Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/22

12

de numerorum congruentia

Sint $f$, $g$ valores congrui ipsius $x$. Tum ex art. praec. $f^{a}\equiv g^{a}$ et $Af^{a}\equiv Ag^{a},$ eodemque modo $Bf^{b}\equiv Bg^{b}$ etc. Hinc $Af^{a}+Bf^{b}+Cf^{c}+\mathrm {etc.} =Ag^{a}+Bg^{b}+Cg^{c}+\mathrm {etc.} \quad$ Q. E. D.

Ceterum facile intelligitur, quomodo hoc theorema ad functiones plurium indeterminatarum extendi possit.

10.

Quodsi igitur pro $x$ omnes numeri integri consecutivi substituuntur, valoresque functionis $X$ ad residua minima reducuntur, haec seriem constituent, in qua post intervallum $m$ terminorum (designante $m$ modulum) iidem termini iterum recurrunt; sive haec series ex periodo $m$ terminorum infinities repetita, erit formata. Sit e.g. $X=x^{3}-8x+6$ et $m=5$; tum pro $x=0,1,2,3$ etc., valores ipsius $X$ haec residua minima positiva suppeditant, $1,4,3,4,3,1,4$ etc., ubi quina priora $1,4,3,4,3$ in infinitum repetuntur; atque si series retro continuatur, i.e. ipsi $x$ valores negativi tribuuntur, eadem periodus ordine terminorum inverso prodit: unde manifestum est, terminos alios quam qui hanc periodum constituant in tota serie locum habere non posse.

11.

In hoc igitur exemplo $X$ neque $\equiv 0$, neque $\equiv 2$ (mod. 5) fieri potest, multoque minus $=0$, aut $=2$. Unde sequitur, aequationes $x^{3}-8x+6=0$, et $x^{3}-8x+4=0$ per numeros integres et proin, uti notum est, per numeros rationales solvi non posse. Generaliter perspicuum est, aequationem $X=0$, quando $X$ functio incognitae $x$, huius formae $x^{n}+Ax^{n-1}+Bx^{n-2}+\mathrm {etc.} +N$$A,B,C$ etc. integri, atque $n$ integer positivus, (ad quam formam omnes aequationes algebraicas reduci posse constat) radicem rationalem nullam habere, si congruentiae $X\equiv 0$ secundum ullum modulum satisfieri nequeat. Sed hoc criterium, quod hic sponte se nobis obtulit, in Sect. VIII fusius pertractabitur. Poterit certo ex hoc specimine notiuncula qualiscunque de harum investigationum utilitate efformari.