Disquisitiones arithmeticae/Sectio prima

E Wikisource
Jump to navigation Jump to search
Sectio prima
1801

editio: ex opera omnia, Gottinga, 1870; Ernst Christian Julius Schering recensuit
fons: librum vide


SECTIO PRIMA


DE

NUMERORUM CONGRUENTIA IN GENERE.





Numeri congrui, moduli, residua et nonresidua.
1.

Si numerus numerorum differentiam metitur, et secundum congrui dicuntur, sin minus, incongrui: ipsum modulum appellamus. Uterque numerorum priori in casu alterius residuum, in posteriori vero nonresiduum vocatur.

Hae notiones de omnibus numeris integris tam positivis quam negativis[1] valent, neque vero ad fractos sunt extendendae. E. g. et secundum modulum sunt congrui; ipsius secundum modulum residuum, secundum modulum vero nonresiduum. Ceterum quoniam cifram numerus quisque metitur, omnis numerus tamquam sibi ipsi congruus secundum modulum quemcunque est spectandus.


2.

Omnia numeri dati residua secundum modulum sub formula comprehenduntur, designante numerum integrum indeterminatum. Propositionum quas post trademus faciliores nullo negotio hinc demonstrari possunt: sed istarum quidem veritatem aeque facile quivis intuendo poterit perspicere.

Numerorum congruentiam hoc signo, , in posterum denotabimus, modulum ubi opus erit in clausulis adiungentes, , [2].


3.

Theorema. Propositis numeris integris successivis alioque illorum aliquis huic secundum modulum congruus erit, et quidem unicus tantum.

Si enim integer, erit , sin fractus, sit integer proxime maior, (aut quando est negativus, proxime minor, si ad signum non respiciatur) , cadetque inter et , quare erit numerus quaesitus. Et manifestum est omnes quotientes , , etc. inter et sitos esse; quare plures quam unus integri esse nequeunt.


Residua minima.
4.

Quisque igitur numerus residuum habebit tum in hac serie, , tum in hac, , quae in residua minima dicemus, patetque, nisi 0 fuerit residuum, bina semper dari, positivum alterum negativum. Quae si magnitudine sunt inaequalia, alterum erit , sin secus utrumque , signi repectu non habito. Unde patet, quemvis numerum residuum habere moduli semissem non superans quod absolute minimum vocabitur.

E. g. secundum modulum habet residuum minimum positivum , quod simul est absolute minimum, vero residuum minimum negativum; secundum modulum sui ipsius est residuum minimum positivum, negativum, simulque absolute minimum.


Propositiones elementares de congruentiis.
5.

His notionibus stabilitis eas numerorum congruorum proprietates quae prima fronte se offerunt colligamus.

Qui numeri secundum modulum compositum sunt congrui, etiam secundum quemvis eius divisorem erunt congrui.

Si plures numeri eidem numero secundum eundem modulum sunt congrui, inter se erunt congrui (secundum eundem modulum).

Haec modulorum identitas etiam in sequentibus est subintelligenda.

Numeri congrui residua minima habent eadem, incongrui diversa.


6.

Si habentur quotcunque numeri etc. totidemque alii etc. illis secundum modulum quemcunque congrui

etc., erit etc. etc.

Si , erit .


7.

Si , erit quoque .

Si numerus positivus, hoc est tantummodo casus particularis propos. art. praec., ponendo ibi etc., etc. Si negativus, erit positivus, adeoque unde .

Si , erit . Namque .


8.

Si habentur quotcunque numeri etc. totidemque alii etc. his congrui, etc., producta ex utrisque erunt congrua, etc. etc.

Ex artic. praec. , et ob eandem rationem ; eodemque modo quotcunque alii factores accedere possunt.

Si omnes numeri etc. aequales assumuntur, nec non respondentes etc., habetur hoc theorema: Si et integer positivus, erit .


9.

Sit functio algebraica indeterminatae , huius formae etc. designantibus etc. numeros integros quoscunque; etc. vero integros non negativos. Tum si indeterminatae valores secundum modulum quemcunque congrui tribuuntur, valores functionis inde prodeuntes congrui erunt.

Sint , valores congrui ipsius . Tum ex art. praec. et eodemque modo etc. Hinc Q. E. D.

Ceterum facile intelligitur, quomodo hoc theorema ad functiones plurium indeterminatarum extendi possit.


10.

Quodsi igitur pro omnes numeri integri consecutivi substituuntur, valoresque functionis ad residua minima reducuntur, haec seriem constituent, in qua post intervallum terminorum (designante modulum) iidem termini iterum recurrunt; sive haec series ex periodo terminorum infinities repetita, erit formata. Sit e.g. et ; tum pro etc., valores ipsius haec residua minima positiva suppeditant, etc., ubi quina priora in infinitum repetuntur; atque si series retro continuatur, i.e. ipsi valores negativi tribuuntur, eadem periodus ordine terminorum inverso prodit: unde manifestum est, terminos alios quam qui hanc periodum constituant in tota serie locum habere non posse.


11.

In hoc igitur exemplo neque , neque (mod. 5) fieri potest, multoque minus , aut . Unde sequitur, aequationes , et per numeros integres et proin, uti notum est, per numeros rationales solvi non posse. Generaliter perspicuum est, aequationem , quando functio incognitae , huius formae etc. integri, atque integer positivus, (ad quam formam omnes aequationes algebraicas reduci posse constat) radicem rationalem nullam habere, si congruentiae secundum ullum modulum satisfieri nequeat. Sed hoc criterium, quod hic sponte se nobis obtulit, in Sect. VIII fusius pertractabitur. Poterit certo ex hoc specimine notiuncula qualiscunque de harum investigationum utilitate efformari.


Quaedam applicationes.
12.

Theorematibus in hoc capite traditis complura quae in arithmeticis doceri solent innituntur, e. g. regulae ad explorandam divisibilitatem numeri propositi per , aut alios numeros. Secundum modulum omnes numeri potestates unitati sunt congruae: quare si numerus propositus habet formam , idem residuum minimum secundum modulum dabit, quod Hinc manifestum est, si figurae singulae numeri decadice expressi sine respectu loci quem occupant addantur, summam hanc numerumque propositum eadem residua minima praebere, adeoque hunc per dividi posse, si illa per sit divisibilis, et contra. Idem etiam de divisore tenendum. Quoniam secundum modulum , erit generaliter , , et numerus formae secundum modulum idem residuum minimum dabit quod etc.; unde regula nota protinus derivatur. Ex eodem principio omnia similia praecepta facile deducuntur.

Nec minus ex praecedentibus petenda est ratio regularum, quae ad verificationem operationum arithmeticarum vulgo commendantur. Scilicet si ex numeris datis alii per additionem, subtractionem, multiplicationem aut elevationem ad potestates sunt deducendi: substituuntur datorum loco residua ipsorum minima secundum modulum arbitrarium (vulgo 9 aut 11, quoniam in nostro systemate decadico secundum hos, uti modo ostendimus, residua tam facile possunt inveniri). Numeri hinc oriundi illis, qui ex numeris propositis deducti fuerunt, congrui esse debent; quod nisi eveniat, vitium in calculum irrepsisse concluditur.

Sed quum haec hisque similia abunde sint nota, diutius iis immorari superfluum foret.




  1. Modulus manifesto semper absolute i. e. sine omni signo est sumendus.
  2. Hoc signum propter magnam analogiam quae inter aequalitatem atque congruentiam invenitur adoptavimus. Ob eandem caussam ill. Le Gendre in comment. infra saepius laudanda ipsum aequalitatis signum pro congruentia retinuit, quod nos ne ambiguitas oriatur imitari dubitavimus.