Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/106

96

de congruentiis secundi gradus.

$a+b+c+$ etc. dimensiones, in $Q'\!$ vero $a'+b'+c'+$ etc. At $a'\!$ certe non maior quam $a$, $b'\!$ non maior quam $b$ etc. (hyp.); quare $a'+b'+c'\!$ etc. certo non erit $>a+b+c$ etc. — Quum itaque nullus numerus primus in $Q'\!$ plures dimensiones habere possit, quam in $Q$, $Q$ per $Q'\!$ divisibilis erit (art. 17). Q. E. D.

127.

Lemma. In progressione $1$, $2$, $3$, $4$, $\ldots$ $n$, plures termini esse nequeunt per numerum quemcunque $h$ divisibiles, quam in hac $a$, $a+1$, $a+2$ $\ldots$ $a+n-1$ ex totidem terminis constante.

Nullo enim negotio perspicitur, si $n$ fuerit multiplum ipsius $h$, in utraque progressione ${\tfrac {n}{h}}$ terminos fore per $h$ divisibiles; sin minus, ponatur $n=eh+f$, ita ut $f$ sit $<h$, eruntque in priori serie $e$ termini per $h$ divisibiles, in posteriori autem vel toti dem vel $e+1$.

Hinc tamquam Coroll. sequitur propositio ex numerorum figuratorum theoria nota, sed a nomine, ni fallimur, hactenus directe demonstrata, $a\ .\ a+1\ .\ a+2\ldots a+n-1 \over 1\quad .\quad 2\quad .\quad 3\quad \ldots \quad n\quad$ semper esse numerum integrum.

Denique Lemma hoc generalius ita proponi potuisset:

In progressione $a$, $a+1$, $a+2$, $\ldots$ $a+n-1$ totidem ad minimum dantur termini secundum modulum $h$ numero cuicunque dato, $r$, congrui, quot in hac $1$, $2$, $3$ $\ldots$ $n$ termini per $h$ divisibiles.

128.

Theorema. Sit $a$ numerus quicunque formae $8n+1$, $p$ numerus quicunque ad $a$ primus, cuius residuum $+a$, tandem $m$ numerus arbitrarius: tum dico, in progressione $a,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-1),2(a-4),{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-9),2(a-16),\ldots$ $2(a-m^{2}),$ vel ${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(a-m^{2})$ prout $m$ par vel impar, totidem ad minimum dari terminos per $p$ divisibiles, quot dentur in hac $1,2,3,\ldots 2m+1$ Priorem progressionem designamus per $\mathrm {(I)}$, posteriorem per $\mathrm {(II)}$.