Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/104

Haec pagina emendata est

94

de congruentiis secundi gradus.

erit. Q. E. D. — At primi numeri formae In $7n+2$ vel $7n+4$ omnes methodos hucusque traditas eludunt. Ceterum etiam haec demonstratio ab ill. La Grange primum est detecta l. c. — Infra Sect. VII. docebimus generaliter, expressionem ${\tfrac {4(x^{p}-1)}{x-1}}$ semper ad formam $X^{2}\mp pY^{2}$ reduci posse, (ubi signum superius est accipiendum, quando $p$ est numerus primus formae $4n+1$ , inferius, quando est formae $4n+3$ ), denotantibus $X$ , $Y$ functiones rationales ipsius $x$ , a fractionibus liberas. Hanc discerptionem ill. La Grange ultra casum $p=7$ non perfecit v. l. c. p. 352.

Praeparatio ad disquisitionem generalem.

125.

Quoniam igitur methodi praecedentes ad demonstrationes generales stabiliendas non sufficiunt, iam tempus est, aliam ab hoc defectu liberam exponere. Initium facimus a theoremate, cuius demonstratio satis diu operam nostram elusit, quamvis primo aspectu tam obvium videatur, ut quidam ne necessitatem quidem demonstrationis intellexerint. Est vero hoc: Quemvis numerum, praeter quadrata positive sumta, aliquorum numerorum primorum non-residuum esse. Quia vero hoc theoremate tantummodo tamquam auxiliari ad alia demonstranda usuri sumus, alios casus hic non explicamus quam quibus ad hunc finem indigemus. De reliquis casibus postea sponte idem constabit. Ostendemus itaque, quemvis numerum primum formae $4n+1$ , sive positive sive negative accipiatur^[1], non-residuum esse aliquorum numerorum primorum, et quidem (si $>5$ ) talium qui ipso sint minores.

Primo, quando numerus primus $p$ , formae $4n+1$ ( $>17$ , sed $-13N3$ , $-17N5$ ), negative sumendus proponitur, sit $2a$ numerus par proxime maior quam $\surd {p}$ , tum facilis perspicitur, $4aa$ semper fore $<2p$ sive $4aa-p<p$ . At $4aa-p$ est formae $4n+3$ , $+p$ autem residuum quadraticum ipsius $4aa-p$ (quoniam $\textstyle p\equiv 4aa{\pmod {4aa-p}}$ ); quodsi igitur $4aa-p$ est numerus primus, $-p$ ipsius non-residuum erit; sin minus, necessario factor aliquis ipsius $4aa-p$ formae $4n+3$ erit; et quum $+p$ etiam huius residuum esse debeat, $-p$ ipsius non-residuum erit. Q. E. D.

Pro numeris primis positive sumendis duos casus distinguimus. Primo sit $p$ numerus primus formae $8n+5$ . Sit $a$ numerus quicunque positivus $<\surd {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}p$ . Tum $8n+5-2aa$ erit numerus positivus formae $8n+5$ vel $8n+3$ (prout $a$

↑ $+1$ autem excipi oportere per se manifestum est.

[1] $+1$ autem excipi oportere per se manifestum est.

[1]