Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/133

123

numerorum repraesentatio.

valor autem formulae ex $\mu '\!$, $\nu '\!$ prodiens superabit valorem ex $\mu$, $\nu$ prodeuntem quantitate $(\mu '\nu -\mu \nu ')M$, quae fit $=(\mu m+\nu n)(v'-v)=v'-v$, sive valor ille erit $=v'\!$.

156.

Si duae repraesentationes eiusdem numeri $M$ per eandem formam $(a,b,c)$ habentur, in quibus indeterminatae valores inter se primos habent: hae vel ad eundem valorem expr. $\textstyle \surd {(bb-ac)}{\pmod {M}}$ pertinere possunt vel ad diverses. Sit $M=amm+2bmn+cnn=am'm'+2bm'n'+cn'n'$ atque $\mu m+\nu n=1$,   $\mu 'm'+\nu 'n'=1$ patetque, si fuerit $\textstyle \mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv \mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b){\pmod {M}}$ congruentiam semper manere, quicunque alii valores idonei pro $\mu$, $\nu$; $\mu '\!$, $\nu '\!$ accipiantur, in quo casu utramque repraesentationem ad eundem valorem expr. $\textstyle \surd {(bb-ac)}{\pmod {M}}$ pertinere dicemus; si vero congruentia pro ullis valoribus ipsorum $\mu$, $\nu$; $\mu '\!$, $\nu '\!$ locum non habet, pro nullis locum habebit, repraesentationesque ad valores diversos pertinebunt. Si vero $\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb)\equiv -\left(\mu '(m'b+n'c)-\nu '(m'a+n'b)\right)$ repraesentationes ad valores oppositos expr. $\surd {(bb-ac)}$ pertinere dicentur. Omnibus hisce denominationibus etiam utemur, quando de pluribus repraesentationibus eiusdem numeri per formas diversas, sed quae eundem determinantem habent, agitur.

Ex. Sit forma proposita haec (3, 7, −8), cuius determinans = 73. Per hanc formam habentur repraesentationes numeri 57 hae 3.13² + 14.13.25 − 8.25²;   3.5²+ 14.5.9 − 8.9² Pro prima poni potest $\mu$ = 2 , $\nu$ = −1, unde prodit valor expr. √73 (mod. 57), ad quam repr. pertinet = 2 (13.7 − 25.8) + (13.3 + 25.7) = −4

16*