Pagina:Gauss, Carl Friedrich - Werke (1870).djvu/25

Haec pagina emendata est

15

theoremata de numerus primis.

Sint numerorum $a,b$ , secundum modulum $p$ residua minima positiva $\alpha ,\beta$ , quorum neutrum erit 0 (hyp.) Iam si esset $\textstyle ab\equiv 0{\pmod {p}}$ , foret quoque, propter $ab\equiv \alpha \beta$ , $\alpha \beta \equiv 0$ , quod cum theoremate praec. consistere nequit.

Huius theorematis demonstratio iam ab Euclide tradita, El. VII. 32. Nos tamen omittere eam noluimus, tum quod recentiorum complures seu ratiocinia vaga pro demonstratione venditaverunt, seu theorema omnino praeterierunt, tum quod indoles methodi hic adhibitae, qua infra ad multo reconditiora enodanda utemur, e casu simpliciori facilius deprehendi poterit.

15.

Si nullus numerorum $a,b,c,d$ etc. per numerum primum $p$ dividi potest, etiam productum $a\ b\ c\ d$ etc. per $p$ dividi non poterit.

Secundum artic. praec. $ab$ per $p$ dividi nequit; ergo etiam $abc$ ; hinc $abcd$ etc.

16.

Theorema. Numerus compositus quicunque unico tantum modo in factores primos resolvi potest.

Dem. Quemvis numerum compositum in factores primos resolvi posse, ex elementis constat, sed pluribus modis diversis fieri hoc non posse, perperam plerumque supponitur tacite. Fingamus numerum compositum $A$ , qui sit $=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc., designantibus $a,b,c$ etc. numeros primos inaequales, alio adhuc modo in factores primos esse resolubilem. Primo manifestum est, in secundum hoc factorum systema alios primos quam $a,b,c$ etc. ingredi non posse, quum quicunque alius primus numerum $A$ ex his compositum metiri nequeat. Similiter etiam in secundo hoc factorum systemate nullus primorum $a,b,c$ etc. deesse potest, quippe qui alias ipsum $A$ non metiretur (art. praec). Quare hae binae in factores resolutiones in eo tantummodo differre possunt, quod in altera aliquis primus pluries quam in altera habeatur. Sit talis primus $p$ , qui in altera resolutione $m$ , in altera vero $n$ vicibus occurrat, sitque $m>n$ : Iam deleatur ex utroque systemate factor $p,n$ vicibus, quo fiet ut in altero adhuc $m-n$ vicibus remaneat, ex altero vero omnino abierit. I. e. numeri $\textstyle {\frac {A}{p^{n}}}$ duae in factores resolutiones habentur, quarum altera a factore $p$ prorsus libera, altera vero $m-n$ vicibus eum continet, contra ea quae modo demonstravimus.