Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/134

124

de formis secundi gradus.

Simili modo repraesentatio secunda pertinere invenitur, faciendo $\mu$ = 2, $\nu$ = −1, ad valorem +4. Quare ambae repraesentationes ad valores oppositos pertinent.

Antequam ulterius progredimur, observamus, formas quarum determinans $=0$, ab investigationibus sequentibus prorsus exclusas esse, quippe quae theorematum concinnitatem tantummodo turbarent, adeoque tractationem peculiarem postulent.

Forma aliam implicans, sive sub alia contenta; transformatio, propria et impropria.

157.

Si forma $F$, cuius indeterminatae sunt $x$, $y$, in aliam $F'\!$ cuius indeterminatae sunt $x'\!$, $y'\!$ per substitutiones tales $x=\alpha x'+\beta y'$,  $y=\gamma x'+\delta y'$ transmutari potest, ita ut $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ sint integri: priorem implicare posteriorem, sive posteriorem sub priori contentam esse dicemus. Sit forma $F$ haec $axx+2bxy+cyy$ forma $F'\!$ vero haec $a'x'x'+2b'x'y'+c'y'y'$ habebunturque sequentes tres aequationes: ${\begin{aligned}a'=&\ a\alpha \alpha +2b\alpha \gamma +c\gamma \gamma \\b'=&\ a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta \\c'=&\ a\beta \beta +2b\beta \delta +c\gamma \delta \\\end{aligned}}$

Multiplicando aequationem secundam per se ipsam, primam per tertiam, et subtrahendo fit deletis partibus se destruentibus $b'b'-a'c'=(bb-ac)(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}$ Unde sequitur, determinantem formae $F'\!$ per determinantem formae $F$ divisibilem et quotientem esse quadratum; manifesto igitur hi determinantes eadem signa habebunt. Quodsi itaque insuper forma $F'\!$ per similem substitutionem in formam $F$ transmutari potest, i. e. si tum $F'\!$ sub $F$, tum $F$ sub $F'\!$ contenta est,