aequales, demonstrabimus reliqua latera et angulos aequales. Ac vicissim si AB et CF assumantur aequalia latera, eandem sequentur rationis identitatem.

VII.

Iam quoque si non fuerit angulus rectus, dummodo latus quod aequalibus adiacet angulis, alterum alteri aequale fuerit, itidem demonstrabitur. Quemadmodum si binorum triangulorum ABD et CEF, duo anguli B et D utcunque fuerint aequales duobus angulis E et F, alter alteri, latus quoque BD, quod adiacet aequali
bus bus angulis, lateri EF aequale. Dico rursus aequilatera et aequiangula esse ipsa triangula. Susceptis enim denuo polis in B et F, describantur maximorum circulorum circumferentiae GH et KL. Et productae AD et GH se secent in N, atque EC et LK similiter [img]productae in M. Quoniam igitur bina triangula HDN et EKM, angulos HDN et KEM habent aequales, qui sunt ad verticem assumptis aequalibus et qui circa H et K sunt recti per polos sectione, latera etiam DH et EK aequalia. Aequiangula sunt ergo ipsa triangula et aequilatera per praecedentem demonstrationem. Ac rursus qui GH et KL sunt aequales circumferentiae propter angulos B et F positos aequales. Tota ergo GHN toti MKL aequalis per axioma additionis aequalium. Sunt igitur et hic bina triangula AGN et MCL habentia unum latus GN aequale uni ML, angulum quoque ANG aequalem CML, atque G et L rectos. Erunt ob id ipsa quoque triangula aequalium laterum et angulorum. Cum igitur aequalia ab aequalibus sublata fuerint, relinquentur aequalia AD ipsi CE, AB ipsi CF, atque BAD angulus reliquo ECF angulo. Quod erat demonstrandum.

VIII.

Adhuc autem si bina triangula, duo latera duobus lateribus aequalia habuerint, alterum alteri, et angulum angulo aequalem, sive quem latera aequalia compraehendunt, sive qui ad basim fuerit, basim quoque basi, ac reliquos angulos reliquis habebunt aequales. Ut in praecedenti figura, sit latus AB aequale lateri CF, et AD ipsi CE. Ac primum angulus A, aequalibus compraehensus lateribus angulo C. Dico basim quoque BD, basi EF, et angulum B ipsi F, et reliquum BDA reliquo CEF esse aequalia. Habebimus enim bina triangula AGN et CLM, quorum anguli G et L sunt recti, atque GAN aequalem ipsi MCL, qui reliqui sunt aequalium, BAD et ECF. Aequiangula igitur sunt invicem et aequilatera ipsa triangula. Quapropter ex aequalibus AD et CE relinquuntur etiam DN et ME aequalia. Sed iam patuit angulum qui sub DNH aequalem esse ei qui sub EMK, et qui circa H, K sunt recti, erunt quoque bina triangula DHN et EMK aequalium invicem angulorum et laterum, e quibus etiam BD relinquetur aequale ipsi EF, et GH ipsi KL, quibus sunt B et F anguli aequales, ac reliqui ADB et FEC aequales. Quod si pro lateribus AD et EC assumantur bases BD et EF aequales, aequalibus angulis obiecti, residentibus caeteris eodem modo demonstrabuntur, quoniam per angulos GAN et MCL aequales exteriores, et GC rectos, atque AG ipsi CL, habebimus itidem bina triangula AGN et MCL, quae prius, aequalium invicem angulorum et laterum. Illa quoque particularia DNH et MEK similiter propter H et K angulos rectos, et DNH, KME aequales, atque DH et EK latera aequalia, quae reliqua sunt quadrantium, e quibus eadem sequuntur, quae diximus.

IX.

Isoscelium in Sphaera triangulorum, qui ad basim anguli, sunt sibi invicem aequales. Esto triangulum ABC, cuius duo latera AB et AC sint aequalia, Ab A vertice descendat maximus orbis, qui secet basim ad angulos rectos, hoc est per polos, sitque AD. Cum igitur binorum triangulorum ABD et ADC latus BA est aequale lateri AC, et AD utrique commune, et anguli, qui circa D recti, patet per praecedentem demonstrationem, quod anguli qui sub ABC et ACB sunt aequales, quod erat demonstrandum. Porisma hinc sequitur, quod quae per verticem trianguli Isoscelis circumferentia ad angulos rectos cadit in basim, basim simul et angulum aequalibus compraehensum lateribus, bifariam secabit, et e converso, quod constat per hanc praecedentem demonstrationem.

X.

Bina quaelibet triangula in eadem Sphaera, aequalia latera habentia, alterum alteri, aequales etiam angulos habebunt alterum alteri sigillatim. Quoniam enim trina utrobique maximorum circulorum segmenta, pyramides constituunt fastigia habentes in centro sphaerae, bases autem triangula, quae sub rectis lineis circumferentias triangulorum convexorum subtendentibus plana continentur, suntque illae pyramides similes et
aequales aequales, per definitionem aequalium similium solidarum figurarum. Ratio autem similitudinis est, ut angulos quocunque modo susceptos, habeant adinvicem aequalem alterum alterius, habebunt ergo angulos ipsa triangula aequales invicem, et praesertim qui generalius definiunt similitudinem figurarum, eas esse volunt, quaecunque similes habent declinationes, ac in eisdem angulos sibi invicem aequales. Equibus manifestum esse puto, in sphaera, triangula, quae invicem aequilatera sunt, similia esse, ut in planis.

XI.
Omne triangulum, cuius duo latera fuerint data cum aliquo angulo, datorum efficitur angulorum et laterum. Nam si latera data fuerint aequalia, erunt qui ad basim anguli aequales et deducta a vertice ad basim circumferentia ad angulos rectos, facile patebunt quaesita per Porisma nonae. Sin autem fuerint data latera inaequalia, ut in triangulo ABC, cuius angulus A sit datus, cum binis lateribus, quae vel compraehendunt datum angulum, vel non compraehendunt. Sint ergo primum compraehendentes, ipsum AB et AC data latera, et facto in C polo describatur circumferentia maximi circuli DEF, et compleantur quadrantes CAD et CBE, atque AB productum secet DE in F signo. Ita quoque in triangulo ADF dat[ur] AD latus reliquum quadrantis ex AC. Angulus etiam BAD ex CAB ad duos rectos. Nam eadem est ratio angulorum atque dimensio, qui rectarum linearum ac planorum sectione contingunt, et D angulus est rectus. Igitur per quartam huius erit ipsum triangulum ADF datorum angulorum et laterum. Ac rursus trianguli BEF inventus est angulus F, et E rectus per polum sectione, latus quoque BF, quo tota ABF excedit AB. Erit ergo per idem Theorema et BEF triangulum datorum angulorum et laterum. Unde ex BE datur BC reliquum quadrantis et latus quaesitum, et ex EF reliquum totius DEF, quod DE, et est angulus C, atque per angulum qui sub EBF, is qui ad verticem ABC quaesitus. Quod si loco AB assumatur CB, quod dato opponitur angulo, idem eveniet. Dantur enim reliqua quadrantium AD et BE, atque eodem argumento duo triangula ADF et BEF datorum angulorum et laterum, ut prius, e quibus triangulum ABC propositum datorum sit laterum et angulorum, quod intendebatur.
Ad
XII.

Adhuc autem si duo anguli utcunque dati fuerint cum aliquo latere, eadem evenient. Manente enim praestructione figurae prioris, sint trianguli ABC, duo anguli ACB et BAC dati cum latere AC, quod utrique adiacet angulo. Porro si alter angulorum datorum rectus fuisset, poterant caetera omnia per quartum praecedens ratiocinando consequi. Hoc autem differre volumus, quo minus sint recti. Erit igitur AD reliqua quadrantis ex CAD, et qui sub BAD angulus residuus ipsius BAC, e duobus rectis, atque D rectus. Igitur trianguli AFD per quartam huius dantur anguli cum lateribus. Ac per C angulum datum, datur DE circumferentia, et reliqua EF atque BEF rectus, et F angulus communis utrique triangulo. Dantur itidem per quartam huius BE et BF, quibus caetera constabunt latera AB et BC quaesita. Caeterum si alter angulorum datorum lateri dato oppositus fuerit, utputa, si ABC angulus detur, loco eius qui sub ACB remanentibus caeteris, constabit eadem demonstratione totum ADF triangulum datis angulis et lateribus, ac particulare BEF triangulum similiter, quoniam propter angulum F utrique communem, et EBF qui ad verticem est dato, et E rectum cuncta etiam latera eius dari in praecedentibus demonstrantur, e quibus tandem sequuntur eadem quae diximus. Sunt enim haec omnia mutuo semper nexu colligata, atque perpetuo, uti formam globi decet.

XIII.

Trianguli demum datis omnibus lateribus dantur anguli. Sint trianguli ABC omnia latera data, aio omnes quoque angulos inveniri. Aut enim triangulum ipsum latera habebit aequalia, vel minime. Sint ergo primum aequalia AB, AC. Manifestum est, quod etiam semisses subtendentium dupla ipsorum aequales erunt. Sint ipsae BE, CE, quae se invicem secabunt in E signo, propter aequalem earum distantiam a centro sphaerae in sectione circulorum communi DE, quod patet per IIII. definitionem tertii Euclidis,
et eius et eius conversionem. Sed per III. eiusdem libri propositionem DEB angulus rectus est in ABD plano, et DEC similiter in plano ACD. Igitur angulus BEC est angulus inclinationis ipsorum planorum per IIII. definitionem undecimi Euclidis, quem hoc modo inveniemus. Cum enim subtensa fuerit recta linea BC, habebimus triangulum rectilineum BEC datorum laterum per datas illorum circumferentias, fiet etiam datorum angulorum, et angulum BEC habebimus quaesitum, hoc est BAC sphaericum, et reliquos per praecedentia. Quod si Scalenon fuerit triangulum, ut in secunda figura, manifestum est, quod rectarum sub ipsis duplis semisses linearum minime se tangent. Quoniam si AC circumferentia maior fuerit ipsi AB, sub ipsa AC duplicata semissis, quae sit CF, cadt inferius. Sin minor, superior erit, prout accidit tales lineas propinquiores remotioresque fieri a centro per XV. tertii Euclidis. Tunc autem ipsi BE parallelus agatur FG, quae secet ipsam BD communem circulorum sectionum in G signo, et connectatur CG. Manifestum est igitur, quod EFG angulus est rectus, nempe aequalis ipsa AEB, atque EFC dimidia subtensa existente CF dupli ipsius AC etiam rectus. Erit igitur CFG angulus sectionis ipsorum AB, AC circulorum, quem idcirco etiam assequimur. Nam DF ad FG, est sicut DE ad EB, similes enim sunt DFG et DEB trianguli. Datur igitur FG in iisdem partibus, quibus etiam FC data est. At in eadem ratione est etiam DG ad DB, dabitur etiam ipsa DG in partibus quibus est DC, 100000. Quinetiam qui sub GDC angulus, datus est per BC circumferentiam. Ergo per secundam planorum datur GC latus in eisdem partibus, quibus reliqua latera trianguli GFC plani, igitur per ultimam planorum habebimus GFC angulum, hoc est BAC sphaericum quaesitum, ac deinde reliquos per XI. sphaericorum percipiemus.

XIIII.

Si data circumferentia circuli secetur utcunque, ut utrunque segmentorum sit minus semicirculo, et ratio dimidiae subtendentis unius segmenti, ad dimidium subtendentis duplum alterius da
ta fue ta fuerit, dabuntur etiam ipsorum segmentorum circumferentiae.

Detur enim circumferentia ABC, circa D centrum, quae utcunque secetur in B signo, ita tamen ut segmenta sint semicirculo minora, fuerit autem ratio dimidiae sub duplo AB ad dimidiam sub duplo BC aliquo modo in longitudine data, aio etiam AB et BC dari circumferentias. Subtendatur enim AC recta, quam secet dimetiens in E signo, a terminis autem AC perpendiculares cadant ad ipsam dimetientem, quae sint AF, CG, quas oportet esse semisses sub duplis AB et BC. Triangulorum igitur AEF et CEG rectangulorum anguli, qui ad E verticem sunt aequales, et ipsi propterea trianguli aequianguli ac similes, habent latera proportionalia aequales angulos respicientia. Ut AF ad CG, sic AE ad EC. Quibus igitur numeris AF vel GC data fuerint, habebimus in iisdem AE et EC, dabitur ex his tota AEC in eisdem. Sed ipsa subtendens ABC circumferentiam datur in partibus, quibus quae ex centro DEB, quibus etiam ipsius AC dimidia AK, et reliqua EK. Coniungantur DA et DK, quae etiam dabuntur in eisdem partibus, quibus DB, tanquam semissis subtendentis reliquum segmentum ipsius ABC a semicirculo, compraehensum sub angulo DAK, et angulus igitur ADK datur, compraehendens dimidiam ABC circumferentiam. Sed et trianguli EDK duobus lateribus datis, et angulo EKD recto, dabitur etiam EDK, hinc totus sub EDA angulus compraehendens AB circumferentiam, qua etiam reliqua CB constabit, quarum expetebatur demonstratio.

XV.

Trianguli datis omnibus angulis, etiam nullo recto, dantur omnia latera. Esto triangulum ABC, cuius omnes anguli sint dati, nullus autem eorum rectus. Aio omnia quoque latera eius dari. Ab aliquo enim angulorum ut A descendat per polos ipsius BC circumferentia AD, quae secabit ipsum BC ad angulos rectos, ipsaque AD cadet in triangulum, nisi alter angulorum B vel C ad basim obtusus esset, et alter acutus, quod si accideret, ab ipso obtuso deducendus esset ad basim. Completis igitur quadrantibus BAF, CAG, DAE, factisque polis in BC, describantur circumferen
tiae tiae EF, EG. Erunt igitur et circa FG anguli recti. Triangulorum igitur rectum angulum habentium erit ratio dimidiae, quae sub duplo AE, ad dimidiam sub duplo EF, quae dimidia diametri sphaerae ad dimidiam subtendentis duplum anguli EAF. Similiter in triangulo AEG angulum rectum habente G, semissis quae sub duplo AE ad semissem, quae sub duplo EG, eandem habebit rationem, quam dimidia diametri sphaerae ad dimidiam, quae duplum anguli EAG subtendit. Per aequam igitur rationem dimidia sub duplo EF ad dimidiam sub duplo EG rationem habebit, quam semissis sub duplo anguli EAF ad semissem sub duplo anguli EAG. Et quoniam FE, EG circumferentiae datae sunt, sunt enim residua, quibus anguli A et B differunt a rectis. Habebimus ergo ex his rationem angulorum EAF et EAG, hoc est BAD ad CAD, qui illis ad verticem sunt, datos. Totus autem BAC datus est. Per praecedens igitur Theorema etiam BAD et CAD anguli dabuntur. Deinde per quintum, latera AB, BC, AC, CD, totumque BC assequemur.

Haec obiter de Triangulis, prout instituto nostro fuerint necessaria modo sufficiant. Quae si latius tractari debuissent, singulari opus erat volumine.

Finis primi libri.


Fairytale left blue.png Recognito & ... Liber Secundus Fairytale right blue.png